兆瓦级风电齿轮箱传动系统瞬态动力学响应等效缩减方法

冉 峯， 朱才朝， 谭建军， 宋朝省， 朱永超， 陈 帅

(1.重庆大学 机械传动国家重点实验室，重庆 400044； 2.中国船舶重工集团海装风电股份有限公司，重庆 401122)

风电齿轮箱是风电机组传动链中传递功率与运动的关键传动装置，常年承受频繁的载荷波动，故障失效率达15%以上[1]，严重制约风电机组可靠性与安全性。随着风电齿轮箱朝10 MW及以上超大功率发展，其行星级齿轮模数较现有5 MW风电齿轮箱增加15%齿宽增加25%，然而现有常规风电齿轮箱试验台架测试功率仅5～8 MW且硬件升级耗资巨大，难以满足超大功率风电齿轮箱全尺寸试验需求。探索风电齿轮箱传动系统等效缩减方法，使具有更小功率和尺寸的缩减后风电齿轮箱传动系统动力学特性与原型满足一定的相似性，将有助于充分利用现有风电齿轮箱试验台架，等效开展更大功率风电齿轮箱传动系统性能测试，具有重要的工程应用意义。

近年来，国内外学者针对风电机组等效缩减方法开展了大量研究。Oh等[2]将风电机组叶片等效为转动惯量并进行缩减，将3 MW风电机组等效缩减为20 kW并开发了试验装置进行验证；Viselli等[3]考虑风浪特性，采用Froude缩减方法对漂浮式风电机组进行缩减设计，开发了6 MW漂浮式风电机组1/8缩减模型并进行了验证；Lim等[4]基于缩减前后时间常数和叶尖速比相似原则，将2 MW风电机组缩减为3.5 kW并开发了试验装置进行验证；张进等[5]采用输入角速度和输入转矩相似原则，开发了风力发电机模拟试验装置。上述研究立足于风电机组整机的角度，重点关注叶片、塔筒、基础等部件的等效缩减，在缩减过程中将风电齿轮箱简化为传动比，造成此类缩减方法难以适用风电齿轮箱传动系统。因此，为了使缩减前后传动系统动力学特性相似，Young等[6]基于量纲理论推导了船用转子系统动力学相似关系，考虑了柔性转子和流体耦合作用，建立了转子系统耦合动力学模型，对比了缩减前后系统振动响应的相似性；Zhang等[7]基于量纲理论推导了平行级齿轮传动系统的动力学相似关系，建立了考虑时变啮合刚度、时变传动误差以及轴承支撑刚度的齿轮传动系统动力学模型，验证了该方法的有效性；缪辉等[8]基于量纲理论推导了航空发动机低压转子系统动力学相似关系，并通过有限元仿真验证了该方法的有效性；罗忠等[9]采用积分模拟法推导了转子系统动力学相似关系，通过建立缩减前后转子系统动力学模型并结合试验对缩减方法进行了验证；李雷等[10]提出了考虑变幂数的畸变动力学相似关系推导方法，有效地解决了结构设计参数非等比例缩减问题，通过数值仿真和试验验证了该方法的有效性。

虽然上述学者围绕传动系统动力学相似开展了大量深入研究，对缩减前后传动系统动力学特性相似关系有了初步认识，但大多数研究对象仅是转子系统，并且假定缩减前后传动系统转速均保持稳定。然而，风电齿轮箱传动系统具有多级齿轮传动结构，并且由于风速的随机性，其工作转速会发生大幅波动，造成现有缩减方法无法直接适用风电齿轮箱传动系统变速过程瞬态动力学响应相似关系推导。

本文以某型5 MW风电齿轮箱为研究对象，建立了风电齿轮箱传动系统变速动力学模型，并基于量纲理论推导了适用变速工况的风电齿轮箱传动系统等效缩减动力学相似关系， 首先对比了缩减前后风电齿轮箱传动系统的固有频率与模态振型，然后分析了缩减后风电齿轮箱传动系统稳态响应，最后对比了缩减后系统瞬态响应与原型的差异性。

