空心电抗器参数的精确性解析研究

王 帅，王 波，肖旭亮，许湧平

（1.国网冀北电力有限公司工程管理分公司，北京 丰台 100071；2.国网山西省电力公司建设分公司，山西 太原 030001；3.中国能源建设集团山西省电力勘测设计院有限公司，山西 太原 030001）

0 引言

空心电抗器作为电力系统的重要设备，工作过程中产生的电磁场对人身安全和设备会造成一定的影响，精确的磁场计算是空心电抗器电感参数计算的基础。因此，对电抗器的磁场分析是非常必要的。从电气模型上看，空心电抗器可以看成是有限轴长的通电螺线管。通电螺线管的磁场为中心轴线对称磁场，运用毕奥-萨伐尔定律对其进行解析分析会获得椭圆积分，但其无法用初等函数表示[1-2]，长期以来空心电抗器的磁场分布以及参数计算无解析解。因而，对于电抗器等电器设备的磁力线分布分析一直采用有限元分析方法。但是，空心电抗器因其自身结构不同于电机或铁芯变压器，且其不包含良导磁材料，磁场分布不会被束缚于某一部分，而是分布于整个无限大空间，因此空心电抗器的有限元计算模型需采用较大的计算区域以保证计算精度，故所需内存很大。由此，继续探索空心电抗器的解析计算方法是正途。近年来，学者们通过采用巧妙的换元法解决了中心轴线对称磁场的精确解析计算问题，获得了解析解[3-5]。然而，这些文献仅仅给出了通电螺线管的磁场密度分布的解析表达式，而进一步求解电感需要对磁密进行积分运算。众所周知，微分易算而积分难算，对复杂数学表达式进行积分运算，难以获得解析结果。针对此问题，本文从矢量磁位入手，提出了数学解析计算空心电抗器电感的方法：通过换元积分方法获得矢量磁位的解析表达式，然后利用矢量磁位的分布特点，运用斯托克斯定理获得其电参数的解析表达式。该方法可替代有限元数值计算方法，从而缩短空心电抗器电感参数的计算时间，节约计算资源。

1 空心电抗器的构成及原理[6]

空心电抗器主要分空心串联电抗器、空心滤波电抗器、空心并联电抗器、空心限流电抗器、空心分裂电抗器、空心启动电抗器等，常用于无功补偿、滤除谐波、限流等场合。其结构特点是：无油结构，杜绝了油浸电抗器漏油、易燃等缺点，保证了运行安全。没有铁芯，不存在铁磁饱和，电感值的线性度好；应用计算机进行干式空心电抗器优化设计，可以按照用户的不同使用要求快速准确地设计出最理想的结构参数；采用多层绕组并联的筒形结构，各包封之间有成通风气道，散热性好，热点温度低；绕组选用小截面圆导线多股平行绕制，可使涡流损耗和漏磁损耗明显减小；绕组外部用浸渍环氧树脂的玻璃纤维缠绕严密包封，并经高温固化，使之具有很好的整体性，其机械强度高，耐受短时电流的冲击能力强；采用机械强度高的铝质星形接线架，涡流损耗小；空心电抗器的整个内外表面上都涂有抗紫外线防老化的特殊防护层，其附着力强，能耐受户外恶劣的气候条件；安装方式可三相垂直，也可品字或一字形；户外露天使用可大大减少基建投资；运行安全、噪音低，不需经常维护。

电抗器是一个大的电感线圈，根据电磁感应原理，感应电流的磁场总是阻碍原来磁通的变化，如果原来磁通减少，感应电流的磁场与原来的磁场方向一致，如果原来的磁通增加，感应电流的磁场与原来的磁场方向相反。

2 推导

置放在单一介质中的导电物体所生成的矢量磁位可由式（1）计算[7]。

考虑一个放置于空气中半径为r的导电圆桶产生的磁场。为简便起见，忽略其径向厚度，则根据式（1）可得到电流微元产生的矢量磁位微元为

易知其生成的矢量磁位在整个空间中的方向都是与圆环同心的环形切向方向。由于其中心对称性，可知任意一个经过圆环圆心的平面上的磁场分布都是相同的，因此取其中一个平面，在其内建立rz坐标系，该平面内的矢量磁位全为法向方向。考虑导电圆筒的任意一个垂直于中心轴的截面上的任意一电流微元在任意一点P所生成的矢量磁位微元（如图1所示）。图1中P'点是P点在截面上的投影。电流微元到任意点P的距离为R，P点到投影P'的距离为a，P'到水平平面原点O的距离为b，水平平面原点到电流微元的半径为r，半径r与距离b的夹角为φ，R和a之间的夹角为θ。

