“计算海洋声学”课程内容优化研究

刘 巍，马树青，蓝 强

（国防科技大学 气象海洋学院，湖南 长沙 410073）

一、课程介绍

“计算海洋声学”是国防科技大学海洋信息工程、水声工程方向的骨干专业课程，主要讲授如何建立水声传播物理过程的数学模型及其相应的计算机算法，并通过计算机仿真研究海洋环境、声源频域与位置等声学相关要素对海洋声场的影响规律。目前我校“计算海洋声学”课程教材为《计算海洋声学（第二版）》，该书于1994年面世，并于2011年推出第二版，内容（按章节顺序）主要包括：海洋声学基础、波动方程理论、射线法、波数积分法、简正波法、抛物方程法、有限差分和有限元法、宽带建模与噪声建模，此外还涉及声纳方程、波束形成、匹配场处理等多种水声应用技术，构成了内容丰富、架构完备的水声建模理论体系，并通过多个水声标准算例搭建了从理论模型到计算机仿真的技术链条［1］。

“计算海洋声学”课程承担着培养水声信息领域高技术创新型人才的重要任务。该课程理论知识体系从水声波动方程出发，沿环境简化与方程近似两条主线将波动方程各类求解方法分类展开，综合运用高等数学、数学物理方法、计算方法、计算机编程等多方面的基础知识，并涉及水声物理、计算数学及计算机科学等领域的专业技术。学生通过该课程能够掌握海洋中声能传播的求解方法，获得水声传播基本物理规律，具备水下声场建模与声纳性能评估的能力，并相应提高数学物理方程推导、水声场计算机仿真、声场可视分析等多方面的专业技术水平［2］。此外，该课程强调水声物理与计算机技术相结合，能够充分发挥国防科技大学在高性能计算、计算数学等学科的优势，从而在我国水声建模与仿真技术总体落后于发达国家的大背景下，争取形成“计算海洋声学”方向的局部优势，并将研究成果适时融入课程，批量培养水声信息方向的高技术创新型人才。

然而，该课程教学目前面临着多方面的挑战。学生方面，由于各类水声模型均涉及大量数学公式，而选课研究生的本科专业背景多样、数学基础差异显著，因此需要合理设定水声模型数学方面的深度、难度才能提高研究生学习该课程的实际收益［3］。教师方面，由于海洋声学在当今信息时代发展速度明显加快，要求教师付出更多努力提升自己以适应当前快速、多元的学科发展态势，此态势的主要特征为：期刊电子检索出现免费的趋势，使相关研究信息生产与传播速度提高；计算机性能提升迅速，海洋声学借助计算数学与高性能计算而开辟的新技术发展赛道不断涌现。课程教学内容方面，近几年为了减轻研究生课业压力，该课程学时数被大幅压缩，这显然与新知识不断出现相矛盾，并直接促使任课教师对课程内容做相应调整。以上几个方面的挑战将课程发展改革的重点聚焦到课程内容上，为此本文结合课程教学实践，对该课程内容的调整与优化进行了研究。

二、课程内容优化研究

课程内容优化的总体方案为：充分调研“海洋声学基础”等相关课程的知识体系，删减重复内容；将现有教材中与整体知识架构不协调的时域有限差分与有限元法,替换为频率域有限差分法；梳理“计算海洋声学”知识体系，整合相近水声模型教学内容；对课程知识体系进行整体优化。

（一）删减重复内容

与“计算海洋声学”课程内容相关的其他课程包括“海洋声学基础”“水声信号处理”等，其中“海洋声学基础”（又名“水声学原理”）课程包含了水声学简史、声纳方程、海水介质及边界声学特性、声传播理论（波动方程）、射线法（较详尽）、简正波法（较简略）、水声目标的声反射与散射、海洋混响与噪声、声传播起伏等内容，与“计算海洋声学”教材中第一章（海洋声学基础）、第三章（射线法）、第五章（简正波法）、第九章（环境噪声）的内容有重叠；而“水声信号处理”课程内容与“计算海洋声学”第十章（噪声中的信号）内容有重叠。因此，在“计算海洋声学”课程学时数被大幅压缩的情况下，可考虑删减“计算海洋声学”第一、三、九、十章。此外，“计算海洋声学”第二章中的均匀介质与分层介质等内容可归入第四章与第五章，从而使第二章可专注于波动方程推导与宽带模型相关理论（原教材第八章）。

