Lüroth展式相邻字符乘积的部分和的相关例外集的分形维数

张一鸣

（重庆师范大学 数学科学学院，重庆沙坪坝 401331）

令 Lüroth 变换为 T：[0,1)→[0,1),

对任意的x∈(0,1)，定义d1(x)≥2为使得式(1)成立的唯一正整数

对 n≥2，如果 Tn-1(x)≠0，则定义 dn(x)=d1(Tn-1(x))。从而对任意x∈(0,1)，可以得到由T所诱导的式(2)级数

称这一级数为x的Lüroth展式,Lüroth展式由Lüroth在1883年首次引入[1]，当x为有理数时，它的级数展式只含有限项，其中dn(x)称为x的Lüroth展式的第n个字符。Lüroth展式在实数表示理论、动力学系统及概率分布中发挥着重要的作用，因此一直是数学工作者的研究热点并且已有很多的研究成果。例如变换T关于勒贝格测度λ是不变的并且T是遍历的[2]。字符列{dn(x):n≥1}的度量性质和遍历性质可参考文献[3]。关于单个Lüroth展式字符的增长速度及相关维数问题的研究可参考文献[4]。沈陆明[5]研究了Lüroth展开式中的相关分形维数，考虑了Lüroth级数展开中对数字有一定限制的点集，给出了相关例外集的分形维数。沈陆明[6]还研究了Lüroth展式中最大数字的相关分形维数。谭波[7]研究了Lüroth展式两个相邻字符乘积的增长速度，集合｛x∈(0,1):dn(x)dn+1(x)≥φ(n).无穷多次成立｝的勒贝格测度与分形维数得到了解决。

鉴于此，本文将研究Lüroth展式相邻字符乘积的部分和的相关例外集的分形维数，令

定理 1对任意的 α＞1，若，则。

定理2对任意的，若，则。

1 预备知识

性质1[8]对任意的n≥1和正整数d1,d2,…,d（n其中di≥2，1≤i≤n），称集合

为一个n阶柱集。I(d1,d2,…,dn)是一个区间，长度为

引理1[9]给定[0,1]=E0⊃E1⊃…为一递减的集合列，令，假定En为有限个不交闭区间（此类区间称为n阶基本区间）的并集，同时En-1中的每一个n-1阶基本区间里包含了mn个n阶基本区间，且记这些n阶基本区间之间的最短间距为 εn。若 mn≥2，εn-1＞εn＞0，则有

2 维数的下界估计

引理 2令 xn=ψ(n)-ψ(n-1)，n≥2。若 xn单调递减且

证明：令 a1,a2,…是正实数，定义 a1=2，a2=φ(1)且

因此，由拉格朗日中值定理得

所以

然后通过连续使用式(6)，得到

因为

其中，ξ介于xn与xn-1之间。再由拉格朗日中值定理得

从而有

若n是偶数，则由式(4)和式(7)得

同样，若n是奇数，则有

取整数N≥1，且N足够大，满足对∀n≥N，有

令

因此，对∀x∈G，有

由于 anan+1=φ(n)-φ(n-1)(n≥2)，则有

即 x∈G(φ)，从而有

对∀n≥N，任意的正整数 d1,…,dn，令

其中，dn+1取整数且满足

cl表示R中集合的闭包。令d1=d2=…=dN=2且对∀n≥1，令

其中，dN+1，…，dN+n取整数，且满足对∀1≤i≤n，有

则

集合

则每一个Gn-1中的区间包含mn个Gn中不相交的区间。因此，由式(8)和式(9)得

又I(d1,…,dN+n-1,a+1,2)在Gn中的任意两个相邻区间 J(d1,…,dN+n-1,a)和 J(d1,…,dN+n-1,a+1)之间。记

其中，dN+1,…,dN+n取整数且满足对∀1≤i≤n，有

则

因此，由式(8)得

则Gn中相邻区间的间隔至少是εn，从而由引理1和式(4)、式(10)、式(11)得

从而有

引理3若ψ(n+1)-ψ(n)单调递增且有

证明：令 a1,a2,…是正实数，定义 a1=2,a2=φ(1)且

第一种情况0＜c＜∞

因此

从而有

若n为偶数，则

同样，若n为奇数，有

第二种情况c=∞

此时

若n为偶数，则由式(12)得

在这两种情况下，得到对an相同的估计。正如引理2的证明，可以相似的通过an和ψ(n)定义G(φ)中的Cantor子集G。通过对其Cantor子集G的估计从而得到对G(φ)的下界估计，因此

3 维数的上界估计

引理4[10]对任意正整数n≥4，令

则对∀ε＞0，存在一个只与ε有关的常数c，使得对∀n≥4的所有正整数，都有

引理 5[11]对∀s∈(1/2,1)，对所有m≥n≥1，有

其中

引理6如果对任意正数M＞1，存在一个N中的子序列｛nk｝，使得对所有足够大的k，有

则 dimHG(φ)≤1/2。

证明：对∀s＞1/2，取 ε∈(0,2s-1)，令

其中，cε由引理4中定义，则对于式(15)中定义的M 存在 nk使得式(13)、式(14)成立，取 δ＞0，使得对所有足够大的k，有

取 0＜α＜1使得

则对∀x∈G(φ)，对所有足够大的 n，有

从而对所有足够大的k，有

则对所有足够大的k，有

又由于 ψ（nk+1)-ψ（nk+1)≥δ，令 b1=(1-α)-(1+α)e-δ，b2=1+α。则对所有足够大的k，有

取L≥1使得对所有K≥L有式(13)、式(14)成立，则对∀K≥L，有

其中

以下证明对∀K≥L，对任意正数d1,…,dNK+1，有

对∀i≥K，令

其中

现在估计 Ωi(s)。将整数 ni+2，ni+3，…，ni+1,划分为两部分：

要么

考虑ni+1-ni-1是奇数，且式(17)成立，其他情况的证明类似。在这种情况下

令hj=djdj+1和

则由式(17)可得

且

其中最后的和取使得式(19)成立的所有(hj)j∈Ii,1。由引理 4 得，且由式(18)可得

则由引理5和式(18)得

因此

对于其他情况，可以相似的估计Ωi(s)，由于，则

又由Hausdorff维数的定义得

引理7[4]对任意b＞1，此集合

4 主要结果的证明

定理1的证明：当1/2＜α＜1时，取。当α≥1时，取nk=2k。当α=1/2时，取。

则由引理6得

另一方面，如果1/2≤α＜1，则由引理2得dimHG(φ)≥1/2。若α≥1，则由引理3得dimHG(φ)≥1/2。

定理2的证明：由引理3得。又对∀1＜b＜α，有

5 结语

分形维数被誉为大自然的几何学的分形理论，是现代数学的一个新分支，但其本质却是一种新的世界观和方法论。本文研究了Lüroth展式相邻字符乘积的部分和的相关例外集的分形维数，胡慧等[8]研究证明了其度量性质及在一定情况下的分形维数性质，本文在此基础上，利用对适当分形集的构造，获得了在一定增长速度下的相关例外集的分形维数，扩展了数的展式的维数研究。