基于广义忆阻器的超混沌系统的研究与电路实现

李新颖,卢毅

(兰州交通大学 电子与信息工程学院,甘肃 兰州 730070)

蔡少棠教授[1]首次依据电路对称理论,阐述了电荷量与磁通之间还存在一种联系,即忆阻器。在21 世纪初,惠普实验室[2]成功研制出二端忆阻元件,证实了其物理的可实现性。忆阻器因存在非易失性和独特的非线性特性[3-4],受到了研究者的广泛关注。其在混沌电路、保密通信、忆阻神经突触电路等领域的应用研究也获得了很大的进展。

同时将忆阻器引入混沌系统后,可以得到忆阻混沌系统,比普通混沌系统具有更强的伪随机性和复杂性以及多稳定特性,可以使系统切换状态来维持稳定,在信息保密与随机信号发生器方面有理论意义与实际工程应用价值。包伯成等[5]通过将蔡氏电路二极管替换为忆阻器,设计出忆阻器电路,所得系统的稳定性取决于忆阻器的初始状态,且有线平衡点。孙克辉等[6]用二次型磁控忆阻器作为反馈项,加入Lorenz 系统后,得到一个新型四阶超混沌系统。俞清等[7]基于广义忆阻器,搭建了忆阻混沌电路,并对其共存分岔模式进行分析。Teng 等[8]利用四次多项式函数构造了一个新的忆阻器模型,与一般模型不同,该忆阻器模型具有两个最小值和一个最大值。Bao 等[9]提出了一个基于忆阻器的Jerk 系统,该系统存在4 个线平衡和无限多吸引子共存的超级多稳态现象。通过在混沌系统引入忆阻器反馈或用忆阻器替换混沌系统中的非线性项,是目前构建忆阻混沌系统的两种方式。构建不同类型的维度更高、混沌性更强的忆阻混沌电路,以及探究忆阻混沌电路中更多复杂的动力学特性,可以为混沌电路的应用奠定基础,为信息保密与随机信号发生器方面提供系统支持。

为拓展忆阻器模型,构建复杂性更高的混沌系统以及探究忆阻混沌系统的各类特性,并得到有更多复杂动力学行为的忆阻器混沌电路,本文基于一个三维非线性混沌系统,加入新设计的广义磁控忆阻器模型,设计出新型忆阻混沌系统,并搭建了模拟电路。分析了忆阻混沌系统的李雅普诺夫指数、耗散性、平衡点集、稳定性、相图等动力学特性以及部分特殊的混沌特性,如分岔特性、多吸引子共存等,发现新构建忆阻混沌系统有更强的混沌性与复杂性。新系统拓展了高维混沌系统类型,同时符合混沌电路、保密通信等领域的要求,满足科研中对复杂不可预测混沌系统的需求,实现忆阻器在混沌电路领域的应用研究。最后通过系统模拟设计与电路仿真的相图等相互验证,表明系统可用于实际的生产生活中。

1 基于广义忆阻器的新型混沌系统设计

1.1 广义忆阻器模型

Chua 提出广义忆阻器通用模型如式(1)所示[10]:

式中:v(t)和u(t)代表广义忆阻器的输出量与输入量;x为广义忆阻器的内部状态变量;函数G是连续的n维向量函数;函数H是连续的标量函数。本文基于通用模型设计出一种电压控制的广义忆阻器模型[11],该广义磁控忆阻器模型的公式描述如下:

式中:a=0.1,b=20,c=d=0.1。

该广义磁控忆阻器模型的电压、电流关系如图1 所示。图1(a)为固定激励幅度,不同频率下的I-V曲线;图1(b)为固定激励频率,不同幅度下的I-V曲线。由图1 可知,该模型的电压、电流关系为斜类“8” 字型的紧磁滞回线,满足忆阻器电压和电流的关系特性[12]。

给定输入电压v=Vsin(2πft),如图1(a)所示当固定激励电压幅度V=10 V,频率分别为5,20,40 Hz时,磁滞回线的旁瓣面积随着激励频率的增大而减小。当激励频率增大到一定值时,紧磁滞回线将呈现一条直线。当固定输入频率f=5 Hz 时,电压分别取V=4,7,10 V 时,由图1(b)可以发现磁滞回线的旁瓣面积随着激励电压幅度V的增大而增大。则此广义忆阻器模型符合忆阻元件的三个本质特征[13]。

图1 不同频率与幅度时的I-V 曲线。(a) f=5,20,40 Hz 时的I-V 曲线;(b)V=4,7,10 V 时的I-V 曲线Fig.1 I-V curves at different frequencies and amplitudes.(a) I-V curves at f=5 Hz,20 Hz,40 Hz;(b) I-V curves at V=4 V,7 V,10 V

1.2 一种新的基于非线性忆阻模型的混沌系统

给出三维Sprott-B 混沌系统,其无量纲状态方程为[14]:

式中:a,b,c是混沌系统的常数型参数。在这里,使流经忆阻器的磁通表示为第四个状态变量w,状态变量y则为忆阻器两端的电压,作为反馈引入到混沌系统中,并在状态z中加入忆阻项,增强忆阻特性,再调整参数,得到由忆阻器组成的四阶忆阻超混沌系统,混沌系统模型如下:

其中

取α=0.1,β=20 构成新型忆阻超混沌系统。x,y,z,w是状态变量,增益系数k=0.1,而a=3,b=15,c=30,d=e=0.01 是新的基于忆阻器的混沌系统参数,系统存在典型的混沌吸引子。代入参数后混沌系统如式(6)所示:

1.3 忆阻混沌系统的相图

在式(6)基础上,利用Matlab 对新型混沌系统进行数值仿真,取混沌系统初值x=y=z=w=0.1,得到新型忆阻混沌系统的吸引子。图2(a)～(d)分别是忆阻混沌系统在x-y、x-z、y-z、y-w平面的相图。由图2 可知新系统存在混沌现象,有着奇异吸引子。

图2 新型忆阻混沌系统的相图。(a)x-y 相图;(b)x-z 相图;(c)y-z 相图;(d)y-w 相图Fig.2 Phase diagram of a new memristor chaotic system.(a) x-y phase diagram;(b) x-z phase diagram;(c) y-z phase diagram;(d) y-w phase diagram

2 新型混沌系统的散度、平衡点、李雅普诺夫指数值及分岔图

2.1 散度

对于一个新型系统要产生混沌现象,这就要求系统散度要小于或等于零。其中系统散度等于零,说明该系统的体积不变,系统是有界限的。当系统的散度小于零时,系统是耗散系统,系统体积收缩。四阶系统的李氏指数有两个大于零时,系统的相轨迹会产生拉伸,此时若系统是有界限的,必然产生折叠运动。系统体积收缩与相轨迹拉伸相互作用的结果,便是产生混沌运动。

结合式(6),该新型混沌系统的散度计算如式(7)所示:

散度小于零,即该系统是耗散的。

2.2 平衡点与稳定性

为求出式(6)平衡点,令式(6)左边等于0,即:

由式(8)可得平衡点O={x,y,z,w|x=y=0,z=α,w=-30},α可为任意常数,可推导出式(6)存在线平衡,有无尽的平衡点集。

由此,式(6)的雅可比矩阵为式(9):

因此该雅可比矩阵J0的特征方程为:

解得λ1=0,λ2=0。

由式(11)和(12)可知,当α＞-18301.25 时,特征值λ3和λ4均为实数,此时系统平衡点是稳定的;当α＜-18301.25 时,特征值λ3和λ4均为复数,此时,系统的平衡点是不稳定状态。

2.3 李雅普诺夫指数

取混沌系统状态初值x=y=z=w=0.1,计算得出该系统李雅普诺夫指数值为LE1=1.0812,LE2=0.0045,LE3=-0.0093,LE4=-16.3307,有两个正值且系统指数之和小于零,所以该系统为超混沌系统。

2.4 混沌系统的分岔图

由于初始混沌系统引入了忆阻器反馈项,原本的混沌系统将会更加复杂以及出现不同的行为特性,因此分析了其参数变化对系统的影响。令式(4)参数a在(2,3)的范围时观察系统分岔特性,如图3 所示。从图3(a)可以看出系统由单周期态出发经过倍周期分岔进入二周期状态,再经过倍周期分岔逐渐进入混沌状态。同时,图3(b)中李雅普诺夫指数最大值从0 逐渐变化为正,也反映了系统从周期态到混沌态的变化过程,通过两图的对比可以很好地验证该过程的一致性,得出系统随参数a的变化存在着不同状态,即系统存在随着参数变化的多稳态特性。

图3 分岔图与李雅普诺夫指数图。(a) a∈(2,3)的分岔图;(b) a∈(2,3)的李雅普诺夫指数图Fig.3 Bifurcation diagram and Lyapunov exponent diagram.(a) Bifurcation diagram with a ∈(2,3);(b) Lyapunov exponent diagram with a ∈(2,3)

2.5 多吸引子共存现象

混沌系统加入忆阻器反馈项后,往往会出现忆阻器初值影响混沌系统状态的现象,当出现不同忆阻器初值对应不同混沌吸引子状态时,称之为多吸引子共存现象[15-16]。固定式(6)混沌系统参数,将忆阻器初始值w(0)作为分岔参数,当w(0)在[-1.5,1]之间变化时,得到如图4 所示分岔图和李雅普诺夫指数图。由图4(a)与图4(b)可知,w(0)在[-1.5,-1.15]之间,最大李雅普诺夫指数值在0 与正值之间变化,因此系统处于混沌与周期交替的状态;w(0)在(-1.15,-0.658] 之间,最大李雅普诺夫指数值为0,系统处于周期状态;w(0)在(-0.658,1]之间,最大李雅普诺夫指数值为正,系统处于混沌状态。初值w(0)在[-1.5,1]范围内,取w(0)=-1 时作吸引子相图,如图5(a)所示,为周期态;取w(0)=0 时作吸引子相图,如图5(b)所示,为混沌态。可见系统在不同忆阻器初值时,系统的状态随初始值的变化而变化,即忆阻器初值的不同会使忆阻混沌系统存在多种不同的吸引子,导致多稳态特性的出现。