（二）替换不协调内容

“计算海洋声学”第七章有限差分法和有限元法的内容为求解时间域波动方程的时域水声模型，与第三章射线法、第四章波数积分、第五章简正波和第六章抛物方程均为频率域水声模型并不协调。依据声场中任意位置处的声压是否具有周期性，可将声场类型分为稳态（steady-state）声场与非稳态声场。声源短时间振动激发的声场（类似于地震波）或声源持续振动下的初始时间段内，声场各位置的声压不具有周期性（非稳态），此时声压可由时域波动方程描述（声压是三维空间+时间的四维函数）。与非稳态声场相对应的是稳态声场，即持续简谐振动的声源（可能包含多个频率），在经过足够长的时间后，声源激励与边界反射已经充分发展，时间平均声能量传输路径趋于稳定，声场内任意点的声压具有类似简谐振动的表达形式，此时可将时域波动方程转换为频率域Helmholtz方程，即对于某个特定频率而言，频率域声压仅与三维空间位置有关［4］。

目前，“计算海洋声学”主要内容是如何准确、高效求解频率域Helmholtz方程，虽然也存在求解时间域波动方程的算法，但因存在时间累积误差、缺少标准算例、计算代价过大等原因，仍处于关键算法研究过程中，暂时不适合作为研究生课程教学内容。此外，近几年来，采用数值方法直接离散水声Helmholtz方程的水声模型取得了令人瞩目的进步，主要包括有限差分法、边界元法与有限元法：其中边界元法适合求解分层（各层交界面可不是平面）介质的声场；有限元法通用性最好且容易处理各类边界，但存储量与计算量较大，目前暂未实现大规模海洋声场模拟；有限差分法通用性较好，且具有高阶精度格式构造简单、规则网格坐标无须存储、算法程序存储量小、计算效率高等优点，已被用于求解三维海洋声场。因此，可以采用求解频率域Helmholtz方程的有限差分模型替换现有第七章内容，从而使该课程主要内容始终围绕频域水声模型（课程知识脉络更清晰）。频率域有限差分模型的主要教学内容包括差分格式、声源处理方法、边界条件、完全匹配层、方程组求解、预条件加速、声场数据可视化等，其中声源处理方法可采用波数积分法或镜像法，且有限差分模型在水平分层理想环境下的计算结果也可用波数积分法或镜像法校核。

（三）整合相近模型

“计算海洋声学”第四章波数积分与第五章简正波都是在水平分层海洋环境下的波动理论解法，二者均根据声场轴对称特性将直角坐标水声Helmholtz方程转换为周向无关的柱坐标方程，并采用Hankel变换获得Sommerfeld积分与深度分离波动方程（简称深度方程）。二者的区别是波数积分法直接求解深度方程并进行离散形式的水平波数积分；而简正波法应用留数定理，忽略分支割线的积分，从而将沿实轴的积分转换成实轴上的留数项之和。可见波数积分与简正波的模型假设、求解过程类似，可考虑将两章合并，在相同理论框架下（Sommerfeld积分）引出两个分支（直接积分与留数定理）。目前《计算海洋声学》教材第五章简正波法中缺少三个与波数积分法紧密相关的知识点，分别是分离变量法、Wronskian行列式与深度方程缺失非齐次项。其中分离变量法在简正波内容开始阶段就被应用，但并未给出能够使用分离变量法的前提条件；实际上，Sommerfeld积分式中的波数核函数仅与水平波数和深度有关，而Bessel函数仅与水平波数和水平距离有关，当水平波数离散后，即可实现深度项（波数核函数）与水平项（Bessel函数）的分离，此即简正波可采用分离变量法的理论依据。而Wronskian行列式与深度方程缺失非齐次项是关联的，波数积分法导出的深度方程具有奇异项，在跨过声源点的线段上对深度坐标进行积分，可获得声源深度上、下表面的波数核函数及其导数的关联条件（简称声源条件），从而可将深度方程求解区域划分为声源上方与下方两部分，并在声源处通过声源条件实现耦合（深度方程非齐次项即被声源条件代替）；基于以上原因，波数积分法可采用传递函数矩阵法求解深度方程，将分别满足上、下边界条件的齐次深度方程解在声源深度根据声源条件建立联系，进而获得同时满足上、下边界条件的非齐次深度方程解，此解可写成分数形式，且在简正波法计算核函数留数时,需要对此分数的分母求导，即可得到分母位置的Wronskian行列式。从以上分析可知，简正波法与波数积分法是紧密相关的，可考虑将两章合并，在相同理论框架下引出两个分支。

