基于Trans-SEQICR模型的铁路客流控制研究

王 宇，董 煜

（大连交通大学 交通运输工程学院，辽宁 大连 116028）

0 引言

21世纪以来，全世界发生的重大传染性疾病主要包括非典型肺炎、新型冠状病毒肺炎等，每次重大传染病爆发时，会造成人员伤亡、生产发展停滞及一系列社会性问题。铁路旅客运输由于客流密度大、流动性强的特点，为传染病的传播提供了潜在环境基础，导致旅客出行面临风险隐患。每当面对疫情，铁路部门都进行严格防控，实现了对疫情的有效控制，但既有模式已难以满足铁路企业和社会的发展需要，需对客流合理控制展开深入研究，以在降低疫情扩散风险的同时保障运输生产活动的适当开展，为铁路部门未来面对新发流行传染病的管控方法提供支持。

传染病模型由KERMACK W O 等提出，是通过分析传染病的传播特点、描述传染病传播过程的仓室模型[1]。后续延伸出了考虑更多因素的相关研究，发展出诸多更符合现实疾病特征的模型，其中包括考虑潜伏期、垂直传播、年龄结构和疫苗等因素的模型[2]。该模型可对疫情发展趋势进行良好预测，学者使用该模型在新冠疫情初期进行了初步分析预测，WU J T等[3]基于中国疾病预防控制中心提供的早期病例数据、人口流动数据和航班数据，用SEIR 模型模拟了全球主要城市的危险性，并估算此次疫情的基本再生数为2.68。QIAN X W等[2]通过将城市人口的流动动态描述为离家、往返于活动地点与参与活动的过程，建立了空间SEIR 模型，以实现公共交通系统的有效入口控制和有限资源的最优分配。通过研究可知，该模型可以预测一个封闭地区疫情的爆发情况、最大峰值、感染人数等，但该模型的主要不足是对于流动中接触模式的简化假设，并且传统模型未考虑城市间人口流动与空间变化等因素，这与现实中传染病的异质性、人口的流动性和接触多样性不符。既有研究所建立的传染病模型还不够完善，需要根据实际情况修正模型。

综上所述，本文提出将传染病模型应用于铁路客流控制研究之中，建立了一种考虑两城市间铁路客流流动传染的Trans-SEQICR 模型，从动力学角度对模型的平衡点、基本再生数及特征值进行求解，揭示了铁路客流控制量的确定方法，并以2022年某地爆发的新冠疫情为例，验证模型方法的拟合效果。

1 问题提出

铁路旅客运输在中长距离运输中具有不可替代的作用，与其他公共交通方式相比，铁路客流规模大、途径站点多、旅行跨度广，因而铁路企业的疫情防控工作除了复杂性，更兼具难度和艰巨性，其运输过程中客流密度大、集散性强的特点，为传染病传播埋下了环境安全隐患，导致疫情期间旅客出行面临感染的可能与风险。

病毒感染者根据其传染性的差异，一般会划分为确诊者和无症状感染者2 类，这2 类感染者的感染率和治愈率都有所不同。此外，根据我国的防疫政策，在发现感染者后会逐步对密切接触者、次密接触者开展排查并转运隔离、治疗[4]。因此，为使模型能更准确描述我国疫情防控动态，需要改进病毒传播流程及人群划分，在传统SEIR 模型的基础上，进一步建立SEQICR模型，S表示易感者，E表示潜伏者，Q表示检测出现异常被转运的隔离者，I表示确诊感染者，C表示由无症状转为确诊并转运治疗的确诊治疗者，R表示康复者。

通过分析，病毒通过铁路向外传播有2 个主要过程，除了感染者到达目的地后造成的扩散传播外，还可能在列车封闭车厢内引发传播。感染者在潜伏期内通常没有症状，但他们具有通过接触和飞沫传播病毒的特点，导致旅客无意中将病毒传播给他人。由于车辆空间狭小、气密性强、通风不良，与室外开放空间相比，飞沫感染和接触感染的风险存在双重叠加。通过阅读分析相关文献[5-7]，病毒在交通工具中的传播风险可类比SEIR 模型中的感染概率函数进行计算。但是，以往研究中函数使用的是全体人数Nj，根据感染函数定义，该函数是由某区域内感染人群与易感人群比例为正比关系而建立的，因而本文在后续建模过程中进行了改进，对旅行过程中的感染函数进行了重新定义计算。

