基于时间序列的软件产品定价模型

胡大宇，万扶摇，王秀利，3

(1.中央财经大学信息学院，北京 102206；2.中央财经大学金融学院，北京 102206；3.国家金融安全教育部工程研究中心，北京 102206)

0 引言

随着消费者需求的多样化和个性化，软件产品也在不断地精细化和综合化。在产品种类和组合不断拓展的基础上，如何在不同阶段采取相应的定价策略，从而实现企业利润最大化就显得尤为重要。

软件产品属于信息产品，与一般商品不同，因其具有可复制性、消费者偏好性、不可损耗性、贬值性、共享性和经验性等特点，使得传统商品基于成本的定价模式不再适用。对此，Varian[1]提出了个性化定价策略、群体定价策略和版本定价策略，在差别定价的基础上，专家学者又研究了捆绑定价策略[2]。近些年来，又有学者们提出了基于效能贡献度的装备软件定价[3]、基于不同试用策略的双重定价[4]等定价策略，并对盗版产品对定价的影响进行了阐述并提出解决方案[5]。

本文引入时间序列，对差别定价和捆绑定价进行综合分析，提出了处于不同生命周期阶段的软件产品所适宜的定价模式。

1 时间序列

本文提到的时间序列涉及两方面：软件产品生命周期模型以及货币的时间价值。

首先，软件产品具有显著的生命周期特性，即投入期、成熟期和衰退期。在投入期，生产者的主要任务是对软件产品进行宣传推广从而扩大销路，在短时间内打开市场，使得其能在市场上立足；在成熟期，软件产品日益普及，市场需求逐渐趋稳，生产者应着力调整定价策略从而争取在此阶段获得大量盈余；在衰退期，软件产品销量下滑，市场上出现新产品，生产者采取相应方式使得其逐渐退出市场。由于涉及到时间维度，需要借助公司金融领域的投资方案评估方法，采用净现值模型将所有的收益折算到起始时间点，由此对软件产品的最终收益进行分析，继而判断开发软件产品的真实盈利状况。

模型假设：软件产品固定成本为C，假设生产者在软件产品投入期和衰退期时是垄断竞争市场，在成熟期时垄断整个市场以便于研究，并且其追求利益最大化。在垄断竞争市场中不考虑其他生产者对软件产品定价的影响。涉及到消费者行为的分析是由给定消费者效用为基础进行的。在不同阶段选择消费者各异的效用作为评价标准，随着捆绑产品数量的增长，将消费者对组合产品的效用评价收敛到一个具体值，以方便模型分析。

2 时间序列定价分析

在投入期，生产者可以采取低价策略占领市场，通过覆盖更多的消费者从而提高整体消费者对产品的效用评价，为成熟期销售量的显著提高打下坚实基础。在成熟期，生产者应该综合考虑差别定价和捆绑定价方式进行定价，实现本阶段的利益最大化。在衰退期，考虑到整体消费者对软件产品的效用评价有明显下降，生产者可以通过降低价格进行促销的方式来获取软件产品最后的利润。将此种销售方式定为方式1。同时，生产者也可以在所有阶段都采用直接销售的方式获取利润。将此种销售方式定为方式2。

由于方式1先期销售的特殊性，在软件产品推广期间，生产者面临的是买方市场，无法采取强势的捆绑定价策略，因此仅讨论单独销售软件的情况。而在软件成熟期和衰退期，都可以采用单独销售或捆绑定价的模式。由于方式1在前期的推广，消费者对软件产品有更加深入的了解，从而能在成熟期对其有更高的效用评价。相对的，在其衰退期则对其有更低的效用评价。在方式2中消费者对软件产品的效用评价在3个阶段亦有差异，但由于没有全面的接触，在成熟期中消费者对软件产品的评价不会出现显著的变化。此后消费者对软件产品的效用评价基本维持稳定，因此在模型的二、三阶段中采取了同一效用评价指标进行处理，突显出方式1与方式2的区别。

假设软件产品的生命周期分为3个时间阶段，以t作为单位时间进行量度，它们的长度分别为d1t、d2t、d3t，t时间内的利率为r。有两类消费者，分别占消费者总数量的n(0

以方式1进行销售时，消费者总数是Q1，在3个时间阶段分别占有的比例为u1、u2、u3，需要满足u1+u2+u3=1。A类消费者中占总数量mx(0

以方式2进行销售时，消费者总数是Q2(Q2

由大数定理可知，在消费者数量足够多的情况下时，其对捆绑产品的效用评价各自收敛到相应数值。同时假设Vxh1>Vxm1>Vxl1，Vxh2>Vxm2>Vxl2，Vyh1>Vym1>Vyl1，Vyh2>Vym2>Vyl2，Vxh1>Vxh2，Vxm1>Vxm2，Vxl1>Vxl2，Vyh1>Vyh2，Vym1>Vym2，Vyl1>Vyl2，且软件产品X，Y不相关，以便于分析。

