“运用Excel软件拟合函数分析身高、体重、鞋码关系”活动设计与研究成果

杨乐 李军 华中师范大学一附中屯昌思源实验中学

● 教学内容及解析

1.教学内容

本活动主要结合高中数学选修第三册第八章《成对数据的统计分析》的知识，采用数学建模实践活动的方式，利用问卷星软件收集本校高中生身高、体重、鞋码的数据，运用Excel软件中的功能，绘制散点图、拟合函数、计算决定系数R2，从而建立适当的函数模型解决实际问题：根据身高或体重预测本班学生的鞋号。

活动形式：校本课程“数学建模研究学习与实践”。

参与人员：指导教师；校本课程中报名调查小组的同学。

建议课时：3课时。第1课时通过组内讨论确定选题，明确所需的数据，明确分工任务，探讨研究的可行性，撰写开题计划；第2课时，编辑问卷，利用问卷星发放问卷，初步整理数据；第3课时，利用Excel软件处理数据，绘制散点图、拟合函数、计算决定系数R2，从而建立适当的函数模型，预测数据检验函数模型，并在第3课时课后完善研究报告。

2.内容解析

数学建模是运用数学知识解决现实问题的一种方式，本调查小组选择人的身高、体重、鞋号之间的关系这个在生活中与自身息息相关的问题进行研究。

提出问题：鞋和我们的生活息息相关，那么，鞋码和我们的身高存在着什么样的关系？它们之间的关系是不是存着数学关系呢？人的身高和体重是否存在着一定的关系？这个关系可以量化吗？

由于个人脚长与体重主要由身高决定，所以可以选身高作为自变量，脚长不好测量，于是由鞋号来衡量。鞋号与性别也有一定的关系，所以需要分组研究。

收集数据：确定好研究变量后收集本校高二年级学生的身高、体重、鞋号的数据，为确保数据的平衡性，决定收集男生、女生的数据各110份，去除极端数据后，各有100份数据供小组成员分析。

数据分析：利用Excel软件绘制散点图，去除残差较大的异常点，通过散点图猜想数据拟合的函数，分别尝试Excel软件中提供的函数模型，结合Excel软件计算出的决定系数R2分析函数的拟合程度，体会不同函数的拟合效果，选择最优的函数模型。

模型应用：研究的最终目标是可以为本班学生购买鞋子提供尺码的数据支持。

● 教学目标和目标解析

1.活动目的与意义

运用所学知识解决实际生活中的问题，发现情境中的数学关系，运用学习过的知识，合理运用信息技术进行数据分析，创造性地建立函数模型，并把模型应用到实践中。从实践中检验如何改进对数据的处理，使所建立的函数模型预测更精准，具有实际应用意义。小组成员通过分组、合作等形式，根据方案的时间安排有序地展开活动，体验实践的完整过程，并在每次实践后，总结分析数据，合理去除异常点，利用决定系数R2，综合考虑各种因素的影响，最终选择最适合的函数模型，并用实际数据检验分析模型的满意度。

2.活动知识目标

①了解一元线性回归模型的含义，理解两个变量之间随机关系的一元线性回归模型的作用与意义；了解残差在线性回归与非线性回归问题中的作用及意义；了解一元线性回归模型参数；会结合题意求一元线性回归方程；会用决定指数R2分析模型拟合的效果情况。

②体会数学的应用价值，培养运用图像、数学符号表达题意，应用转化思想解决数学问题的能力。

③通过对现实情境问题的分析，收集有效数据，运用信息技术自主建立函数模型，分析函数拟合程度，选择最优的函数模型。培养分析解决问题、动手实践、运用信息技术处理数据、误差分析等方面的能力。

