树状分叉网络Kozeny-Carman常数的分形分析

李子豪，肖波齐，王培龙，朱怀志，龙恭博

武汉工程大学机电工程学院，湖北 武汉 430205

树状分叉网络具有很多特有的输运特性，广泛存在于自然输运系统和人工输运系统中，在许多领域具有广泛的应用，比如地下渗流［1］、电子冷却［2］、石油开采［3］等。Kozeny-Carman（KC）常数和渗透率是两个重要的输运特性，与很多因素有关，是影响流体流动的最重要的物理参数［4］。由于KC方程能够很好的表示渗透率和孔隙率之间的关系，广泛应用于多孔介质的流动过程中［5］，目前常用如下方程来表征［6-7］：

式中：K为多孔介质的渗透率；φ为多孔介质的孔隙率；C为KC常数；S是比表面积［8］。KC常数是Kozeny在1927年首次提出的，推导出KC常数为5。KC常数是一个经验参数，它被证明不是一个常数，而且对于不同介质不同环境中KC常数都不一样。这引起了研究人员的广泛关注，使得研究者们不断修正KC方程来提高计算精度。Xu等［9］回顾并总结了KC方程和KC常数相关的各种模型，推导出了不含经验参数的KC常数解析表达式。但是研究者只关注于充分发展的牛顿流体层流流动和各向同性松散多孔介质的影响，研究结果表明KC常数与孔隙率有关。Xiao等［10］根据分形理论，推导出了多孔纳米纤维材料的KC常数解析表达式，发现其与孔隙率、面积分形维数有关。在低孔隙率时，KC常数随着孔隙率的增加而增大，但与实验结果比较误差较大。Wei等［11］基于水力孔径的分形分布特性，分析了毛细管吸胀过程中的KC常数，但是受吸胀过程中各种因素的影响，无法准确的预测任意条件下多孔介质的KC常数。Xiao等［12］导出了纤维多孔介质中KC常数的分形模型，结果表明其与纤维多孔介质本身的微观结构参数密切相关，但是该研究没有考虑多孔介质表面粗糙度对渗流过程的影响。Xiao等［13］推导出了粗糙表面纤维多孔介质的KC常数，但是忽略了其他非线性因素的影响。结果发现KC常数随着粗糙度、孔隙率、孔隙面积分形维数和弯曲度分形维数的增加而增大。前人的大量研究表明了KC常数与多孔介质孔隙率密切相关，但对KC常数与多孔介质结构参数间的关系研究还不够深入，并且树状分叉输运网络中的KC常数研究目前还未涉及。为了分析树状分叉网络KC常数，本文采用了一个理想化的模型（嵌入在多孔介质中的分形树状网络）来模拟真实的多孔介质［14］。最后推导出KC常数的解析表达式并讨论了孔隙率和网络的微观结构参数对KC常数的影响。

1 嵌入在多孔介质中的分形树状网络复合材料的结构参数

复合材料由分形树状网络和基质多孔介质两部分组成［15］。

1.1 分形树状网络结构参数

树状分叉网络如图1所示。为了建立一个复合材料中流体渗流模型，忽略树状网络每层的壁的厚度，调整每层管子的分支角度和体积，使其不相互作用，每个通道在下一层被划分为n个分支（这里n=2），分支的最大分叉级数为m。为了描述分形树状网络的结构，对于其中任意一级分叉而言，第k（k=0，1，2，…，m）级分叉管道的长度和直径分别为lk和dk，分叉角为θ。用来描述分叉网络几何结构的长度比（α）和直径比（β）可以定义为［16］：

图1 树状分叉示意图［长度单位：μm，角度单位：（°）］Fig.1 Tree bifurcation diagram（Length unit：μm，Angle unit：degree）

推出：

其中l0和d0分别表示第0分支管道的长度和直径。

1.2 复合材料结构参数

嵌入在多孔介质中分形树状网络复合材料如图2所示，复合材料的宽度b、长度L0和分形树状网络的实际长度Lt的表达式可写出：

图2 嵌入分形树状网络的多孔介质示意图［长度单位：μm，角度单位：（°）］Fig.2 Schematic of porous medium embedded with the fractal-like tree network（Length unit：μm，Angle unit：degree）

