方波触发勘探与开发的粒子群优化算法

邓志诚 孙辉, 赵嘉, 王晖 , 吕莉 , 谢海华

为解决传统优化算法难以解决的复杂优化问题,研究者们受启发于生物和自然物理现象,提出了粒子群优化算法、差分进化算法、人工蜂群算法、和声搜索算法和进化策略等优化技术以解决各领域的优化任务.

粒子群优化算法(Particle swarm optimization,PSO)是由Kennedy等[1]在1995 年提出的群智能优化算法.该算法具备计算快速和易实现等优点,作为群体智能算法的一个重要分支,得到了众多学者广泛深入的研究.且已应用于预测[2]、工程设计[3]、特征选择[4]和经济[5]等众多领域.

粒子群优化算法是源于对鸟群捕食行为的模仿研究,人们从鸟群捕食过程当中得到启示,并将其用于解决优化问题.该算法通过群体中粒子间合作与竞争产生的群体智能指导优化搜索.根据算法的特性,全局最优粒子将信息传递给其他粒子是单向的信息流动,可使粒子快速的收敛于最优解.但当全局最优粒子处于局部最优位置时,易导致所有粒子收敛到局部最优.此外,粒子在进化过程中,从全局勘探转为局部开发阶段后,若粒子处于局部最优位置,将难以获得逃离局部最优位置的步长.针对上述问题,提出方波触发勘探与开发的粒子群优化算法(Particle swarm optimization with square wave triggered exploration and exploitation,SWTPSO),在提高全局最优质量的同时,进一步增强粒子逃离局部最优的能力.

SWTPSO 中提出方波触发机制.首先,将标准PSO 的更新公式进行改进,去除速度项和加速因子的影响,使新改进的公式局部搜索能力增强,并存储当前粒子的位置,作为下次使用标准PSO 公式更新种群时粒子的新步长.然后,根据种群设定的总迭代次数,将种群进化的过程划分为多个方波周期.最后,按照种群当前运行的迭代次数属于方波周期内的 “高”或 “低”值,分别执行标准PSO 公式和新改进公式更新种群,使粒子的搜索状态随方波周期性变化.将SWTPSO与多种其他优化算法进行比较,其在数值优化问题上展现较好的优化性能.

本文结构如下: 第1 节介绍标准粒子群算法原理及相关研究;第2 节阐述方波触发机制;第3 节对本文提出的策略进行理论分析和实验验证;第4节将SWTPSO与新改进的PSO 和其他智能算法进行仿真实验,并分析算法的优化性能;第5 节为总结与展望.

1 粒子群算法及其简要综述

1.1 粒子群算法基本原理

设粒子数为N的种群,在维度为D的空间中搜索,粒子在解空间所处的位置可表示为xi=(xi1,xi2,···,xiD),i=1,2,···,N代表第i个粒子的位置,而每个xi都可由目标函数求得函数值f(xi)·vi=(vi1,vi2,···,viD),i=1,2,···,N代表第i个粒子的速度,表示在每一次迭代中粒子移动的步长,pbesti=(pbesti1,pbesti2,···,pbestiD),i=1,2,···,N代表第i个粒子所经历的历史最优位置,gbest=(gbest1,gbest2,···,gbestD)代表整个种群的历史最优位置.速度和位置可按照以下公式更新:

式中,惯性权重w控制粒子速度v使粒子的局部和全局搜索能力相平衡,当w较大时粒子的全局搜索能力较强,反之粒子的局部搜索能力较强.式(1)中c1和c2为学习因子(也叫加速因子),可使粒子具有自主学习和向其他优秀粒子学习的能力,使其以较快速度向最优解靠近.r1和r2为(0,1)内的随机数,为粒子i在第t次迭代时历史最优位置的第j维,为第t次迭代时整个种群历史最优位置的第j维.

