类比视域下的整体教学——“角”教学实录与反思*

何丽华 (江苏省常州市金坛段玉裁初级中学 213200)

1 基本情况

1.1 授课对象

学生来自笔者的“子弟兵”，对数学学习热情较高、思维活跃，且已掌握了线段的相关知识，但学生缺乏“有条理地梳理知识”和“主动地迁移知识”的能力.

1.2 教材分析

“角”是苏科版七上第6章第2节内容，和线段的学习一样，角的学习研究蕴含着两个路径——几何概念的抽象路径(实物和模型→图形语言→文字语言→符号表示)和图形的研究路径(概念→表示→大小→性质→应用)，两者之间的整体一致，可以让数学学习露出脊梁，变得精干[1]，感受数学知识的整体统一.

教学目标 (1)借助观察、操作、思考、归纳等活动过程，进一步理解角的概念；(2)经历线段与角的类比学习过程，自主整体建构“角的知识结构”，感受几何图形学习的基本套路，积累学习几何图形的基本经验.

教学重点 运用类比方法研究角，形成对角的整体认识.

教学难点 用多种表征(图形、文字、符号等)描述角的概念、角的大小、角的和与差.

2 教学过程

2.1 学前先思，结构整理

问题1前面我们一起研究了什么内容？

生1：直线、射线、线段.

师：我们研究的重点内容是什么？

生2：线段.

师(追问)：有关线段你知道哪些知识？(在学生回答的基础上，板书图5中的I部分)

设计意图引领学生“有条理地梳理知识”，帮助学生寻找新知的“固着点”和“生长点”，也为“主动地迁移知识”作好铺垫.

2.2 观察思考，归纳定义

(1)静态定义

过渡：我们在研究线段、射线、直线的基础上来学习角的相关知识.

问题2①观察：观察两块三角板，请找出其中的角.(生略)

②操作：请同学们画出一个角.(生略)

③思考：请对“角”下一个定义.

④分析：请找出定义中关键的字词.(生略)

⑤举例：请举出生活中一些“角”的实例.

生3：两条线交叉组成的图形叫作角.

生4：应该是两条射线组成的图形叫作角.

生5：有公共端点的两条射线组成的图形叫作角.

生6：钟的两根针形成角……

设计意图“观察—操作—思考”调动学生多种感官，抽象出本质属性，逐步提炼出角的概念内涵；“分析”过程明了概念的严谨性；“举例”过程感受角概念的丰富外延.

(2)动态定义

问题3“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，刚才有同学提出钟的两根针形成角，这次请同学们观察针的运动，类比联想一下，从“动态”的角度，对角下一个动态定义.

生7：角也可以看作一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形.

师生顺势探究始边、终边、角的内部、角的外部、平角、周角等概念.

设计意图(1)“动态定义”培养学生用不同视角认识同一事物的能力和意识，也能适切地理解相关概念——角的内部、外部、平角、周角等；(2)“类比联想”拉近了生活和数学距离，让学生易于理解，开拓学生思维，感受数学与生活的紧密联系.

2.3 大胆猜想，类比探究

过渡：从线段的知识结构来看，接下来我们应该研究角的什么内容呢？

生：角的表示方法.

·类比学习1——表示方法

问题4请大家利用表示线段的经验表示一个角.

先独立思考，再交流讨论(图1)，形成类比学习的两种认识：(1)类比——相同之处：研究角的表示方法之前，我们应该把角的关键元素表示出来，公共端点即顶点为点O，两条射线分别记为射线OA,OB，这样很显然，可以用三个大写字母把角表示出来，注意用三个字母表示角时，表示顶点的字母必须写在另两个字母的中间，如∠AOB；在不引起混淆的情况下，顶点处只有一个角时，角还可以用它的顶点字母来表示，如∠A.(2)类比——不同之处：还可以怎样表示呢？用小写字母表示，为了便于区分线段表示方法，角可以用希腊字母来表示，一般地，用希腊字母表示一个角时，需在角内靠近顶点处画上弧线.如∠α；角可以用一个数字来表示，用数字表示一个角时，需在角内靠近顶点处画上弧线，如∠1.

图1

图形变式：将图2中的角用不同的方法表示出来.

图2

(生略)

设计意图(1)采用“对比”形式，感受类比学习的关键——数学知识之间的区别和联系，即线段和角表示方法的相同点——都可以用大写字母表示，不同点——分别用小写字母、希腊字母和数字表示；(2)“图形变式”及时改变图形，培养从复杂图形抽离简单图形的能力，并巩固所学知识.

·类比学习2——比较大小

过渡：类比线段的研究思路，我们接下来应该研究什么？

问题5如图3，怎样比较两个角的大小？

图3

小组活动要求：(1)独立思考、操作完成；(2)交流讨论，共享智慧；(3)选一名代表进行大班发言.

学生代表1：可以先用量角器测量这两个角，然后再比较角的大小.

师：这组同学比较大小的思路有点像比较线段大小中的什么方法？

生(众)：度量法.

师(追问)：用量角器测量角的步骤是什么？

生8：一对中，二合线，三读数.

