非饱和土的弹塑性本构模型探讨

摘要：目前大多数采用的是基于双应力变量来建立模型，主要是将净应力σ-ua和基质吸力s作为两个独立的状态变量，建立非饱和土的弹塑性本构模型。

关键词：非饱和土；本构模型；应力应变1BBM模型

土力学理论发展以来，最核心的问题之一就是如何确定本构关系［1］。目前从饱和状态的土扩展到非饱和状态需要解决的最主要问题是由含水率或吸力变化导致土体体积变化、强度变化和水利性质发生变化，大多数采用的是基于双应力变量来建立模型，主要是将净应力σ-ua和基质吸力s作为两个独立的状态变量。而Alonso（1990）也是在此基础上提出了最早的非饱和土本构模型（BBM模型）。

在BBM模型的影响下，广大学者在该模型基础上拓展，相继涌现出了很多非饱和土本构模型，并且非饱和土本构模型的研究也一度成为土力学的热点之一［24］。BBM模型中最重要的是提出了两条屈服线：一条是非饱和土屈服应力随吸力变化曲线， 简称LC加载湿陷屈服线（Loading-collapse yield curve），由该曲线可预测非饱和土的湿化变形特性；另一条非饱和土体屈服是由吸力变化引起的，简称吸力增加屈服线SI （Suction Increase），把该两条屈服线同时绘制在坐标轴中并与坐标轴所围的区域称之为弹性区，不管应力路径穿过加载湿陷屈服线还是吸力增加屈服线，土体都会发生屈服。而该模型在p-q-s空间中可以用图1表示，p-s空间中边界线LC的表达式为：p0pc=p*0pcλ（0）-kλ（s）-k（1）图1p-q-s空间内的三维应力屈服面

其中：p*0、p0为饱和、非饱和土的先期固结压力，pc为参考应力，与饱和状态下临界状态线斜率相同。在修正剑桥模型基础上，BBM模型采用的屈服函数仍为椭圆屈服面，该屈服面方程为：f=q2-M2（p+ps）（p0-p）（2）式中：M为非饱和土体的临界状态线的斜率，ps为屈服面与p轴的交点或截距为：ps=ηs（3）式中：s为基质吸力，η为常数。

体积变化性质是土的一种最根本特征。饱和土只需要考虑应力对体变的影响，并假定饱和土各向等压固结中孔隙比或比体积沿正常固结线（NCL， Normal Consolidation Line）变化，与有效应力的自然对数之间近似满足线性关系，即：v=N-λlnp′=N-λln（p-uw）（4）式中：p为平均应力，v和p′分别表示饱和土的比体积和平均有效应力；N是当p′=1 kPa时对应的孔隙比；λ为饱和正常固结线e-lnp′的斜率。

式（4）写成增量形式为：dv=-λdpp-uw-λd（-uw）p-uw（5）从式（5）中可以看出体积变化是由平均应力与孔隙水压两部分引起的，并且当平均应力和孔隙水压绝对值的增量大小相等时对土体会产生同样的变形，而非饱和土由于增加了吸力对土体体变也会有很大的影响，BBM及早期提出的一些非饱和土本构模型，虽然考虑了除含水率或吸力之外的其他因素，比如土体所处的干湿状态，初始施加的应力以及应力路径等对土体变形的影响，以及吸力或者含水率对强度、刚度和先期固结应力的影响。但都不能描述由于应力或吸力变化引起的饱和度变化，也不能用于模拟非饱和土吸力循环下的水力滞后特性。

23种本构关系

现有非饱和土本构模型的研究中，主要从式（4）饱和土体变方程中扩展到非饱和土，主要考虑应力和吸力相互独立、应力和吸力相结合和介于这两者之间3个方面建立本构关系。

2.1应力和吸力相互独立的方法

该方法是将应力变化与吸力变化导致的土体体积变化分开考虑，孔隙比（e）或比体积（v=1+e）与净应力和吸力之间的关系如下：v=N-λvplnp--λvslns+uatuat（6）式中：p-=p-uw为净平均应力；N为当p-=1 kPa和s=0 kPa时的比体积；λvp为v-lnp-的斜率，称为应力作用下的压缩系数；λvs为v-lns的斜率，称为吸力作用下的收缩系数；仅考虑超过屈服吸力塑性变形范围的数值，uat用于消除s=0时方程的奇异性。