图1 几何位置

容易得知，整个电流圆周在P点所生成的矢量磁位的径向分量之和为零，故而只考虑切向分量。图1所示的电流微元Jds在P点所生成的矢量磁位微元的切向分量可由式（3）计算：

其中φ角的物理意义如图1所示。由图1及余弦定理可知：

该式子形式复杂，同样无法获得解析结果，不能用初等函数来表示它的值，通常只能由积分表直接查表得到。传统方法可以用近似积分法或者展成无穷级数来计算，但这种方法存在一定的误差，且无法获得解析表达式，故各变量的影响不明晰。

本文采用换元法，可获得式（5）的解析表达式。本文所采用的换元法的基本思想，一言蔽之，就是将式（5）和图1中的φ换元为θ，将对φ进行积分的数学问题转化为对θ进行积分的数学问题，从而使积分式子得到简化，简化积分难度，获得解析结果。再将图1中的弧长微元ds放大，如图2所示。其中点E与E'分别是该弧长微元的两个端点，用直线连接PE'，并过E点做PE'的垂线，在直角三角形EDE'中，存在如（6）式所示的数学关系。

图2 换元法

先对θ进行积分，经过复杂的积分运算，可得

在式（12）中，再对l积分，经过复杂的积分运算，最终可得式（13）。

由于矢量磁位为切向方向，且任意同心环上各点的矢量磁位模值相等，运用斯托克斯定理可将磁通的双重积分计算转化为简单的乘积计算，大幅简化了计算难度。根据式（13），运用斯托克斯定律，电抗器中某一匝线圈所交链的磁通如式（14）所示。

其中，li为该匝线圈所在轴向位置的坐标。易知，电抗器的电感值可由式（15）计算

其中，N为空心电抗器的绕组匝数。

3 验证

运用Ansoft Maxwell电磁场有限元仿真软件与本文推导的解析法进行比较验证。首先进行空心电抗器物理结构建模，由于空心电抗器属于轴对称结构，因此采用rz二维坐标轴进行建模仿真，对模型每一部分进行材料特性设置，对电抗器结构模型施加无穷远边界条件和交流激励源，在前处理环节对空心电抗器线圈匝数绕法和电感参数进行设置；再对模型进行细剖分，通过Ansoft Maxwell图像后处理程序进行结果分析。

分别建立的3个空心电抗器模型如表1所示。3个模型分别具有不同的半径、轴向长度以及匝数。分别采用有限元计算软件和解析式（15）对这3个模型进行计算，比较两种计算方法的计算结果，从而对本文所提出的空心电抗器电感的解析计算方法进行验证。表2显示了表1中3种电抗器模型的电感参数计算结果。从表2中可见，对于3个不同参数的空心电抗器模型，两种计算方法所获得的结果都非常接近。因此，本文所提出的空心电抗器的电感计算方法是正确的，可以替代有限元计算方法，从而缩短计算时间、节约计算资源，并且使得各变量的对电感数值的影响明晰。

表1 电抗器模型的参数

表2 电抗器模型的电感参数计算结果对比

4 结束语

为解决无法解析计算空心电抗器电感的问题，本文从矢量磁位角度入手，运用换元积分法推导了干式空心电抗器在空气中生成的矢量磁位的解析表达式，利用斯托克斯定理将磁通的双重积分计算转化为简单的乘积计算，获得了空心电抗器的磁通量的解析表达式，进而获得了电感参数的计算公式。建立了3个不同尺寸参数的电抗器模型，运用所提解析计算方法计算了电感，并与有限元仿真结果进行了对比。结果表明本文所提解析计算方法是正确的，可以取代有限元方法，从而大幅度降低了计算时间，节省硬件资源，并且使得各变量对电感数值的影响明晰。