师：线段测量的单位为cm,dm,m，那么刻画角的单位有哪些呢？

生9：度.

师：角的度量单位除了小学学过的度，还有分、秒，它们之间的换算类似时间单位之间的换算.还有其他方法吗？

学生代表2：可以将∠AOB平移至∠EDF处，使得边OB和边DF重合，若边OA在∠EDF的内部，则∠AOB<∠EDF；若边OA在∠EDF的外部，则∠AOB>∠EDF；若边OA和边DE重合，则两角相等.

师：这组同学比较大小的思路有点像比较线段大小中的什么方法？

生10：叠合法.

生11：叠合法的操作思路与量角器测量角的思路相同.

设计意图(1)继续采用“对比”形式，在类比学习中深化了研究，有序地建构了角的知识结构，再一次感受了类比学习方法，积累了经验；(2)从定性描述角的大小到定量刻画角的大小、再到角的换算，发展数学运算素养.

·类比学习3——角的和差

问题6我们反思一下，在学习线段叠合时，若存在线段不相等，我们发现了线段可以是某些和差的形式，如AB=AC+BC，AC=AB-BC.类似地，请写出图4中有关角的和与差的关系式.(过程略，在学生回答的基础上完善 图5中的II部分)

图4

图5

师：在刚才三个类比学习过程中，我们应该关注什么？还有什么疑问或问题？(过程略)

2.4 变式练习，及时巩固(略)

2.5 课堂小结，反思提升(略)

3 回顾与反思

3.1 教学立意

“类比视域下的整体教学”着力用高观点考量数学教学中的各个要素，对相关教学内容进行统筹重组和优化，以学生思维发展为目标，用类比学习的方式学习新知，突显数学知识的结构性、逻辑性、整体性，促进学生数学素养的形成[2].主要体现在：

(1)“教”的整体性

教程着眼于“引”，尽力激发学生的求知欲望，引导学生在整体上把握本节课的大致内容和学习方法.

(2)“学”的层次性

学程着眼于“探”，倡导类比学习方式，学程设计从“扶”(类比活动1)到“半扶半放”(类比活 动2)，再到“完全放开”(类比活动3)，让学生拾阶而上，步步为营，逐步引领学生“感受—理解—简单运用”类比学习方法.层次分明的类比探究历程让学生思维的发展更清晰、更全面、更深刻、更严谨.

3.2 教学反思

为了落实“类比视域下的整体教学”，本节课主要从三个方面精心展开：

(1)问题——激其思

杜威说，如果我们知道问题是什么、困难在哪里，那么有效的思维便比较容易进行了.发展学生的数学思维，创设高质量的问题情境，让学生有话可说、有话要说，是至关重要的第一步.本节课一开始，问题1引领学生回顾线段的相关内容，唤醒了已有的知识和经验，有序梳理知识，形成框架，减少认知负荷，帮助学生建立了新知的“固着点”和“生长点”，也为有序地进行类比探究学习作好铺垫.问题2和问题3用问题串的形式激发学生深入思考，让学生完整地获得了研究对象，而接下来的三个类比探究问题成功地展现了学习的曲折、思维的障碍、理解的误区……也让学生理解了类比学习的关键——找不同点和相同点，积累了数学基本活动经验.

(2)探究——明其迹

探究，必须要让学生经历知识的产生、发生和发展过程.本节课主要经历两个探究路径：

1)几何概念的抽象路径.即“实物和模型→图形语言→文字语言→符号表示”的抽象过程.具体过程为从学生身边的学具入手，“观察—操作—思考”调动学生多种感官，逐步除去非本质属性，抽象出角的本质属性，丰富概念学习过程，拉长知识的发生发展过程，完善了“角”概念的内涵；在此基础上教师继续引发学生思考：观察钟面针的运动并进行类比联想，从“动态”的角度对角下定义.从感性认识生活中的角到理性认识数学上的角，从静态和动态两个角度明确了学习对象，让学生在具体情境中展开认识活动，使学生经历完整的抽象过程，获得学习对象，发展数学抽象素养.

2)图形的研究路径.即按照“概念→表示→大小→性质→应用”的路径展开，这也是学生学习几何的基本过程.以上两个一致性的学习过程，如武术的套路一样，从简单到复杂，从感性到理性，前后一致，逻辑连贯，既反映了数学知识的逻辑结构，也符合学生的认知规律，更为以后探究其他几何图形做好了“宏观铺垫”.

(3)关联——畅其径

关联是为了找到知识的联结和结构，去除遮蔽，关联不是简单地用一种思维去替换另一种思维，而是让思维“能够充分地从一个点到另一点进行连续的活动”(杜威).整个课堂教学中，为了体现思维的关联，着重考量以下两个方面：

1)多重联系.本节课中多处体现生活与数学的联系，也多处体现了数学知识之间的联系(如线段与角之间的联系、度量法和叠合法的联系等等).

2)结构认知.由于本章新知识多且杂、新旧知识联系多，故采用“框架式”和“对比式”结合的板书设计(图5).这样的板书设计不仅可以使得本节课的关键性知识一目了然，减轻学生认知负担，利于学生学习、记忆，而且也利于迁移和关联性思考.