基于区间算法的频控阵阵元位置误差分析

唐 虎, 曾光辉, 廖 轶, 王文钦

(电子科技大学信息与通信工程学院, 四川 成都 611731)

0 引 言

在雷达探测和测距中,为了获得高的分辨率和强抗干扰能力,一般要求所设计的天线波束具有较窄的主瓣宽度与较低的旁瓣电平[1]。但是由于制造误差的存在,必然会出现阵列天线实际的性能指标偏离理论设计的性能指标的问题[2],进而导致实际阵列发射波束的性能不能满足要求,因此在实际情况中通常需要使用一系列昂贵的校准系统，在天线安装前对其进行校准[3],以达到可接受的性能水平。阵列天线的误差分析是天线设计中重要的一步,因为它可以预测制造误差对天线性能的影响程度,并使校准系统能够更好地校准天线。

目前,学术界提出了许多方法，用于分析相控阵中的误差问题。例如,文献[4]建立了天线安装非理想情况下的坐标变换模型,并分析了由此引入的系统测向误差,文献[5]针对阵面安装误差对相控阵雷达测角精度影响问题,建立了相控阵雷达的阵面安装误差与测角精度误差模型,文献[6]与文献[7]研究了综合导航系统误差对舰载相控阵雷达测量精度的影响。除此之外,区间分析法也被广泛应用于误差分析中[8],文献[9]和文献[10]首次将区间算法用于相控阵的误差分析,分析了相控阵的幅度和相位误差对其发射波束的影响,文献[11]进行了基于区间算法的抛物反射面天线的误差分析,并且区间分析算法还可以与凸优化联合形成稳健波束[12]。然而，这些方法都是基于相控阵的模型,无法直接应用到频控阵等其他新型阵列。

频控阵(frequency diverse array, FDA)这一概念首先由Antonik等[13]提出,引起了学术界的广泛关注。文献[14-16]全面介绍了FDA雷达的概念、原理和应用,文献[17]研究了FDA雷达波束的相位方向图特性,并指出该分布特性与相控阵基本一致。而对于功率方向图特性,由于各阵元的载频相对于起始阵元存在一个微小的频偏,其波束随范围、角度和时间的变化而变化[18],从而进一步扩展了FDA的应用,如目标检测与定位[19-22]、范围依赖的杂波和干扰抑制[23-25]、高分辨率雷达成像[26-29]、安全通信[30-31]和无线传输[32]。目前对于频控阵的功率方向图已有大量的研究，但是这些研究方法大部分基于理想的条件(阵元位置是精确、无误差的),而在实际情况中阵元位置往往会存在误差,因此波束主瓣宽度以及峰值旁瓣电平等会偏离设计值,从而使得FDA在实际应用中达不到所期望的效果,因此对FDA各阵元位置误差的分析具有重要的意义。然而,作为一种新型阵列,目前鲜有对FDA位置误差进行分析的文献,而传统的误差分析方法都基于相控阵。而FDA相对于相控阵,其功率方向图产生了距离相关性[33-34],因此传统的基于相控阵的误差分析方法并不能直接适用于FDA,所以需要寻求新的可行方法，对FDA的阵列位置误差影响进行研究。

本文提出了一种基于区间算法的FDA阵元位置误差分析方法,此方法首先假定阵元位置误差存在于一个已知的区间,然后将其转化为相应的相位误差区间,再利用改进的区间划分规则求出区间中点和区间宽度值,将其代入区间算法公式，进而求出由误差引起的波束上界和下界值。数值仿真结果证明了该方法的可行性。本文的主要结构如下：第2节使用区间算法，由给定的阵元位置误差范围(误差的上界与下界)进行推导，得到波束的误差范围(误差的上界与下界);第3节通过蒙特卡罗方法验证区间算法的有效性，以及使用此方法对波束性能进行分析;第4节对全文的工作进行总结。

1 理论模型

1.1 FDA理论

均匀线性FDA的阵列结构如图1所示。

图1 均匀线性FDA的阵列结构Fig.1 Array structure of uniform linear FDA

假设FDA有M个阵元,第m个阵元发射信号的频率为

fm=f0+Δfm，m=0,1,…,M-1

(1)

式中：f0表示载波频率；Δfm表示第m个阵元的频率偏移。第m个阵元发射的信号为

xm(t)=αmej2πfmt

(2)

式中:αm表示第m个阵元发射信号的复加权系数,αm=amejβm；am表示第m个阵元的幅度加权；βm表示第m个阵元的相位加权。假定远场区位置为(r,θ),将M个阵元在此处的信号进行累加，得到该处实际的和信号形式为

(3)

式中：c表示光速；rm表示第m个阵元到目标点的距离。于是rm可写成如下形式：

rm≈r-mdmsinθ

(4)