由于上文的模型皆为数学模型，能够相互耦合，可以合并建模。通过将易感人群暴露、感染、隔离、康复过程与客流的动力学模型相结合，可以建立考虑客流流动传染过程的改进传染病模型，以描述在常态化疫情防控的情况下铁路旅客运输过程中的感染风险。

2 Trans-SEQICR客流控制模型研究

2.1 模型假设

通过上文研究，明确了需要在改进传染病模型基础上，考虑假定的两地之间进行的铁路客流流动建立Trans-SEQICR模型，现对此提出假设如下。

（1）根据传染病模型的性质，需忽略人口的出生率和死亡率。

（2）人群普遍具有易感性，且仅考虑人传人的传播方式。

（3）考虑存在无症状期，且无症状期内具有一定的传染性。

（4）不考虑短期内二次感染的可能性，治愈者不再成为易感人群。

（5）因铁路客流的规模、流动性强于航空、公路，铁路运输过程中引发的感染风险大于其他运输方式。因此，模型仅针对铁路运输展开研究，其他运输方式所引发的人口变化则通过城市人口迁入率、迁出率表示。

2.2 Trans-SEQICR模型建立

从城市的角度来看，铁路运输可以视作点对点的运输。在上文介绍中，由于传染病模型是数学模型，所以若建立所有站点间整体模型的工作量十分巨大，后续的求解过程也困难。因此，本文考虑以出现确诊病例的城市j为起点，选取另一个可能会有扩散风险的城市i为终点，由此建立将2 个城市视为同一仓室的旅行传染病模型，以研究j城出现疫情后通过铁路客流对i城造成的疫情传播规模。基于以上原理，建立的Trans-SEQICR 模型的疫情传播过程如图1所示。

图1 两城市间Trans-SEQICR模型传播仓室

假设i城市在t时刻的总人口为Ni(t)，记Si(t)、Ei(t)、Qi(t)、Ii(t)、Ci(t)和Ri(t)分别为i城市t时刻的易感者、潜伏者、隔离者、感染者、确诊治疗者和康复者的数量，则有

由传播仓室图可得下述模型

其中：λ为城市人口迁入率，μ为城市人口迁出率，β1为易感者与潜伏者接触并感染的概率，β2为易感者与感染者接触并感染的概率，η为潜伏者被转运隔离的转移率，σ为潜伏者到感染者的转移率，α为隔离者被确诊后转运治疗的转移率，ω为感染者被转运治疗的转移率，γ为感染者的自愈康复率，φ为被转运的患者在医学治疗下的康复率，τ为潜伏者未发病直接康复的概率；θji为由j城市至i城市的铁路旅客迁移量，k为封闭空间(车厢)内易感者与潜伏者接触并感染的概率，b为病毒密度与感染概率的转换系数，n为在有感染者的交通工具内部经过时间T后病毒的数目，v为病毒向外释放的强度，E为初始携带病毒且具有传染特性的旅客数，V为交通工具的体积，W为通风指标，交通工具通过排风系统以一定的速率向外排除病毒，D为交通工具消毒指标，假定通过消毒措施使病毒按此指标被匀速杀死，P为个人防护系数，佩戴口罩会使系数变大，X为单列车厢数，L为开行列数。

2.3 Trans-SEQICR模型参数确定

为使用上述模型分析疫情传播情况，本文以新型冠状病毒肺炎为例，对Trans-SEQICR 模型中的参数进行估计。根据国内疫情数据，结合查阅文献及软件函数拟合，最终确定的参数值如表1所示。

表1 参数含义及取值

3 铁路客流控制模型求解

疫情期间，若想减轻病毒的传播风险，最主要的措施是减少旅客密度。根据模型求解合理调整疫情城市发送客流量以实现客流控制。

R0指基本再生数，表示在疫情初期平均每个感染者进入易感人群中，在理想条件下可感染的二代病例个数。R0=1是判断疾病是否流行的阈值，当R0＞1时，该种疾病感染的人数会越来越多，甚至传遍整个人群；而当R0＜1时，即便不采取任何防控措施，该地区该种传染病感染的人数也会越来越少，最后该传染病趋于消失[16]。