1 风电齿轮箱传动结构及运行原理

如图1所示，某型5 MW风电齿轮箱传动系统包括两级行星级和一级平行级。其中，第一级行星级有5个行星轮，第二级行星级有3个行星轮。风轮气动转矩通过第一级行星架传递到齿轮箱中，再通过第一级太阳轮传递到第二级行星架，并经由第二级太阳轮传递到第三级平行级，实现小转矩、高转速输出，最后驱动发电机进行发电。5 MW风电齿轮箱传动系统主要参数如表1所示。

图1 风电齿轮箱传动系统结构简图Fig.1 Sketch of wind turbine gearbox transmission system

表1 齿轮箱传动系统主要参数Tab.1 Main parameters of the gearbox transmission system

2 风电齿轮箱传动系统变速动力学模型相似关系推导

本文在建模时作以下假设：①各齿轮和行星架简化为具有6个自由度的集中质量部件；②每个部件由6×6的刚度和阻尼矩阵提供支撑；③忽略齿轮侧隙、摩擦等非线性因素的影响。

2.1 风电齿轮箱传动系统变速动力学建模

图2 行星级与平行级齿轮传动系统集中参数模型Fig.2 Lumped parameter model of gear transmission system with planetary stage and parallel stage

(1)

第三级平行级齿轮啮合线相对变形δg1g2如式(2)所示。

(2)

(3)

基于绝对坐标系OXYZ，建立各级齿轮传动系统之间的扭转变形协调方程，如式(4)所示。

(4)

式中：δu12为第一级行星级和第二级行星级之间的转角差，rad；δu23为第二级行星级和第三级平行级之间的转角差，rad。

定义系统广义位移向量为

(5)

基于拉格朗日方程，结合式(1)～式(5)，推导风电齿轮箱传动系统动力学方程，共计96个自由度，如式(6)所示。

(6)

式中：F为激振力矩阵；CG和Cb分别为连接阻尼矩阵、轴承支撑阻尼矩阵，采用Rayleigh阻尼计算[18]；Cm为啮合阻尼矩阵，采用经验公式计算[19]；M为质量矩阵；KG为连接刚度矩阵；Km为啮合刚度矩阵；Kb为轴承支撑刚度矩阵。其表达式分别为

(7)

(8)

式中，K为刚度矩阵的分块矩阵。

2.2 动力学相似关系推导

在图2所示的动力学模型中，ulz代表周向转动线位移，而非振动线位移，因此为了推导风电齿轮箱传动系统等效缩减动力学方程，将式(6)中各分块矩阵进行拆分并重新组合成振动位移分块矩阵、周向转动线位移分块矩阵，可得系统缩减前后的动力学方程为

(9)

式中：上标p为原型(缩减前模型)；上标m为缩减后模型；下标f为振动位移分块矩阵；下标u为周向转动线位移分块矩阵。

(10)

当各构件存在周向转动线位移时，式(10)中缩减比则不完全适用，需要重新推导其动力学相似关系。构件l的周向转动线位移ulz表达式为

ulz=nlrltl

(11)

式中：n为转速；r为构件l的基圆半径；t为时间。

根据式(10)和式(11)，可以得到构件l的周向转动线位移缩减比为

(12)

根据式(12)，可将式(9)改写为

(13)

将式(13)等号两端分别除以λFf和λFu(λFf=λFu=λF，联立式(10)和式(12)，可得

(14)

对于式(14)中每一个分块矩阵，有式(15)成立

(15)

进而可得

(16)

为了使式(10)中相似关系依然成立，需建立式(17)

(17)

因此，可得适用于变速模型的激振力缩减比为

(18)

进而可得风电齿轮箱传动系统动态啮合力缩减比为

(19)

动态传递误差计算公式为

δm=Vmqm

(20)