图4 随初始值w(0)变化的分岔图与Lyapunov 指数图。(a) w(0)∈[-1.5,1] 的分岔图;(b) w(0)∈[-1.5,1]的Lyapunov 指数图Fig.4 Bifurcation diagram and Lyapunov exponent diagram with initial value w(0).(a) Bifurcation diagram with w(0)∈[-1.5,1];(b) Lyapunov exponent diagram with w(0)∈[-1.5,1]

图5 不同w(0)下的吸引子相图。(a)w(0)=-1 时的x-y 相图;(b)w(0)=0 时的x-y 相图Fig.5 Attractor phase diagram under different w(0).(a) x-y phase diagram when w(0)=-1;(b) x-y phase diagram when w(0)=0

3 新型混沌系统的电路设计

为使该忆阻混沌系统在实际工程应用中有价值,设计了相应的混沌忆阻电路,并通过示波器观察形成的相图。混沌电路设计主要由两部分组成: 第一部分通过新型混沌系统的状态方程,设计相应的电路模块;第二部分是将电路模块进行组合,形成混沌系统电路。通过对混沌系统电路的相图与数值模拟的结果做对比,验证混沌系统的可行性[17-19]。电路通过分模块来实现x,y,z,w四个状态量,采用TL074CN 型号的运算放大器Ui(i=1,2,…,7)和电容来实现反向积分功能,用AD633 型号、乘法因子为0.1 的乘法器实现非线性部分以及联立线性电阻、电容搭建电路。为使状态变量范围在±13 V 内,对状态变量进行压缩变换,即使x=10x,y=5y,z=5z,w=w再进行尺度变换,令时间常数τ0=100,得式(13):

式(13)对应的电路的状态方程为:

设电路中的电容C1=C2=C3=C4=100 nF,R1=R2=R5=R6=R11=R12=2 kΩ,R3=R7=R13=1 kΩ,R4=1.333 kΩ,R8=3.333 kΩ,R9=6.662 kΩ,R10=0.5 kΩ,R14=1 kΩ,R15=100 kΩ,R16=500 kΩ,R17=2000 kΩ,R18=200 kΩ,v1=6 V,VEE=-13 V,VCC=13 V,构建图6 所示忆阻混沌电路,其中图6(a)为系统x,y状态量的电路构造,图6(b)为系统z,w状态量的电路构造。

图6 超混沌系统电路实现。(a)x, y 状态量的电路结构;(b)z, w 状态量的电路结构Fig.6 Circuit realization of hyperchaotic system.(a) Circuit structure of x and y state quantities;(b) Circuit structure of z and w state quantities

运行电路仿真,则从图7 示波器显示相图中可以看出,混沌电路有着混沌吸引子,相轨迹难以预测。通过将混沌电路的结果与Matlab 仿真结果相比较,两者相运动轨迹基本一致,由此验证了混沌电路与仿真结果的一致性以及混沌电路的可实现性,确保系统可用于实际的生产生活中。

图7 示波器混沌吸引子。(a)x-y 相图;(b)x-z 相图;(c)y-z 相图;(d)y-w 相图Fig.7 Chaotic attractor of oscilloscope.(a) x-y phase diagram;(b) x-z phase diagram;(c) y-z phase diagram;(d) y-w phase diagram

4 结论

本文基于通用忆阻器模型,设计了一个广义忆阻器,并将其引入Sprott-B 混沌系统,构建了一个新的忆阻超混沌系统,并搭建了忆阻混沌电路。通过对忆阻混沌系统包括相图、李雅普诺夫指数、耗散性、平衡点集、稳定性、参数分岔、多稳态等特性的分析,发现新构四阶忆阻混沌系统为超混沌系统,存在线平衡点和多吸引子共存现象,标志着其更强的复杂性与混沌性,符合对更强的伪随机性、复杂性以及多稳定特性系统的要求,则此新构系统可通过切换状态实现信息保密与随机信号发生器方面的应用。其次,忆阻混沌电路的构建验证了系统的可行性与一致性。类似Bao 等在混沌系统引入二次项反馈的结果,引入广义忆阻器的混沌系统有随参数变化的分岔特性和多吸引子共存等新动力学行为,实现了对包含广义忆阻器的超混沌系统形成过程的研究,并为忆阻器模型以及忆阻混沌电路领域的应用提供了一定依据,同时在图像加密、保密通信等领域有一定应用价值。