式中：dm表示第m个阵元与第m+1个阵元之间的间距;r表示第0个阵元到目标点的距离。当Δfm≪f0时,式(3)可以重写为

(5)

式中：γm1=2πΔfm(t-r/c)；γm2=2πf0msinθ/c。

于是,FDA的阵因子可表示为

(6)

令φm=γm1+γm 2dm,则AFm(φm)=amej φm,则式(6)可简化为

(7)

式中：φ=(φ0,φ1,…,φM-1)。

因此，在目标点处产生的波束可写为

(8)

B(φ)=|EN|2

(9)

图2 3种不同频偏的波束图Fig.2 Beam patterns with three different frequency offsets

1.2 区间分析算法

区间分析算法早已被用于相控阵的幅度和相位误差分析。阵列位置作为阵列天线的一个重要参数,其误差必定会影响天线的性能。同时，FDA作为一种新型阵列,很少有文献对FDA的阵列位置误差进行分析。因此,有必要寻求一种可行的方法对FDA阵列位置误差进行分析。从理论推导角度来看,由式(6)可知,阵列位置参数d存在于FDA发射波束的相位项中。因此,阵列位置误差是通过转换成相应的相位误差进而影响FDA的发射波束的。从物理角度来看,阵列位置误差的物理本质是空间分布误差,该误差将对电磁波的传播距离产生影响,而电磁波的传播距离的变化会引起阵列相位的畸变,最终将明显地改变形成的波束方向图,进而极大影响天线性能。因此,可以将阵列位置误差转换为相位误差，然后利用区间分析法对其进行分析。但与传统基于区间分析算法分析相控阵相位误差不同的是,FDA的发射波束相比于相控阵多了距离维波束。此外,传统方法分析的相位误差仅为2°和5°[10],而由阵列位置误差引起的相位误差远远大于5°。因此,传统的基于区间分析算法的相位误差分析方法并不直接适用于FDA的阵列位置误差分析，需要对传统的基于区间算法的相位误差分析方法进行改进,通过修改其区间划分规则,使其适用于FDA的阵列位置误差分析。下面给出由误差区间引起的波束的上界和下界公式[9]。

(10)

Binf(φ)=

(11)

式中:

AFm(φm)=AFR,m(φm)+jAFI,m(φm)=amej φm=
am(cosφm+j sinφm)

(12)

并且,μ{AFR,m(φm)}、ω{AFR,m(φm)}、μ{AFI,m(φm)}、ω{AFI,m(φm)} 分别代表AFm(φm)的实部和虚部的区间中点和区间宽度。因此,只要通过计算得到实部和虚部的区间中点和区间宽度,将计算结果代入到式(10)和式(11)中,即可得到由误差引起的波束变化的上界和下界。

详细的基于区间分析法的频控阵阵列位置误差分析方法如以下步骤所示。

步骤 1由于阵列位置d这一参数存在于频控阵波束的相位项,所以阵列位置误差会引起发射波束的相位变化。因此,首先通过阵列位置误差区间求得其引起的相位误差变化区间。考虑如下阵列位置误差区间:

(13)

(14)

(15)

于是,式(13)中的阵元位置误差区间便被转换到了相应的相位误差区间。

步骤 2分别求出发射波束实部和虚部区间的中点μ{AFR,m(φm)}、μ{AFI,m(φm)},以及区间宽度ω{AFR,m(φm)}、ω{AFI,m(φm)}。由式(12)可知

AFR,m(φm)=amcosφm

(16)

AFI,m(φm)=amsinφm

(17)

所以

(18)

(19)

(20)

(21)

以sinφm为例(cosφm同理),由于φm取值区间的不同,求出的sinφm的函数值区间也不同。传统基于相控阵的区间分析方法讨论的相位误差仅为2°或5°,即Δφm=2°或5°,因此得到的相控阵的阵列因子的相位误差区间为γm=[φm-Δφm,φm+Δφm]。传统方法考虑的相位误差Δφm<90°,因此整个相位误差区间宽度小于π,即2Δφm<π,此时不会存在同时包含π/2和-π/2的情形,因此对于每个阵元,其实际相位值必定是图3(a)中所示的4种区间中的一种。而与传统方法不同的是,由阵列位置误差引起的相位误差可能大于90°(Δφm>90°),这可能导致相位误差区间长度大于π,即2Δφm>π,此时可能存在π/2和-π/2同时包含在相位误差区间中的情况(这种情况下,该区间的最大值是1,最小值是-1)。因此,在后续的区间划分中,传统的4段区间已经无法满足要求。本文修改了其区间划分规则,进而让其能适用于Δφm>90°的情况。改进的区间算法的相位误差区间划分规则如图3(a)和图3(b)所示。由阵列位置误差引起的相位误差存在于如图3所示的5种区间内,即如图3(b)所示的这种形式是传统方法所未考虑到的形式,而这种形式在考虑阵列位置误差的影响时可能存在,因此传统的基于区间算法的相位误差分析方法并不能适用于FDA阵列位置误差分析,需要修改为图3所示的5种区间划分形式。