式中：Vm为啮合变形的系数向量；qm为位移向量。

由于缩减前后啮合变形的系数向量不变，因此可以得到动态传递误差的缩减比为

λδm=λl

(21)

由Zhang等的研究可以得到啮合刚度和啮合阻尼的缩减比为

(22)

动态啮合力的计算公式为

(23)

(24)

因此，由式(23)可以得到静态传递误差的缩减比为

(25)

转矩的计算公式为

T=Fr

(26)

则转矩的缩减比为

(27)

功率的计算公式为

P=πTn/30

(28)

因此，可得功率缩减比为

(29)

由式(10)～式(29)，可得风电齿轮箱传动系统变速模型动力学参数缩减比，如表2所示。从表2中可以看出，当各构件尺寸缩小为原型1/n倍时，系统固有频率和各构件转速增大为原型n倍，各构件振动位移和动态传递误差减小为原型1/n倍。

表2 主要参数缩减比Tab.2 Scaling factor of main parameters

2.3 动力学等效缩减模型相似性评价

根据式(6)可以得到风电齿轮箱传动系统无阻尼自由振动方程为

(30)

进而可得系统模态方程为

(31)

(32)

(33)

针对缩减前后动力学模型振动响应相似性，采用缩减后动力学模型振动响应预测值误差的最大值Edmax作为评判标准，如式(33)所示。

(34)

式中：ξT为原型对应的振动位移、动态传递误差和构件转速等；ξP为缩减后模型的振动位移、动态传递误差和构件转速等；λi为对应的尺寸缩减比。

3 结果讨论与分析

为了验证本文提出的缩减方法，如图3所示，采用1/2和1/3两种尺寸缩减比，即模型的轴向尺寸(轴的长度、齿轮齿宽等)和径向尺寸(轴径、齿轮模数等)分别缩小1/2和1/3，对比分析了两种尺寸缩减比下系统固有频率、模态振型与原型的相关性；同时，考虑稳态工况和瞬态工况，对比分析了两种尺寸缩减比下系统振动响应、动态传递误差以及构件转速与原型的相关性。

图3 两种尺寸缩减比模型示意图Fig.3 Schematic diagram of the model with two size scaling ratios

风电齿轮箱中各构件的轴承支撑刚度参数，如表3所示。

表3 风电齿轮箱各构件轴承支撑刚度Tab.3 Bearing support stiffness of each component of wind turbine gearbox

3.1 缩减前后系统模态相似性分析

基于式(31)，分别计算原型和两种尺寸缩减比下系统前10阶固有频率，如表4所示。从表4中可以看出，当尺寸缩减比为1/2时，缩减后系统固有频率与原型的相似比为2；当尺寸缩减比为1/3时，缩减后系统固有频率与原型的相似比为3，满足相似关系(见表2)。

表4 缩减前后系统固有频率对比Tab.4 Comparison of system natural frequency before and after scaling

图4所示为两种尺寸缩减比下系统模态振型分别与原型的MAC值。从图4中可以看出，MAC对角线元素值全为1，表明缩减前后相同阶次固有频率对应的模态振型保持一致。

图4 两种尺寸缩减比下系统模态振型MAC值Fig.4 MAC value of system modal shape with two size scaling ratios

3.2 稳态工况下缩减前后动态响应相似性分析

在风电齿轮箱原型中，额定输入转矩为4×106Nm，则根据表2可得尺寸缩减比为1/2时额定输入转矩为5×105Nm，尺寸缩减比为1/3时额定输入转矩为1.48×105Nm。图5(a)、图6(a)和图7(a)分别表示第一级太阳轮、第二级太阳轮和第三级大齿轮的y方向振动位移。从图中可以看出，随着尺寸缩减比减小，各构件振动位移幅值逐渐降低，但振动频率加快。根据表2中振动位移缩减比，将缩减后的各构件振动位移向原型转换，可得各构件振动位移预测值，分别如图5(b)、图6(b)和图7(b)所示。从图中可以看出，缩减后模型振动位移预测值与原型保持一致。