1.2 粒子群算法简要综述

粒子群优化算法具有高效和实现简单等特点,已成功应用于许多现实优化任务[6−7],但存在多样性差、易早熟收敛等问题制约了粒子群优化算法的发展,为克服上述问题,众多学者做了大量研究,所做工作包含以下4 类:

1)参数选择

惯性权重和学习因子等参数,对算法的优化性能有重要影响.文献[8]首次引入时变惯性权重,改善粒子的收敛速度.文献[9]根据种群的信息调整惯性权重.文献[10]引入贝叶斯技术调整惯性权重.文献[11]提出时变的加速因子策略.文献[12]引入正余弦函数控制加速因子的变化.文献[13]将惯性权重和加速因子作为三个维度信息处理.文献[14]提出一种反馈系统,该系统可使参数适应粒子所处的特定环境,并使用惩罚函数来处理约束.

2)粒子更新方程

为增强粒子逃离局部最优能力,探索更多新区域,文献[15]使用高斯分布更新粒子位置.文献[16]引入反向学习生成粒子的反向解参与种群进化.文献[17]结合随机学习和列维飞行策略,在标准速度更新公式中增加向随机粒子学习项.文献[18]在速度更新公式中增加子社会学习项,使粒子向邻域最优粒子学习.文献[19]中,为消除对gbest的过度依赖,将其他粒子的维度信息作为新的信息源,并提出了3 个更新粒子的公式.

3)拓扑结构

种群的拓扑结构与种群的多样性有关,吸引了众多学者关注.文献[20]分析了不同类型的静态邻域结构及其对PSO 性能的影响,并认为星型、环型和冯诺依曼拓扑结构的适应性最好.文献[21]使用整个邻域的信息引导粒子搜索最优解.文献[22]提出自适应时变拓扑连接模型,根据种群搜索性能改变粒子的拓扑连接,平衡算法的勘探与开发搜索.文献[23]采用环形拓扑结构增强种群的多样性和开发能力.文献[24]在迭代过程中保留局部最优解,并根据位置对维度进行排序,生成局部最优拓扑.

4)算法混合

各优化技术在处理不同优化问题时展现不同的优势.文献[25]通过差分算法和混沌映射控制算法运行期间的参数.文献[26]将遗传算法的变异和交叉操作引入粒子群算法中.文献[27]将萤火虫算法的局部搜索能力与粒子群的全局搜索能力结合.文献[28]将多种经典的改进粒子群算法优势集合,通过学习上一代粒子经验,采用自适应方法为粒子分配最佳策略.文献[29]将标准PSO 和社交学习粒子群优化相结合,以提高算法的探索和开发能力,并在30、50 和100 维上验证了算法的性能.

综上研究可知,通过在种群进化过程中调节参数,动态调节勘探与开发;通过改变粒子的更新方程,进一步改变粒子的运动方式或运动轨迹;通过改变粒子的拓扑结构,根据粒子间不同的信息分享机制调节勘探与开发;通过将其他智能算法的策略引入粒子群算法中,调节勘探与开发.

上述算法的种群在进化的全过程,始终保持初始设置的进化方式不变,或只对进化方式进行简单单一调整.例如,在进行参数选择的改进中,其使用的惯性权重线性变化策略,可等价为以整个进化过程为一个周期,通过惯性权重的变化,调节勘探与开发.因周期设置不合理,容易出现因勘探持续时间过长而耗费评估资源,或因陷入局部最优后难以再次进行全局勘探等问题.同理,在粒子更新方程、拓扑结构和算法混合等改进中,都未考虑多阶段调整种群的进化方式,进而调节勘探与开发等问题.

针对上述问题,本文提出方波触发勘探与开发的粒子群优化算法,其将种群进化过程划分为多个方波周期,周期性地增强种群勘探与开发能力,可避免因过度勘探造成评估资源浪费,又同时增强粒子逃离局部最优的能力,进一步提升算法的收敛速度和精度.

2 方波触发勘探与开发的粒子群优化算法

2.1 方波触发机制

方波(Square wave,SW)是一种非正弦曲线波形,通常在逻辑电路和信号处理时出现.理想方波只有 “高”和 “低”两个值.“高”值在一个波形周期内占有的时间比值称为占空比,占空比为50%的矩形波称为方波.若使用1 和0 分别表示方波振幅的高和低值,则方波的前半个周期内振幅为1,后半个周期振幅为0.方波表达式见下:

式中,t为种群当前迭代次数,T为方波函数的周期,n为整个迭代过程可划定的周期个数,n=1,2,···,Max_iteration/T,Max_iteration为最大迭代次数.