根据体积孔隙度的定义，可以得到复合网络的体积孔隙度［17］：

其中Vf表示树状分叉网络的体积，V是复合网络总体积。

2 树状分叉网络的渗透率

根据Hagen-Poiseuille方程，第k级单根通道中流量可写为：

其中，μ是流体的黏度，Δpk是第k级通道的压降［18］。根据Darcy定律：

其中Kk是第k级单根通道的渗透率。联立方程（10）、（11）可得：

根据渗流并联模型，第k级nk根管道并联起来的有效渗透率为：

其中，Aki=πd2k/4是第k级单根分叉管道的横截面积，Kki=Kk=d2k/32是第k级单根分叉管道的渗透率是 第k级nk根 并联管道的等效横截面积。由此可得到第k级nk根管道并联后的有效渗透率：

可以发现第k级nk根管道并联起来的有效渗透率与第k级单根管道的渗透率相等。可以将该网络视为由m个长度为lek，横截面积为Aek，渗透率为Kek的单通道串联而成，整个网络可以等效为一个渗透率为Ke的单通道。Ke也就是整个网络的有效渗透率。对于整个网络的等效单管，由广义Darcy定律：

其中Ae和le分别是整个网络等效单管的横截面积和长度是网络的总压降。由于质量守恒，第k级管道的流量与网络总流量相等

根据Hagen-Poiseuille方程：

其中de为等效直径。

联立方程（14～20）可以得到整个分叉网络的有效渗透率：

在渗流过程中，流体的流动不可能是沿直线流动，而是弯曲曲折地流动。因此还需要考虑到迂曲度T对渗流过程的影响，迂曲度定义为渗流通道的实际长度Lt与直线长度L0的比值［19-20］。

考虑迂曲度的影响后，网络的有效渗透率为：

3 嵌入在多孔介质中树状分叉网络的KC常数

树状分叉网络中各级管道的总内表面积At可写为：

于是可以得到比面S的表达式：

联立方程（1）、（9）、（23）、（25）可以得到嵌入在多孔介质中树状分叉网络的KC常数表达式：

4 分析与讨论

方程（26）给出了树状分叉网络复合材料的KC常数解析式，很明显它与分叉网络的微观结构有着直接的关系。从图3中可以看到KC常数随着孔隙率φ的增加而增大，这与前人的研究结果相吻合。图3显示KC常数随着分叉网络的长度比α的增加而增大，这是因为随着长度比的增加，下一级分叉管道就越长，流体流动阻力就越大，渗透率降低，根据方程（1），KC常数增大。图3显示KC常数随着直径比β的增加而减小，这是由于直径比的增加，下一级分叉管道就越粗，流体流量增加，渗透率升高，根据方程（1），KC常数减小。图4列举了一些前人研究成果中KC常数的预测值，并与本文推算出的预测值作比较，发现在孔隙率较小（0<φ<0.2）时，本文预测结果和Sullivan［21］及徐鹏等［22］的结果较吻合；在0.2<φ<0.3时，本文预测结果和Devies［23］等人及Sparrow［24］等的结果十分接近；当孔隙率在0.3附近时，本文预测结果符合Happel［25］等的结果，此时分形模型的预测值接近经典的KC常数值；在0.4<φ<0.5时，本文预测结果和Kyan等［26］及Sahraoui等［27］的预测值较接近。综上发现模型预测结果与实验结果吻合较好，这很好地验证了本模型的正确性。KC常数和孔隙率间的定量关系因为不同学者的研究方法和手段的差异，在学界还未有定论，故不断有学者提出讨论。本文研究的是树状分叉网络的KC常数，而参考文献中模型多是单根管道，所以数据对比会有差异性，但是数值量纲与前人研究成果相符合。

图3 树状分叉网络KC常数与孔隙率φ、长度比α、直径比β的关系Fig.3 Relations between KC constants and porosities，length ratios，diameter ratios in tree bifurcation network

图4 不同模型中KC常数与孔隙率的关系Fig.4 Relations between KC constants and porosities in different models

5 结论

前人的大量研究表明了KC常数与多孔介质孔隙率密切相关，但是对于树状分叉输运网络中的KC常数研究目前还未涉及，而本文创新的推导出了嵌入在多孔介质中的树状分叉网络复合材料的KC常数的解析表达式，发现KC常数与孔隙率和网络结构参数有关系。结果表明树状分叉网络KC常数随着复合网络孔隙率的增加而增大，随着分叉网络长度比的增加而增大，随着分叉网络直径比的增加而减小。当孔隙率在0.3附近时，本文分形模型的预测值最接近经典的KC常数值（5）。尽管本文推导出了嵌入在多孔介质中树状分叉网络复合材料KC常数的解析表达式，但是该结果忽略了树状分叉管道壁表面的粗糙元素，为了进一步深入的研究树状分叉网络中的KC常数，需要将粗糙度对渗流过程的影响考虑进去。