3.数学学科素养

①数学抽象：从实际情境中抽象出一般规律。

②逻辑推理：将实际问题转化为数学问题，分清已知条件与所求问题，逐步求解问题的答案。

③数学运算：利用公式及Excel软件计算数据，分析数据。

④数学建模：整理实际数据，绘制散点图，数形结合，选择趋势线，通过决定系数R2分析函数的拟合程度，选择最优函数，从而进行数据预测。

4.信息技术素养

①信息意识：通过实际收集数据、分析数据提升信息敏感度和对信息价值的判断力，能根据需要解决问题的需要，自觉、主动地寻求恰当方式获取与处理信息；通过函数的拟合效果分析，采用有效策略对信息内容准确性、指向性做出合理判断，合理删除极端数据，对信息可能产生的影响进行预期分析，为解决问题提供参考；在合作解决问题过程中，能与团队成员共享信息，实现信息最大价值。

②计算思维：应用Excel软件处理数据、抽象特征、建立函数模型、合理组织数据；通过判断、分析与综合各种信息资源，运用合理算法形成解决问题方案；总结利用计算机解决问题过程与方法，并迁移到与之相关其他问题解决之中。

③数字化学习与创新：在实际分析、处理数据的过程中培养有效地管理学习资源，创造性地解决问题，从而完成学习任务的能力，提升形成创新作品的能力，适应数字化学习环境，养成相应学习习惯；掌握数字化学习系统、学习资源与学习工具功能和用法，并用来开展自主学习，协作完成任务。

④信息社会责任：在思考、辨析、解决问题的过程中，逐渐形成正向、理性的信息社会责任感。

● 教学重难点

教学重点：将实际问题转化为数学问题，利用信息技术处理数据，选择和建立合适的函数模型，并应用建立的模型解决实际问题。

教学难点：一是学生缺乏完整的数学建模活动经历，没有头绪，因此指导教师要做好方法指导，设计活动记录表完成活动日志，引导学生顺利开展数学建模实践活动。首先是在选题阶段，应该鼓励学生自主选题，选择自己兴趣最高、自信最强的课题；其次是指导教师要给予充足的参考素材，其中历届学姐、学长做过的成功案例的报告就是最好的材料，学生们可以感受到这个选题是自己切实可以完成的，从而增加信心。在此基础上，指导教师再指导学生怎样选题，引导学生从生活中发现问题、提出问题。二是函数模型的选择，学生数据分析能力有限，合理应用Excel软件可有效帮助学生处理数据，对拟合效果进行评价。

● 教学过程设计

1.课前准备工作

（1）了解数学建模活动

活动预热：教师为学生提供学姐学长做过的成功案例报告，学生通过自主阅读，了解数学建模的简单步骤，再开展圆桌讨论，初步选定研究方向。

设计意图：通过阅读可以提高自主研读的能力，并且通过对同年龄学生的数学建模论文阅读，可以起到激励作用，增强自己写数学建模论文的信念。研究讨论的过程使学生敢于坚持真理、敢于修正错误的科学精神得到弘扬。

（2）知识储备

学习Excel软件中与本节课有关的数据处理功能—排序、文本更改为数值、画散点图、模拟趋势线公式、求决定系数R2等，了解统计的常识，如决定系数R2的大小与拟合效果的关系。

（3）确定选题

研读教材，对教材中提供的例题进行分析，在生活中寻找相应的且可以独立完成的研究课题。

2.第1课时：研读教材确定选题

师：生活中有很多变量有相关关系，本次活动我们就来研究一个这样的问题。

环节1：研读教材。

先自主阅读教材，再由指导教师对重点内容重点讲解，分析教材中例题的内容，分析解决问题的基本方法。

环节2：明确选题。

师：同学们提出鞋号是现实生活中和自身息息相关的一个问题，大家都知道身高、体重会对脚长有影响，本小组就可以收集数据，用数学的方法分析一下其中的关系，并且最终可以通过身高、鞋号去预测脚长。

结论：脚长不便于测量，各自也不一定清楚自己的脚长，因此统计鞋号是一个比较适合的方式。同时，性别对鞋号也有影响，一般来说，男生的鞋号要比女生的鞋号大。所以，最终确定收集100名男生、100名女生的身高、体重、鞋号的数据来进行分析。