综合考虑捆绑定价和差别定价，共有4种销售方法，每种销售方式中有不同的定价模型。消费者对不同产品有3种效用评价，分别为低、中、高，由l、m、h表示，在下述分析中，采用C(i)，i分别为1、2、3进行表示。消费者人数有2种情况，采用Qj，j分别为1、2进行表示，从而使得模型能够被简洁清晰的描述。

4种销售方法如下。

1)生产者采取整体单独销售。若X产品定价为VxC(i)1，则生产者的收益为：

Wx1=Qj×[n×mx+(1-n)×tx]×VxC(i)1

若X产品定价为VxC(i)2，则生产者的收益为：

Wx2=Qj×VxC(i)2

Y产品定价同理，则生产者的总收益为：

Wsolo=max{Wx1，Wx2}+max{Wy1，Wy2}

2)生产者采取群体定价策略单独销售。若X产品在A类消费者中定价为VxC(i)1，则生产者的收益为：

Wxa1=Qj×n×mx×Vxc(i)1

若X产品在A类消费者中定价为VxC(i)2，则生产者的收益为：

Wxa2=Qj×n×VxC(i)2

生产者销售X产品给A类消费者的收益为：

Wxa=max{Wxa1，Wxa2}

同理，生产者销售X产品给B类消费者的收益为：

Wxb=max{Wxb1，Wxb2}

同理，生产者销售Y产品给A类消费者的收益为：

Wya=max{Wya1，Wya2}

生产者销售Y产品给B类消费者的收益为：

Wyb=max{Wyb1，Wyb2}

生产者的总收益是：

Wsolo+group=Wxa+Wxb+Wya+Wyb

3)生产者采取纯捆绑销售。如果A类消费者对捆绑产品Z的效用评价收敛值大于B类消费者对其的效用评价收敛值。

若Z产品定价为：

Pz1=[mx×VxC(i)1+(1-mx)×VxC(i)2]+

[my×VyC(i)1+(1-my)×VyC(i)2]

生产者的总收益：

Wz1=Qj×n×Pz1

若Z产品定价为：

Pz2=[tx×VxC(i)1+(1-tx)×VxC(i)2]+

[ty×VyC(i)1+(1-ty)×VyC(i)2]

生产者的收益：

Wz2=Qj×Pz2

生产者的总收益：

Wbundle=max{Wz1，Wz2}

同理，如果A类消费者对捆绑产品Z的效用评价收敛值小于B类消费者对其的效用评价收敛值。

生产者的收益分别为：

Wz1=Qj×Pz1和Wz2=Qj×(1-n)×Pz2

生产者的总收益：

Wbundle=max{Wz1，Wz2}

如果A类消费者对捆绑产品Z的效用评价收敛值等于B类消费者对其的效用评价收敛值。则：

Z产品定价为Pz=Pz1=Pz2

生产者的总收益：

Wbundle=Qj×Pz

4)生产者采取群体定价策略混合捆绑销售。

Z产品在A类消费者中定价为Pz1，在B类消费者中定价为Pz2，生产者的总收益：

Wbundle+group=Qj×[n×Pz1+(1-n)×Pz2]

以方式1进行销售，在4种销售方法中，j取1，第一阶段i取1，生产者最优收益：

W11=max{Wsolo，Wsolo+group}，

第二阶段i取2，生产者最优收益：

W12=max{Wsolo，Wsolo+group，Wbundle，Wbundle+group}，

第三阶段i取3，生产者最优收益：

W13=max{Wsolo，Wsolo+group，Wbundle，Wbundle+group}

生产者折算最优收益：

以方式2进行销售，在4种销售方法中，j取2，第一阶段i取1，生产者最优收益：

W21=max{Wsolo，Wsolo+group}，

第二、三阶段i取2，生产者最优收益：

W22=max{Wsolo，Wsolo+group，Wbundle，Wbundle+group}

生产者折算最优收益：

综上所述，生产者最终的最优收益：

W=W1+W2-C

生产者最优定价模型即最优收益所对应的定价模型。

最后，该最优收益必须大于零，否则生产者会选择不生产，此时生产者的最优收益将变为零。

3 结语

软件产品具有不同于一般商品的鲜明特点，使得传统产品的定价模式不再适用。捆绑定价可被视为版本定价的特殊形式，其有助于将消费者的效用集中化，从而使得生产者可以利用自身优势对消费者进行区分。这种定价模式符合成熟市场中的情况，并且能够显著增加生产者的利益。本文创新性地引入时间维度，从软件产品的生命周期和货币的时间价值两个角度进一步得出使得生产者利益最大化的定价模型。