2.2应力与吸力相结合的方法

该方法通常将两个变量净应力p-=p-uw和基质吸力s=ua-uw用一个表达式表示出来，其有效应力形式为：p′=p-+f（s）（7）式中：f（s）为基质吸力的函数，根据式（7）可将式（4）扩展到非饱和状态，即：v=N-λlnp′=N-λln［p-+f（s）］（8）式中：N为当p′=1 kPa时的比体积。通常假定N为常数，不受吸力大小的影响。

2.3介于应力和吸力之间的方法

Sheng等采用双应力变量将式（5）扩展到非饱和土，提出了著名的SFG模型，就是介于应力和吸力之间的方法模型，其增量形式可表述如下：dv=-λvpdp-p-+f（s）-λvs（s）dsp-+f（s）（9）式中：λvp是一个材料常数，与吸力无关，λvs则是一个随着吸力变化的参数，饱和时λvp=λvs。

3应力应变关系

对黄土而言其应力应变关系曲线描述了土体受力时的不同状态，根据应力应变关系曲线不同建立不同的本构模型，从而更全面地对土体的力学特性做进一步的阐述。并根据应力应变本构关系的不同主要分为软化型和硬化型本构关系，软化型又分为弱软化型和强软化型，硬化型又分为弱硬化型和强硬化型。

3.1强软化型黄土试样的应力应变关系σ1-σ3=Etε1（10）

Et=（σ1-σ3）iεi（11）

q=σ1-σ3=ε1（a+cε1）（a+bε1）2（12）式中：a、b和c均为试验参数。

3.2弱软化型黄土试样的应力应变关系σ1-σ3=λεM1eNε1（13）式中：λ、M和N是关于σ1-σ3的函数，通过对式（13）求导，可得到黄土试样的切线模量如下式：Et=d（σ1-σ3）dσ1=（σ1-σ3）（Mε1+N）（14）3.3强硬化型黄土试样的应力应变关系σ1-σ3=β1εα11（15）式中：α1、β1为常数。

上式对ε1求导可得切线模量E1为：Et=d（σ1-σ3）dσ1=α1β1α11（σ1-σ3）1-1α1（16）3.4弱硬化型黄土试样的应力应变关系σ1-σ3=ε1a+bε1（17）式中：a、b为试验参数，弱硬化型黄土试样的切线模量E1为：Et=1-Rf（1-sinφ）（σ1-σ3）2ccosφ+2σ3sinφ2Kpaσ3pan（18）

式中：K、Rf、c、φ和n均为试验常数，Pa为大气压力。

4结论

基于对黄土本构关系表达式的总结，为更好地提出黄土本构模型提供了便利。刘祖典等（1997）通过对不同类型的黄土的湿陷变形应力应变关系的研究，得出原状黄土的应力应变曲线受围压和沉积时代影响，并且通过试验分析推导得出关于黄土弹塑本构方程。沈珠江（1994）将损伤力学引入土力学，并提出用以描述黄土软化现象的弹塑性损伤模型。夏旺民（2009）基于损伤力学和塑性力学理论建立了黄土的弹塑性损伤本构模型。王丽琴等（2017）提出了一种新的非线性模型，该模型把黄土不同的应力应变关系曲线的数学表达式归一为一个数学表达式，并且把应力应变关系曲线的切线模量数学表达式也得到统一。李旭东等（2019）在侧限条件下，通过在不同含水率和不同压实度下做了大量试验，得出应力应变关系曲线，再利用自建GunaryEXT模型拟合这些曲线，并在此基础上利用割线模量法建立压实黄土的加载变形本构模型。褚峰等（2019）将相应的黄土结构损伤比引入屈服函数中，在试验相关参量的基础上与硬化参量之间的相关关系，推导出在压剪条件下结构性黄土损伤本构模型。

参考文献：

［1］刘祖典. 黄土力学与工程［M］. 西安： 陕西科学技术出版社，1997：115127.

［2］沈珠江. 黄土的损伤力学模型探索［C］∥第七届土力学及基础工程学术会议论文集. 北京： 中国建筑工业出版社， 1994：145149.

［3］夏旺民， 郭新明， 郭增玉， 等. 黄土弹塑性损伤本构模型［J］. 岩石力学与工程学报， 2009，28（S1）： 3239.

［4］王丽琴， 鹿忠刚， 邵生俊. 黄土非线性应力应变新模型及对比研究［J］. 岩土工程学报， 2017（9）：3435.