设计意图：小组研讨的方式营造出的是师生平等、自主研讨、民主学术的气氛，开放式的研讨方式，为学生的创新思维提供了广阔的天地。

3.第2课时：编辑问卷，利用问卷星发放问卷，初步整理数据

环节3：编辑问卷。

发放问卷的方式可以采用纸质问卷，也可以利用问卷星发放。由于收集的数据数量较大，如果采用纸质的问卷录入数据到电脑中比较浪费时间，同学们提议采用问卷星来发放问卷。由于可能有异常数据，所以男、女生各收集100份以上的数据。

环节4：整理数据。

在收集好分卷后，整理数据，在Excel软件中，整理数据格式，对填写不规范的数据进行修改，初步去除异常数据，将数据都设置成“数值”，以便进行进一步的散点图绘制。

设计意图：通过问卷调查，让学生经历数据收集、整理、分析的过程，增强学生的动手能力，培养学生数据分析素养、信息意识素养。

4.第3课时：处理数据并建立适当的函数模型，预测数据检验函数模型

环节5：绘制散点图、选择函数模型。

应用Excel软件的功能绘制散点图，通过散点图猜想数据拟合的函数，通过Excel软件计算出函数解析式和决定系数R2，尝试线性模型、指数模型、对数模型、幂函数模型等，最终选择最适合的函数模型。

学生可能面对的困难：不了解可以应用这么多种函数，不清楚应该去除哪些异常点。

破解办法：应用Excel软件中提供的线性模型、指数模型、对数模型、幂函数模型与拟合函数（如图1），学生无需进行大量的计算，就可以快速、直观地看出哪个函数最适合。

图1

设计意图：函数模型的选择是数学建模过程中的重要环节，哪个模型更贴合实际，哪个模型更便于高中生理解，学生在选择模型、优化模型的过程中，能够不断提升数学建模能力。而借助信息技术，可以避免反复计算，在模型选择中起到了很好的辅助作用。

环节6：检验函数模型。

用建立的函数模型求出收集数据的预测值，并与实际值进行对比。

学生可能面对的困难：不清楚检验函数模型的具体操作方法和步骤，对参考标准不明确。

破解办法：当两个变量间存在相同或相反的变化趋势时，就可以用线性模型描述，但这种关系受其他许多因素的影响，这些影响因素会产生随机误差。

对于响应变量Y，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的y^称为预测值，观测值减去预测值称为残差，残差是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析。通过残差发现原始数据中的异常数据，判断建立模型的拟合效果。为了提升拟合效果，在去除这些异常数据时，要结合散点图，通过图像分析哪个点偏离的程度最大，去掉残差最大的那些点，但在观察图像时，只能去除掉残差非常大的点。为了提升拟合效果，在去除异常点时，可以借助Excel软件中计算出的决定系数R2，更清晰直观地观察出模型拟合精确度的变化。

设计意图：合理应用Excel软件可以大大地减少计算量，快速精准地绘制图像，提升残差分析的速度，提升函数选择的速度，提高统计工作中实际操作的效率。

环节7：应用函数模型。

师生共同探讨分析身高与鞋码的关系、体重与鞋码的关系，可以解决哪些生活中的问题？

预设答案：在为亲人或朋友购买新鞋时，可以辅助分析鞋是否合脚；班集体网购演出鞋为鞋码提供数据支撑。

学生可能出现的思考：在购买新鞋时，统计分析出的数据能不能作为唯一的鞋码依据。

解决办法：可以翻阅教材在之后的统计知识中寻找答案，上网查阅相关文献，更深入地分析问题。

学生可能面对的问题：根据活动得出的预测数据和实际值存在偏差，在实际应用中效果不佳，学生比较困惑做统计分析的意义。

破解办法：教师引导学生进一步查阅相关文献，以问题为驱动，促使学生更深入地探究学习。教师搜集统计学史上学者、科学家做出过的实际应用意义较强的统计案例（如“均值回归”理论）供学生阅读，让学生体会到学习统计的意义。