为计算关键临界状态R0，需要对无病平衡点进行求解。在计算模型的无病平衡点之前，首先要建立本模型的微分方程紧凑形式，即

计算无病平衡点P0[17]，在P0状态下，若R0＜1，则说明即使发生疫情沿铁路扩散的情况，也能在短期内得到控制，那么即可求得由j城市发往i城市的动态控制客流量。首先，令Trans-SEQICR 模型微分紧凑表达式右端取0，即可求出无病平衡点P0为

本文选用下一代矩阵法(NGM)计算传染病模型的基本再生数[18]。涉及染病的仓室包括Ei，Qi，Ii，Ci，Ej，Qj，Ij，Cj。记作

仓室中由于染病而产生的新增项记作f(X)，仓室中发生转移或移出的项记作v(X)，其中

将f(X)、v(X)对Ei、Qi、Ii、Ci、Ej、Qj、Ij、Cj依次求偏导，得到雅可比矩阵，其中新增感染项构成的f(X)对应的雅可比矩阵为转入矩阵，记作F(X)，则

发生转移或移出的v(X)对应的雅可比矩阵为转出矩阵，记作V(X)，则

根据基本再生数的定义，其值为矩阵的谱半径，而矩阵谱半径又为矩阵特征值的最大值[19]，故有

得到矩阵F·V-1的特征值为

代入P0，令基本再生数为1，可反解得到入口控制量。同时，观察入口控制量的表达式，发现各项参数是随时间变化的，所以得到的入口控制量也是随着疫情发展而时刻变化的，因而客流控制策略是一个动态调控的过程。

4 实证分析

4.1 实例基础数据

本文选取A作为参考城市，根据百度迁徙数据的迁徙指数，选取迁出占比较高的B市作为主要研究对象。根据城市统计年鉴计算城市基础参数，各参数取值如表2所示。

表2 城市基础参数取值

A 市2022 年上半年疫情于3 月底逐渐爆发，根据相关报道，于3 月1 日至3 月23 日很多地区陆续转为中风险等级，因而选取3月23日为中风险等级下的研究起始时间；由报道可知，3月23日新增确诊病例41例，将数据作为初始值输入MATLAB 模型中，以研究是否采取客流控制策略的不同情况下，B 作为外来疫情输入城市的疫情感染趋势变化情况。通过Trans-SEQICR模型求解结果，结合两市的疫情数据，计算可得客流控制量θji=4.3×10-6，A 市至B 市的日常铁路客流量经计算为5.024×10-4。通过对比2种情况的趋势，分析不同客流控制策略下的控制效果。

4.2 不对客流加以控制

在不进行客流控制的情况下，通过对A市2022年疫情数据的拟合，将拟合出的参数估计值代入Trans-SEQICR 模型中。在保持日常铁路客流量时，由康复者、感染者人数变化趋势图可知，本轮疫情预计持续近500 d，共造成近1 500万人的感染规模，单日新增峰值超过6 万人。B 城康复者和感染者变化趋势分别如图2至图3所示。

图2 不采用客流控制情况下B城康复者趋势

图3 不采用客流控制情况下B城感染者变化趋势

4.3 采取铁路入口客流控制

采用Trans-SEQICR 模型的求解结论，在对铁路客流量进行控制的情况下，本轮疫情预计缩短至300 d，感染规模降为25 万人，单日新增感染者峰值降至2 200人。B城康复者和感染者变化趋势分别如图4和图5所示。

图4 采取客流控制情况下B城康复者趋势

图5 采取客流控制情况下B城感染者变化趋势

通过分析上述拟合结果可知，未采用客流控制的情况下，康复者拟合曲线虽趋于平缓，但通过分析具体数值可知，该情况是由于感染人数已达上限，即进入全员感染、长期共存的状态；而在采用客流控制措施后，该轮疫情总体规模大幅缩减，并且在拟合时间接近末期时康复者人数不再增长，疫情持续时间大大缩短，说明疫情在这时已进入初步可控的阶段，符合基于基本再生数的模型求解所得出的结论。虽然疫情持续时间仍较现实理想状况有所差距，但若在此基础上进一步完善客流控制相关参数，如增加旅客佩戴口罩防护参数、通风消毒参数等，以提出更优化的防控策略，可以进一步缩短疫情周期，控制疫情规模。

