巧妙“引” 足够“退” 彻底“拓”——以小学数学“找次品”为例

甘肃省金昌市永昌县第一小学 刘绍香

人教版数学五年级下册数学广角“找次品”是渗透优化思想的典型课例。从多样到优化，从分析到概括，从纷杂知识体系的厘清到数学内在机理的把握，对于五年级学生而言，是一个不小的挑战，有难度，但不乏惊喜。如何引领学生感受解决问题策略的多样性，积累解决数学问题的经验，提升联系生活应用数学的能力，考验着教师的设计水平。实践证明，通过“引、退、拓”三字诀，能够达成上述目标。

一、善于“引”，巧“引”激兴

成功的课堂首先体现在新课伊始。如果教师一开始就以聚焦性、形象性、趣味性的方式紧紧吸引学生的眼球，使之积累一探究竟的热情，那么，教学无疑成功了一半。一旦课堂的初始阶段充满热度，并且以摇曳生姿的情境聚焦学生，成为一种唤醒和解放的力量参与到学生的思维提升中，那么学生、课堂、教师的精彩融合就是必然，课堂后续的走向、发展及推进也必定是充满生机与活力的。就“找次品”的教学而言，是按照教材本身的安排引入新课，还是巧妙选择，以一种更为形象与聚焦的方式吸引学生呢？

以下是两位教师针对“找次品”一课的开头设计：

A 教师：电子白板出示以下内容：3 瓶口香糖。教师设问：“3 瓶口香糖外表看似完全相同，但其中的一瓶，因为工作人员比较贪吃，吃掉了3 粒，变成了次品。动脑筋想想，你能用什么方法找出次品？哪种方法是最快最好的？”

B 教师：出示动态视频：1986 年1 月28 日，美国“挑战者”号航天飞机在天空航行时爆炸，造成了人类航空史上的重大灾难——7 名宇航员全部罹难，价值12 亿美元的飞机在升空73 秒后化作碎片。同学们，酿成如此重大事故的原因是什么呢？学生自由猜测，有的认为是动力不足，有的认为是操作失误，有的认为是天气原因……在此基础上，教师进一步巧引：“仅仅升空才73 秒啊，与动力、天气等原因有关吗？”在多番猜测之后，教师出示结论：据调查，本次空难中，飞机助推器中一个不合格的次品O 形环是罪魁祸首。对此，你的感触是什么？假如你是工厂质检员，你如何对待不合格产品？你如何从多个产品中快速地找出次品从而避免经济或其它重大损失？

悉心比较，B 教师做到了善于“引”，巧妙的“引”。一方面，动态视频相对于静态文字，尤其是令人揪心的航空事故，更能激活学生的兴趣与热情。另一方面，情境出示之后，教师不是急于把“次品”的概念引出来，而是不疾不徐，先让学生猜，尽情地猜，待学生“山穷水尽”时，教师再出示正确答案，使学生经历一个“急切、蹙眉、迷茫、醍醐灌顶”的思维爬坡过程。这样的引入是有意义、有价值的——学生的兴趣得以大面积激活，思维能力得以进一步的开发。

新课伊始巧“引”的方法很多，引人入胜的故事、紧张刺激的视频、短小有趣的谜语、优美轻快的音乐等等，皆可以成为巧“引”的佐料。不论什么“佐料”，都应该点燃学生的兴趣之灯、思考之灯和探究之灯。这意味着教师的课前备课应在“情境化、趣味性与形象化”方面下功夫，以此为课堂的精彩、顺畅与高效奠定基础。

二、善于“退”，以“退”为进

著名数学家华罗庚“以退为进”的理论，至今对学生的学习仍有启迪意义，他的“善于‘退’，足够的‘退’”不仅仅是一种策略，也是一种理念：由易到难或由难到易，都是相对于以生为本而言——学生掌握得快，就“进”；学生迷惑不解，就“退”。“退一步”并非“知难而退”，而是为了兼顾更多的中等生及学困生；“退一步”，退到问题的源头处，能够帮助学生更好地理解知识的发生及发展脉络；“退一步” 还意味着教学路线图的重构，教学支架或梯度的重新架构，便于学生思维的开发。

“退”的环节：

教师出示例题：某巧克力制造厂，由于机器故障，某个袋子中少装了3 粒巧克力。工作人员不小心把这一次品混入到合格品中。出厂之际还有机会查漏补缺，如果你是质检员，如何从3 袋产品中找出次品？如果手头恰好有天平，你能保证几次找到次品？