研究的拓展：学生随着教材知识的学习，可以再应用列联表进行独立性检验，从多个角度分析本次活动所收集的数据，同时可以再次尝试运用Excel等软件辅助分析。

设计意图：数学源于生活，应用于生活，学生在应用知识时，巩固所学的知识，并构建知识网络。同时，在实际应用中产生的问题与思考，可以培养学生的批判性思维，同时激发学生进行深入研究的兴趣，从而产生学习的内驱动力。

5.课后作业：撰写结题报告，交流评价

在教师的指导下，学生利用假期时间完成规范、有逻辑的研究报告，其中主要包括选题背景、活动目标、工具材料、数学模型、约束条件、求解和完善模型实施过程、检验结果、实际结果、活动总结（提出的建议）、心得体会。

教师意见：撰写数学建模报告对学生是一项全新的挑战，学生通常不知从何开始。建议在活动研究过程中做活动日志，除日期等常规信息外，记录每次的研究目标、研究过程、组员发言、研究成果等，最后对活动日志加以提炼形成结题报告。在开始撰写前，学生可以阅读学姐学长的报告，掌握整体框架。在报告初步成形后，教师给出具体的修改意见，帮助学生以精简、严谨的语言完成报告。

评价建议：本次活动主要采用自评、互评、师评等多种评价相结合的评价机制。前期、后期两次评价，主要从学生活动兴趣、知识储备、活动自信、核心素养水平、学生能力五个维度开展调查。对在活动中表现出的活动策划、模型分析、动手操作、搜集资料、活动态度、组织合作、创新发现、活动成果等方面的素质素养，进行激励式客观测评。

设计意图：撰写报告的过程可以凝练学生的研究成果，使数学建模活动的内容具象化，是锻炼学生综合能力的绝佳机会。学生的评价要以鼓励为主，多发现学生的闪光点，结合活动过程中各方面的成长，为每一名学生给出切合实际、有利于今后发展的评语。

● 研究成果及应用

1.男生身高与鞋码的关系

拟合度最高的函数为线性函数和对数函数，结合计算难度，小组成员最终选择线性函数模型^y=0.1827x+10.773，R2=0.4983，说明身高的变化解释了49.83%的鞋号的变化（如图2a）。经过预测，身高165cm的男生鞋号为41号，与实际情况比较符合。

2.男生体重与鞋码的关系

y^=0.0299x+38.123，R2=0.2113，说明体重的变化解释了21.33%的鞋号的变化（如图2b），可见身高比体重对鞋码的影响大。

图2

3.女生身高与鞋码的关系

y^=0.1048x+20.409，R2=0.3251，说明身高的变化解释了32.51%的鞋号的变化（如图3a）。经过预测，身高165cm的女生鞋码为38号，与实际情况比较符合，而且可见不同性别相同身高的鞋码不同。

图3

4.女生体重与鞋码的关系

y^=0.424x+33.027，R2=0.2259，说明体重的变化解释了22.59%的鞋号的变化（如图3b）。

学生通过这次数学建模活动，积累了活动经验，认识了刻画现实世界规律的不同函数模型，了解了各模型的特征，并且知道了这些不同的模型都刻画了哪些现实规律，构建了更完整的知识网络，为后续的数学建模活动奠定了研究基础。在实际操作中，学生将问卷星、Excel等软件合理地运用到研究中，极大地提升了研究的速度和精准度。经历此次数学建模活动，可以提升学生的核心素养，如数学抽象素养（从现实问题中抽象出数学问题）、数据分析素养（用Excel软件分析、整理数据）、数学建模素养（选择、检验、优化函数模型）、直观想象素养（借助图形来描述和分析问题）。面对真实的问题，将学生的创新能力和教师的已有经验相结合，高效地完成了男生女生的身高、体重与鞋码的关系问题。