4.4 对比分析

根据现实统计数据，截至2022 年5 月，B 市本轮疫情累计感染530 人，这一数据表明了现实中严格的防控措施和加强个人防护等作用下，形成的传播规模较小、引发的疫情风险较低，但上述措施会给人民日常生活带来一定影响。通过比较本模型预测结果可知，在不采用任何控制措施的情况下，最终形成的疫情传播规模极大，说明该情况下疫情已不可控，危害影响极大，且持续时间长、出现多个感染高峰期，容易引起医疗系统长时间高负荷运行，甚至引发医疗挤兑等情况。

本文建立的模型是通过限制铁路旅客发送量实现一定程度的客流控制，根据拟合结果可知，在A市至B市客流发送量限制为8.6‰时，能够使疫情感染规模下降至不采用客流控制情况的1/60，疫情持续时间大幅缩短，防控效果显著，拟合曲线显示最终能够实现疫情完全清除；并且该控制措施保障了部分客流的正常发送，对社会正常运行具有一定意义。现阶段研究并未考虑现实中存在的旅客个人防护、车站防控措施等其他防控因素的影响，虽然在模型中加入上述因素能够进一步降低疫情持续时间与规模，但现有预测结果表明仅采用客流控制措施的情况下已能够实现对疫情的有效控制，由此可节省防护用品、防控人员等社会资源。

5 结论与展望

5.1 结论

为研究疫情期间的铁路客流控制策略，本文分析了病毒在客流中传播的规律和机理，建立了一种考虑客流流动传染的Trans-SEQICR 模型，得到以下结论。

（1）通过完善传染病模型的人群仓室并引入人口流动力学模型，建立了考虑铁路旅行传染的Trans-SEQICR 模型。经过对该模型研究得出，利用MAT‐LAB可拟合得到疫情的发展趋势与整体模拟曲线，直观表示铁路旅客运输引发的跨区域疫情传播过程，由此可分析各类防控措施对疫情发展的影响效果，完善了现有模型的不足，可以提高模型对疫情预测的准确性。

（2）从动力学角度对模型的平衡点、基本再生数及特征值进行求解，揭示了铁路客流控制量的确定方法，并以A市至B市为例，当客流发送量控制在常态值的8.6‰时可实现对疫情的显著控制，验证模型方法的拟合效果。

（3）该模型不仅对现有疫情数据进行了整合分析，还可以通过调整参数使其适用于其他新发传染病，为阶段性、区域性的流行病防控办法提供参考，为铁路部门面对未来可能发生的其他突发传染病时的科学决策提供支持，实现社会资源的合理运用。

5.2 创新点

（1）根据新型突发传染病的防疫政策安排，在传统SEIR 模型的基础上考虑了隔离人群和确诊人群，并将铁路客流流动引发传染的过程转化为动力学模型，将其与传染病模型相互嵌套，建立考虑客流传染的Trans-SEQICR 模型，可以模拟疫情沿铁路发生传播后的变化趋势，还可以以此评价一系列控制措施的实施效果。

（2）现有铁路疫情防控研究多为防控理念与措施的研究，尚缺少定量研究以确定控制标准。本研究通过求解改进后的Trans-SEQICR 模型，以基本再生数R0为约束，反解得到客流控制量θji，为后续研究奠定基础。

本研究也存在一些局限性。虽然模型已较为完整，但部分变量、参数设置的科学性有待提高，如病毒密度与感染概率转换系数b、病毒释放速度v等具有医学专业特点的参数，需广泛阅读相关研究，尽可能改进出更为贴合疫情实际情况的模型。同时，现阶段研究尚未充分发挥传染病模型的优势，未来在现有研究结论的基础上，可进一步对客流控制措施进行细分，从不同时期、不同控制主体等角度建立更为完整、系统的铁路客流控制策略，以实现更理想的防控效果。