图3 正弦函数的区间划分示意图Fig.3 Interval partition diagram of sin function

根据图3(a)和图3(b)所示的区间划分规则得到如下公式:

(22)

并且

(23)

于是,sinφm与cosφm的中点与宽度如下

(24)

(25)

(26)

(27)

步骤 3通过将cosφm与sinφm的中点与宽度代入到式(18)～式(21)，便可以得到AFR,m(φm)与AFI,m(φm)的中点与宽度,然后再将以上求得的值进一步代入到式(10)和式(11)，便可以计算出阵列位置误差对波束性能影响的上界与下界。

此外,该算法的复杂度分析如下。根据公式(10)和公式(11)可知,计算一次区间中点所用的加法次数和乘法次数分别为1次和1次;计算一次区间宽度所用的加法次数和乘法次数分别为1次和0次;虚部同理。因此，计算区间上界Bsup(φ)总共所用的加法次数和乘法次数分别为8M-1次和4M+4次,即总的计算次数为Γsup=12M+3。而在区间下界计算过程中,可以很直观地发现，其总的计算次数Γinf≤12M+3次。因此，该算法总的计算次数区间大致为18M+3<Γ≤24M+6;采取近似进而可以得到该算法的复杂度为M。可以看出该算法在一次时间复杂度下便能计算出由阵元位置误差引起的波束上界和下界值,进而证实了该算法具有较好的计算性能。

2 数值仿真

2.1 有效性验证

首先,波束误差的上界Bsup(φ)与下界Binf(φ)可以利用第1.2节所述的过程计算得到。其次,由蒙特卡罗方法产生的具有阵元位置误差的波束为

(28)

式中：s表示第s次蒙特卡罗仿真；Q表示总的仿真次数,这里设定为5 000；κs∈[-1,1]是均匀分布的随机数。最后,只需要验证所有蒙特卡罗波束在所提方法计算出的波束上界与下界之间即可。

从φm=γm1+γm2dm可知,相位误差由γm2dm=2πfmm·(sinθ-sinθ0)dm/c产生,因此取观测角度Q(θ=30°)观察波束距离维的分布时,γm2dm=0,即阵元位置误差并不会影响距离维波束形状,于是波束的上界与下界以及由蒙特卡罗方法产生的含误差的波束相同。如图4所示，取α=0.005、线性频偏在θ=30°处的距离维波束的分布情况；而对于其他频偏，只存在波束形状的不同,但波束的上界与下界以及由蒙特卡罗方法产生的存在误差的波束仍然相同。

图4 距离维波束的上界与下界以及存在误差的波束Fig.4 Upper and lower bounds of the range-dimension beam and the beam with errors

对于角度维波束,选定目标位置为(r0,θ0)。其中r0=25 km,θ=30°,选取观测时间t=(500/3)μs,即在0时刻发射的电磁波的能量刚好传播到50 km处时进行观测,详细解释见文献[39]。对于γm1=2πΔfm(t-r/c-r0/c),此时在目标点处γm1=0,因此发射波束在目标点处与Δfm无关,所以不同Δfm的FDA结构在目标点处具有相同的角度维性能,即发射波束的形状仅与γm2dm=2πfmm(sinθ-sinθ0)dm/c这一项有关。在θ≠30°时,由阵列位置误差引起的相位误差是存在的,因此角度维波束的上界与下界以及含有误差的波束分布在不同的位置。综合以上分析可以发现,提出的算法在分析阵元位置误差时与频偏参数几乎无关,即该算法适用于任意频偏形式的FDA,且在存在阵元位置误差时,不同构型的FDA在目标点处距离维不受影响,角度维性能相同。这里以Taylor窗频偏为例,图5(a)、图5(b)分别表示α=0.005与α=0.01时,角度维波束的上界与下界以及存在误差的波束的分布情况。由图5可以发现，所有存在误差的波束均在上界与下界之间,证明此方法可以估计在目标距离处波束误差的上界与下界。

图5 Taylor窗频偏FDA的角度维波束Fig.5 Angle-dimensional beam of Taylor window frequency offset FDA

这里进一步给出3种频偏对应的波束上界与下界以及无误差的波束在三维空间中的分布,如图6所示。其中，图6(a)～图6(c)分别代表线性频偏、对数频偏、Taylor窗频偏波束上界与下界以及无误差波束在三维空间中的分布。从仿真结果可以看出,无论是在目标点还是非目标点,无误差的波束总是介于由所提方法计算得出的误差引起的波束上界和下界平面之间，仿真结果证明了该方法的有效性。