图5 第一级太阳轮y向振动位移Fig.5 Vibration displacement of sun in the 1st gear stage along y-direction

图6 第二级太阳轮y向振动位移Fig.6 Vibration displacement of sun in the 2nd gear stage along y-direction

图7 第三级大齿轮y向振动位移Fig.7 Vibration displacement of wheel in the 3rd gear stage along y-direction

图8所示为缩减后风电齿轮箱传动系统各构件y向振动位移预测值与原型的误差最大值。从图8中可以看出，各构件y向振动位移预测值与原型的误差维持在2%以内，并且尺寸缩减比越小，其误差越大。

图9(a)、图10(a)和图11(a)分别表示原型与缩减后第一级太阳轮-行星轮、第二级太阳轮-行星轮和第三级大齿轮-小齿轮的动态传递误差计算值，而图9(b)、图10(b)和图11(b)则分别表示对应的预测值。从图中可以看出，随着尺寸缩减比减小，动态传递误差幅值降低，振动频率加快，缩减后模型动态传递误差预测值和原型保持一致。

图9 第一级太阳轮-行星轮动态传递误差Fig.9 Dynamic transmission error of sun-planet in the 1st gear stage

图10 第二级太阳轮-行星轮动态传递误差Fig.10 Dynamic transmission error of sun-planet in the 2nd gear stage

图11 第三级大齿轮-小齿轮动态传递误差Fig.11 Dynamic transmission error of wheel-pinion in the 3rd gear stage

图12所示为缩减后风电齿轮箱传动系统各啮合副的动态传递误差预测值与原型的误差最大值。从图12中可以看出，各啮合副动态传递误差预测值与原型的误差保持在1%以内，尺寸缩减比越小，误差越大，与图8相似。

图8 各构件振动位移预测值与原型的误差Fig.8 The error between the predicted value of the vibration displacement of each component and the vibration displacement of the prototype

图12 各啮合副动态传递误差预测值与原型的误差Fig.12 The error between the predicted value of the dynamic transmission error of each meshing pair and the transmission error of the prototype

图13(a)所示为原型与缩减后第三级小齿轮转速，图13(b)则为对应的预测值。从图13中可以看出，随着尺寸缩减比减小，系统转速增大，振动频率加快，缩减后模型输出转速预测值与原型保持一致。

图13 第三级小齿轮转速Fig.13 Rotation speed of the pinion gear in the 3rd gear stage

图14所示为缩减后不同构件转速预测值与原型的误差最大值。从图14中可以看出，各构件转速预测值与原型的误差都在0.1%以内，尺寸缩减比越小，误差越大。

图14 不同构件转速预测值与原型的误差Fig. 14 The error between predicted rotation speed of different components and prototype

3.3 瞬态工况下缩减前后动态响应相似性分析

如图15所示，采用输入转矩阶跃突变模拟风电机组在实际运行过程中的变载、变速工况。在风电齿轮箱原型中，设定在行星架转角3.14 rad时输入转矩从4×106N·m突降至4×105N·m，持续到行星架转角位3.48 rad时恢复原状。相应地，当尺寸缩减比为1/2时，输入转矩从5×105N·m突降至5×104N·m；尺寸缩减比为1/3时，输入转矩从1.48×105N·m突降至1.48×104N·m，其中突变开始和结束时所对应的行星架转角均与原型相同。

图15 输入转矩曲线Fig.15 Input torque curve

图16(a)、图17(a)和图18(a)分别表示原型与缩减后第一级太阳轮、第二级太阳轮和第三级大齿轮的y方向振动位移，图16(b)、图17(b)和图18(b)则表示对应的振动位移预测值。从图中可以看出，在转矩突变区域内各构件的振动位移幅值降低，系统处于不稳定状态；随着尺寸缩减比减小，各构件振动位移幅值降低；缩减后模型振动位移预测值和原型保持一致。

