基于MATLAB 的倒立摆PID 控制仿真设计

李春，李自成，余丹，李虹钢，杨馨茹，刘俊彤

（成都理工大学工程技术学院，四川 乐山 614000）

倒立摆控制是一种不稳定、多变量的、复杂的非线性系统，它的特性使它延伸出许多具有非线性、随动和鲁棒性问题。为控制理论教学提供了良好的实验平台，使新理论方法研究得到了发展。在航天飞行器平稳飞行，尤其机器人在平衡飞行、火箭垂直发射以及卫星的姿态等方面有着重要的应用。[1]所以，倒立摆的控制方法无论对我国还是世界都有着极其重要的实际意义和研究前景。

PID（Proportional Integral Derivative）控制，该方法具有结构简单、鲁棒性好、工作可靠等优势，在实际生产中得到了广泛的使用。在反馈环中，通过利用比率（I）、积分（I）和微分（D）求取该控制量来进行控制调整。它可以对当前误差以及稳态误差迅速准确地做出调节，还可以在动态过程不断变化时，给定参数提前对误差进行调节，对于倒立摆这种非线性、时变、强耦合系统的调节能够达到一个很好的效果。[2]

1 倒立摆系统的建模

1.1 一级倒立摆的物理建模

在建立直线一级倒立摆的过程中，不考虑空气的阻力和摩擦力时，它可以被看作是一个由小车和一个均匀的摇杆构成的运动刚体，如图1 所示。[3]本文将此体系的各个参数设为：M 为小车的质量，m 为小车的质量，b 为小车的摩擦因数，l 为摇杆旋转轴线至杆质心的距离，I 为摆杆惯性的设定，F 为加在小车上的力的设定，x 为小车所在位置，φ为摆杆与垂直向上方向的夹角，θ为摆杆与垂直向下方向的夹角（摆杆初始位置为竖直向下）。

1.2 一级倒立摆的运动分析及数学建模

分析图1，小车在水平方向上的合力，得到以下方程：

图1 一级倒立摆结构图

假设φ＜＜1，（φ为摆杆与竖直方向上间的夹角），则可对等式（4）、（8）做近似处理，用u 表示被控制对象的输入外力F，则可得到线性化后的一级倒立摆微分方程：

对式（10）整理后可得到传递函数：

图2 摆杆受力分析图

注：上面传递函数输入为u（也就是小车的外力F），而输出是摆杆与竖直方向角度φ。

2 利用MATLAB 对倒立摆系统的稳定性分析

给出了一个具体的倒立摆系统的参量：小车重量M=0.5 公斤，摇杆重量m=0.2 公斤，小车的摩擦力b=0.1，摇杆旋转轴线至杆质中心的距离为0.3m，惯性I 为I=0.006kg*m2，而重力加速度的计算是g=9.8m/s2。

将上述参数代入式（11）可得该系统的传递函数表达式：

通过MATLAB 绘制出上述系统的传递函数的零极点图如图3，并求出其开环极点为s1=5.5651，s2=-5.6041，s3=-0.1428，观察图3 可知，在此基础上，得到了在 S的右半平面上的极点，因此，在此基础上判定系统的不稳定性，再绘制出该系统的单位阶跃响应曲线如图4，由图4 可知，该系统不稳定。[4]

图3 系统的零极点图

图4 单位阶跃响应曲线

3 PID 控制原理与算法分析

通过对前面的倒立摆建模，并利用 MATLAB 软件对其进行了稳定性的仿真，证明了线性一阶倒立摆的稳定性。其中输入为外力u，输出为摆杆与竖直方向上的夹角。其PID 控制器系统结构框图如图5 所示，R（s）为系统给定输入值，E（s）为偏差值，C(s)为输出值，Gc（s）为控制器，采用比例、积分、微分等方法来调整系统的误差。PID 控制的计算公式如下：

图5 PID 控制系统结构框图

式中，KP 为比例系数，Ti 为积分时间常数，Td 为微分时间常数，我们采用试凑法，通过调节KP、KI、KD 的值来确定参数，使系统达到稳定状态。

4 倒立摆系统的PID 控制器在MATLAB 下的仿真

我们通过MATLAB 下的可视化仿真工具Simulink建立了线性一阶倒立摆的 PID 控制模型，并对其进行了模拟，并在此基础上对其进行了持续的取样，研究了各种因素对其稳定性的作用，并对其进行了修正，使系统达到了一个我们需要的理想状态。图6 为PID控制器在Simulink 下的仿真图。[5]

图6 PID 控制器Simulink 仿真图

对系统进行仿真，在PID 控制器参数设置界面如图7，采用试凑法改变各项参数来使系统达到稳定状态。观察图8，我们发现在 KP=1,KI=1,KD=1 时，系统控制曲线不收敛，所以该系统不稳定，然后我们调节KP=100,KI=1,KD=1，消除稳态误差之后，得到调节后的仿真图如图9，系统在2s 后达到一个平衡状态，但同时系统还存在着振荡，最终调节到KP=100,KI=1,KD=20后，得到其仿真图像如图10，超调量得到减小，消除了系统振荡，同时响应速度加快，调节时间得到减少，在1s 后系统就达到了稳定状态。

图7 PID 控制器参数设置界面

图8 KP=1,KI=1,KD=1PID 控制器仿真图

图9 KP=100,KI=1,KD=1PID 控制器仿真图

图10 KP=100,KI=1,KD=20PID 控制器仿真图

通过以上调节，最终我们得到了直线一级倒立摆在PID 控制器的调节之下各项参数值的变化，发现PID调节能够迅速消除误差，且操作简单，对于研究倒立摆这种复杂的系统能够有一个很好的效果。

5 结论

通过对直线一级倒立摆系统的研究，发现PID 控制对非线性的、多变量且耦合的等复杂性系统有一个很好的处理效果，在众多控制理论中有着巨大优势，基于 MATLAB 的 PID 控制器的模拟与实现，能够很好且快速地解决倒立摆系统的稳定性问题，对研究工作提供了很好的帮助。