图6 α=0.005时,存在误差的三种频偏对应的波束的上界与下界以及无误差的波束在三维空间中的分布Fig.6 Three dimensional distribution of the beam of upper and lower bounds of three frequency offsets with and without error when α=0.005

2.2 基于区间分析的波束性能分析

由第2.1节可知,阵列位置误差仅仅影响FDA发射波束的角度维,并且对于不同形式的FDA结构,在目标点处,其角度维波束性能相同。因此,此处以Taylor频偏的角度维为例,仅考虑Taylor-FDA角度维波束性能。

图7(a)和图7(b)分别表示α=0.005和α=0.01时,由区间分析法计算出的BW的上界与下界以及由蒙特卡罗方法产生的具有误差波束的BW的分布。其中s=1,2,…,5 000。每次试验对应的纵坐标的值是该次蒙特卡罗试验形成的波束的主瓣宽度值(具体表现为一个点)。图8(a)和图8(b)分别表示α=0.005和α=0.01时,由区间分析法计算出的PSLL的上界与下界以及由蒙特卡罗方法产生的具有误差波束的PSLL的分布。结合图7与图8可以看出,不管是对BW还是PSLL,存在误差波束的BW与PSLL均在由本文所提方法计算出的BW和PSLL的上界与下界之间。

图7 Taylor频偏角度维波束的BW的上界与下界以及由蒙特卡罗方法产生的存在误差波束的BWFig.7 Upper and lower bounds of the BW of the Taylor frequency offset angle-dimensional beam and the BW with the error beam generated by the Monte Carlo method

图8 Taylor频偏角度维波束的PSLL的上界与下界以及由蒙特卡罗方法产生的存在误差波束的PSLLFig.8 Upper and lower bounds of the PSLL of the Taylor frequency offset angle-dimensional beam and the PSLL with the error beam generated by the Monte Carlo method

接下来,进一步分析本文所提方法估计波束误差的性能。由于本文是基于已知的阵元位置误差区间计算波束误差的上界与下界,而实际波束误差的上界与下界可以通过大量的样本实验得到,因此本文主要通过蒙特卡罗方法模拟得到实际波束误差的上界与下界,然后再与所提方法求得的上界和下界进行比较，进而进行性能分析。图9(a)表示计算出的BW的上界与下界和实际BW的上界与下界随α的变化关系,图9(b)表示计算出的BW的上界与实际BW的上界的差值，以及计算出的BW的下界与实际BW的下界的差值随α的变化关系。图10(a)表示计算出的PSLL的上界与下界和实际PSLL的上界与下界随α的变化关系,图10(b)表示计算出的PSLL的上界与实际PSLL的上界的差值以及计算出的PSLL的下界与实际PSLL的下界的差值随α的变化关系。

结合图9与图10可以发现,当α=0时,阵元位置不存在误差,因此所提方法计算出的BW的上界与下界和实际BW的上界与下界均等于无误差波束的BW，并且计算出的PSLL的上界与下界和实际PSLL的上界与下界均等于无误差波束的PSLL。此外,随着α增大,计算出的BW的上界和实际BW的上界之间的差值增大,计算出的BW的下界和实际BW的下界之间的差值减小。因此，随着α的增大,估计性能有所下降,但是此方法仍能给出一个波束的误差区间,对于PSLL的分析同理。试验证明本文方法在估计阵元位置误差产生的波束误差时具有一定的实际意义。

图9 本文方法计算的BW的上界与下界以及由蒙特卡罗方法产生的BW的上界与下界Fig.9 Upper and lower bounds of the BW calculated by the proposed method and the upper and lower bounds of BW generated by the Monte Carlo method

图10 本文方法计算的PSLL的上界与下界以及由蒙特卡罗方法产生误差的PSLL的上界与下界Fig.10 Upper and lower bounds of the PSLL calculated by the proposed method and the upper and lower bounds of PSLL generated by the Monte Carlo method

3 结 论

传统的误差分析算法大部分基于相控阵结构设计,而本文针对FDA的阵列位置误差分析问题,通过对传统相位误差分析方法进行改进,提出了一种基于区间分析算法的FDA阵列位置误差分析方法。在理论推导中,由已知阵元位置误差的上界与下界,计算出波束误差的上界与下界的表达式,通过蒙特卡罗方法验证了该方法的有效性，并使用此方法对波束性能进行了分析。在实际配置FDA阵元结构时,往往会引入阵元位置误差,但是本文的分析方法能够有效预测此误差对波束产生的影响,此方法为FDA波束设计的误差分析提供了新的思路。