标准粒子群算法在优化过程中,整个粒子群体根据全体粒子和自身的搜索经验向着最优解的方向“飞行”,在较大动量项系数(加速因子等)的作用下,粒子可能错过最优解,使算法收敛到局部最优.

为消除动量项的影响,在新速度更新式(4)中,原等式(1)右边的速度项替换成粒子的当前位置,加速因子设置为1,r4和r5为(0,1)间的随机数.联合式(4)～ (5)可知,其可使粒子获得比前半周期更小的步长,粒子直接向个体最优(pbest)和全局最优(gbest)学习,探测两者外围解空间区域,相对增强种群局部搜索能力.

在标准粒子群算法进化过程中,搜索状态由全局勘探转为局部开发后,若种群陷入局部最优,则粒子多样性丧失较快,难以逃离局部最优.此外,种群执行局部开发搜索后,难以再次开启全局勘探搜索.

针对上述问题,SWTPSO 利用方波的周期特性,在种群的进化过程中,使粒子周期性增强全局勘探与局部开发搜索.具体实现过程如下:

由式(6)可知,在前半个方波周期内,使用标准PSO 公式增强全局勘探能力,提高寻得最优解的概率;在后半个方波周期内,使用去除动量项的改进公式更新种群,增强其局部搜索能力,对所探得区域进行精细搜索.在整个方波周期内,种群在前半周期相对于后半周期,增强全局勘探能力,后半周期相对前半周期增强局部开发能力.当种群粒子执行完后半个周期的局部搜索后,在下个周期将自动获得与粒子当前位置有关的新速度,使粒子获得的运动步长多变,种群多样性增强.

2.2 算法实现步骤

本文采用方波触发机制,可有效平衡算法全局勘探与局部开发的能力,算法实现步骤如下:

算法1.SWTPSO 程序

3 算法策略分析

本节主要对算法采用的策略进行理论分析或实验验证,通过实验测定方波触发机制中的最佳方波周期T,并验证方波触发机制可有效提高种群多样性.

方波触发机制从整个种群搜索状态入手,在式(1)中去除速度项,使算法拥有更强的局部搜索能力,而保留速度项的标准PSO 更新公式,则可探索更多新搜索空间[8].方波触发机制将种群进化的全过程划分为若干个方波周期,在一个周期内的前半个周期采用式(1)～ (2)更新种群,进行大范围的全局搜索,在后半个周期内采用式(4)～ (5)更新种群,进行小范围的局部搜索,以此平衡算法的勘探与开发能力.因此,为提高算法的优化性能,划分合适的方波周期是本文的关键.

3.1 方波周期分析

为便于实验分析设定最佳方波周期T,改为求f=1/T=n/Max_iteration的值,n为周期的个数,Max_iteration为最大迭代次数.在算法运行时,周期T为初始化设定的常数,当最大迭代次数Max_iteration变化,则只有周期执行的个数n变化.本文通过取不同的f值,测试算法在优化不同函数时展现的综合性能,选取最佳方波周期T.因此,本文设定的最佳方波周期T只与算法的优化性能有关,与本节设定的最大迭代次数无关.

实验选取多模函数Penalized 2、Levy 作为测试函数,粒子数N为10,维度D为30,最大迭代次数为20000,各函数运行30 次,当所得全局最优适应值达到 10−18,则认为算法求得函数最优解,记录下所需迭代次数.当算法达到终止条件,全局最优适应值未满足10−18,则判定此次运行搜索失败,用“×” 标示,且不计入平均值的计算.f分为0.01∼0.002共9 个值,实验结果见表1～ 2.

表1 Penalized 2 函数上使用不同的f 值寻找全局最优值的迭代次数Table 1 Numbers of iterations for finding the global optimum using different values of f on the Penalized 2 function

在Penalized 2 函数上,当f为0.01 时,算法有28 次求得最优解,其平均迭代次数为4798.当f为0.009、0.008、0.007、0.006、0.005、0.004 时,算法在30 次都求得最优解.其中,当f为0.009 时,平均迭代次数 为5148;当f为0.008 时,平均迭代次数为6028;当f为0.007 时,平均迭代次数为5277;当0.006 时,平均迭代次数为5021;当f为0.005 时,平均迭代次数为4488;当f为0.004 时,平均迭代次数为4510.当f为0.003 时,算法有29 次求得最优解,平均迭代次数4907.当f为0.002 时,算法有25 次求得最优解,平均迭代次数为3219.