图16 第一级太阳轮y向振动位移Fig.16 Vibration displacement of sun in the 1st gear stage along y-direction

图17 第二级太阳轮y向振动位移Fig.17 Vibration displacement of sun in the 2nd gear stage along y-direction

图18 第三级大齿轮y向振动位移Fig.18 Vibration displacement of wheel in the 3rd gear stage along y-direction

图19所示为缩减后各构件y向振动位移预测值与原型的误差最大值。从图19中可以看出，在转矩突变工况下缩减后各构件振动位移预测值误差在3%以内，比图8结果误差略微增加。

图19 各构件振动位移预测值与原型的误差Fig.19 The error between the predicted value of the vibration displacement of each component and the vibration displacement of the prototype

图20(a)、图21(a)和图22(a)分别表示原型和缩减后第一级太阳轮-行星轮、第二级太阳轮-行星轮和第三级大齿轮-小齿轮的动态传递误差，图20(b)、图21(b)和图22(b)则表示对应的预测值。从图中可以看出，在转矩突变工况下各齿轮副动态传递误差波动幅值增大；随着尺寸缩减比减小，动态传递误差幅值计算值也将降低；缩减后模型动态传递误差预测值和原型保持一致。

图20 第一级太阳轮-行星轮动态传递误差Fig.20 Dynamic transmission error of sun-planet in the 1st gear stage

图21 第二级太阳轮-行星轮动态传递误差Fig.21 Dynamic transmission error of sun-planet in the 2nd gear stage

图22 第三级大齿轮-小齿轮动态传递误差Fig.22 Dynamic transmission error of wheel-pinion in the 3rd gear stage

图23所示为缩减后风电齿轮箱传动系统各啮合副的动态传递误差预测值与原型的误差最大值。从图23中可以看出，在转矩突变工况下，缩减后各啮合副动态传递误差预测值与原型的误差保持在2%以内，尺寸缩减比越小，误差越大。

图23 各啮合副动态传递误差预测值与原型的误差Fig.23 The error between the predicted value of the dynamic transmission error of each meshing pair and the transmission error of the prototype

图24(a)所示为原型与缩减后第三级小齿轮转速，图24(b)则为对应的预测值。从图24中可以看出，当转矩突变后，构件转速逐渐降低；随着尺寸缩减比减小，系统转速增大，振动频率加快；缩减后模型输出转速预测值与原型保持一致。

图24 第三级小齿轮转速Fig.24 Rotation speed of the pinion gear in the 3rd gear stage

图25所示为缩减后各构件转速预测值与原型的误差最大值。从图25中可以看出，在转矩突变工况下各构件转速预测值与原型的误差都在0.1%以内，尺寸缩减比越小，误差越大。

图25 不同构件转速预测值与原型的误差Fig.25 The error between predicted rotation speed of different components and prototype

4 结 论

本文以某型5 MW风电齿轮箱传动系统为研究对象，建立了风电齿轮箱传动系统变速动力学模型，并基于量纲理论推导了适用变速工况的风电齿轮箱传动系统等效缩减动力学相似关系，对比分析了缩减前后的系统固有特性与动态响应，得出以下结论：

(1)缩减后风电齿轮箱传动系统固有频率与原型的比值等于尺寸缩减比倒数，并且缩减后相同阶次的系统模态振型与原型保持一致。

(2)在稳态工况下，风电齿轮箱传动系统动态响应与原型满足尺寸缩减比关系，随着尺寸缩减比减小，各构件振动位移幅值降低，输出转速增大，且预测值与原型误差在2%以内。

(3)在转矩突变工况下，风电齿轮箱传动系统动态响应将出现大幅波动，系统处于不稳定状态，缩减后系统动态响应预测值与原型满足尺寸缩减比关系，且预测值与原型误差在3%以内。