教师引领学生自由猜次数，但因为学生初次接触此类题型，且毫无经验，几乎难有猜中的同学。有的说至少3 次，有的说至少2次……面对这一现象，教师化难为易：“我们研究‘2’找‘1’，这下，你可以猜中最少次数吧？”学生异口同声：“1 次”。教师请其中一个同学解释为什么一次就能找出次品的理由：“天平两边的秤盘中各放一袋巧克力，轻的那一袋肯定是次品，只需一次就够了，从天平的不平衡中可以看出来。”在此基础上，教师引领学生思考“3”中找“1”：“就像‘2’中找‘1’那样，先把两袋巧克力分别放在天平左右两边的秤盘上，如果天平不平衡，那么一眼可以看出次品；如果天平平衡，那么，次品在哪里？”反应快的学生大声喊：“在手中。”于是学生都恍然大悟，既然次品在手中，那么，无须再上秤，已经圆满完成任务。

以上教学历程就是“退”。当学生的思维不够灵活、不够开阔，呈现出停滞、犹豫、迷茫时，教师需要“退一步”，重构学生思考的方向、起点与路线图，重新确定适合于学生实情的坡度。先适当地“退”，足够的“退”，然后再适当的“进”，拾级而上，符合小学生的年龄与思维认知特点。

“进”的环节：

教师引入：“通过刚刚的学习，大家掌握了一个窍门：因为筛选与排除，有的次品不能上秤就能确定，从而用最少次数解决问题，而这就是优化思想。依据这一点，我们来做一个竞猜活动，同学们说具体数字（表示要检测物品的个数，其中一个是次品），我来快速口算最少几次能找到次品，开始——”于是，学生“你方唱罢我登场”，纷纷出数字，但老师毫无意外地快速回答问题。一些学生不禁既佩服又疑惑：“为什么这么快，老师的窍门是什么？”教师适时出示以下内容表格：

注：上边数字表示最少次数，下边表示这个次数所能检查的最大数字范围。

教师进一步追问：“测5 次呢？6 次呢？其中有什么规律没有？如果有规律，能否用一个简单的公式表示出来？”通过反复讨论，师生共同得出结论：最少n 次可以在3n-1+1——3n个物品中检测出次品。

实践证明，“以退为进”的策略，不仅仅有利于学生思维的逐步开阔，也有利于数学问题的逐步解决，有利于数学高效课堂的打造。数学教师，应该在该“退”时，引领学生足够的“退”；该“进”时，引领学生有分寸的“进”。

三、善于“拓”，“拓”中迁移

“找次品”的教学进行到这里，基本方法的探寻已经初步完成，教学目标的达成也初见成效。紧接着，通过必要的巩固与一定的拓展就成为必然。关键在于这种拓展要基于全体学生，力争达到覆盖全体学生的目的。以下分层训练题目就很好地体现了上述理念。

基础过关题：爸爸买了12 袋方便面，其中11袋是合格品，质量相等；另一袋是次品，稍微轻一些。如何运用天平最少次数找到次品？请你设计最优方案。

能力提升题：20 瓶洗发水中有一个不合格，相较于合格的而言，其质量轻一些。请你使用天平找出来，并说明“最少次数”的理由及方案。

拓展探究题：100 片药片中有一个稍微轻一点儿，属于次品。给你天平做工具，你最少几次能找出来？能否由少到多，总结出一个普遍性的规律？

从“12”到“20”再到“100”，不仅仅是题型上的由此及彼，也是提升学生思维水平过程中的由此及彼。这样的拓展中，绝大多数学生的能力在迁移，学习经验在积累，思维过程在优化，并且最终总结出三字诀并牢牢记在心里：“找次品，方法多；三而均，最合适；无法均，相差一；请牢记，找得易。”

课末，教师还应该秉持如下的思路进一步“拓”中迁移：设计的拓展性学习题目是否有新的生成点与拓展点？是否将迁移点的确定建立在全体学生都有所提高的基础上？是否在拓展中获得了恰到好处的增量与附加值？

设计及探究：

1.思考：前面的训练中多次出现了“3”以及3的倍数，这样的数的选择对于“找次品”意味着什么？如果一开始选择“2”或者“4”会怎么样？请作出推理和解释。

2.尝试运用前面的经验或方法解决从“27、81、243”个待测物体中找次品的问题，在此基础上总结其中的规律并谈谈原理与感悟。

3.如果不是“3”的倍数，其中若干个待测物体中找次品有无规律？能否将前面的方法与规律迁移到非“3”或非3 倍数找次品问题中？其中的最佳策略是什么？如何运用优化思想或方法？

总之，“优化”二字看似简单，但深入进去，值得师生展开溯源性思考与创新性步伐。优化思想运用得好不好，在于它是否点燃了学生的兴趣之火，在于是否进退有据，是否是一个既有一定限制亦能多元探究的拓展空间。当学生的思维过程被优化时，当生活的诸多细节被优化时，当诸如解决“找次品”等问题被优化时，课堂的精彩、学生的精彩和更大范围内的精彩，一定会豁然显现出来。