（四）优化课程知识体系

完成以上课程内容调整后，可对课程教学内容进行整体优化，“计算海洋声学”新课程内容主要包括水声波动方程推导、宽带模型、波动理论类水声模型与数值类水声模型（抛物方程与频域有限差分）。其中水声波动方程以流体介质为对象（将沉积层也近似为流体），从理想（无黏性）流体欧拉方程出发，在海水宏观静止、小扰动（介质压强变化与密度变化成正比）假设下，推导出时间域水声波动方程（时空四维），再假设声场具有稳态特性，将时间域水声波动方程中物理声压的时间简谐因子提出，从而获得以频率域复声压为变量的水声Helmholtz方程（齐次方程）；然后定义Green函数形式，通过高斯定理配置Helmholtz方程非齐次项（狄拉克函数），并提出三类边界条件，包括：第一类（Dirichlet，如海面压力释放边界）、第二类（Neumann，如刚性海底边界或对称边界）与第三类（Robin，如声场人工截断处的Sommerfeld辐射边界）。

波动理论类水声模型包含波数积分与简正波两类方法，从水平分层环境假设开始，推导柱坐标系Helmholtz方程，应用Hankel变换得到非齐次深度方程与Sommerfeld积分方程，然后引出直接积分与应用留数定理两个分支：直接积分先对水平波数进行离散，然后采用传递函数矩阵法（或有限元法）求解每个水平波数下的深度方程，并采用梯形公式计算Sommerfeld积分（即波数积分法），也可将Bessel函数近似为指数函数（远场近似）并采用快速Fourier变换技术加快计算（即快速场模型）；应用留数定理可将沿实轴正向的Sommerfeld 积分转换成有限个留数项之和（忽略虚轴路径的积分值），计算速度可显著提高，教学内容涉及简正波表达式的推导（如上节关于Wronskian 行列式的讨论）、齐次深度方程特征值与特征向量求解、多个简正波的合成等。此外，抛物方程模型与频域有限差分模型也具有多方面的相似之处，即二者均需要设置网格、边界条件与初始声场，二者也可进行某种方式的联合，如在直角网格下，用有限差分法迭代计算近距离声场，然后启动抛物方程模型读入有限差分求解区域的最外层结果并用作其初始场，进而向外逐层推进求解远距离声场。因此，可考虑设置一个数值水声模型类（与波动理论类并列），并引出抛物方程与频域有限差分两个分支。

结语

“计算海洋声学”与计算机技术紧密相关，其内容只有随着计算机技术的发展而不断调整与更新，才能保持课程活力，从而吸引研究生选修该课程，并促进“计算海洋声学”技术持续发展。进入新世纪以来，超级计算机、高性能计算、云计算、量子计算、5G、大数据、机器学习、人工智能等具有革命性的计算机技术快速迭代，知识分化速度加剧，大量具有时代气息的新领域、新课程不断出现，而研究生课程学时总量有限，为了减轻研究生的课业负担，“计算海洋声学”等具有较长学科历史的课程学时被相应压缩。计算机学科的飞速进步与课程学时被缩减形成了课程内容改革的外部压力，促使授课教师突破现有“计算海洋声学”教材限定的课程内容框架，处理好各相关课程的教学内容分配与知识衔接，并在保持课程本质不变的情况下尽可能吸纳更先进的计算机技术。本文对“计算海洋声学”课程内容进行了调整与优化，可更加清晰地梳理该课程知识体系，但教学内容与方案仍需要在未来进行不断修改与调整，以将计算机技术与计算海洋声学技术的进步及时融入课程，实现课程的常讲常新。