在Levy 函数上,当f为0.01 时,算法有22 次求得最优解,平均迭代次数5887.当f为0.009、0.008、0.007 和0.005 时,算法在29 次都求得最优解,其中0.009 时平均迭代次数为5954;0.008 时平均迭代次数为5259;0.007 时平均迭代次数为4923;0.005 时平均迭代次数为4321.当f为0.006 时,算法有27 次求得最优解,平均迭代次数4027.当f为0.004 时,算法有30 次求得最优解,平均迭代次数4494.当f为0.003 时,算法有28 次求得最优解,平均迭代次数4252.当f为0.002 时,算法有27 次求得最优解,平均迭代次数5146.

为更直观反映f值对算法优化性能的影响,以不同f值为横坐标,算法在运行30 次中未寻得最优解的次数为纵坐标,绘制折线图1.在Penalized 2函数上,f为0.004、0.005、0.006、0.007、0.008、0.009 时,算法都能求得最优解.在Levy 函数上,f为0.004 时,算法能求得最优解.

图1 不同f 值的失败次数Fig.1 Number of failures for different f

综合分析实验结果可知,不同的周期T对算法优化性能有重要影响,当T设置过大,种群长时间使用标准PSO 更新公式搜索解空间,其具有的较大动量项系数将使种群错过最优解,且周期过大将占用大量的迭代次数,使执行的周期次数变少,种群粒子自动获得较大步长的次数减少,削弱了种群逃离局部最优的能力;当T设置过小,种群粒子或未探得最优解所在区域,就进行局部搜索,使种群在局部最优区域耗费评估次数.

对于f的取值,通过增加两组不同类型(单模、多模、旋转、偏移、组合等)测试函数进行实验,验证了f的最佳取值范围为[0.004,0.009].当f=0.004 时,所得秩均值最小,算法拥有更好优化性能.

3.2 粒子步长和种群多样性分析

分析标准PSO 算法中粒子的运动方式,将式(1)～ (2)经整理变化,可得:

粒子的实际运动步长为:

本文提出的方波触发机制,在一个方波周期内的前半个方波周期采用式(1)～ (2)更新种群,搜索到一定区域后,使用式(4)～ (5)在后半个方波周期对该区域进行精细搜索.再到执行下一个方波周期时,式(6)中所得粒子的速度V,将自动替换成为式(1)等号右边第1项V,此时再次使用式(1)～(2)更新,粒子的实际运动步长为:

为验证标准PSO 公式下 (steppso),相比方波触发机制下 (stepsw) 的优势,使用Rastrigin 函数,测试粒子在进化过程中步长的变化.实验中,种群个数为N=10,维度D=10,迭代次数为500 次.随机选取种群中一个粒子,记录粒子10 个维度中步长的变化情况.实验结果见图2.

第1～ 250 迭代次数为前半个周期,第251～500 迭代次数为后半个周期.由图2 中可以看出,在粒子的10 个维度中,stepsw步长的变化次数在进化全过程多于steppso,验证在stepsw策略下,通过提供多变的步长,可达到按周期触发勘探与开发的目的.

图2 粒子在10 维中的步长变化Fig.2 Step size changes of 10 dimensions of particles

为验证引入方波触发机制可有效提高种群多样性,使用多样性度量式(10)[30],对比标准PSO 和加入方波触发机制的PSO,其种群进化过程中多样性的变化.

式中,N表示种群的个数,2·a为搜索空间的范围,D表示维度,x¯ 表示种群的中心位置.方波触发机制记为SW,选取Rastrigin 旋转偏移函数和Shifted 旋转偏移函数进行测试,粒子数N为10,维度D为30,评估次数为10000 次,所得两者多样性实验结果见图3.引入方波触发机制的PSO (PSO +SW)比标准PSO,在种群进化的全过程中能保持更高的多样性,种群勘探与开发能力可保持更好平衡.同时对标准PSO 和PSO+SW 进行收敛性分析,见图4.实验结果表明,PSO+SW 比标准PSO可收敛到更高精度解.

图3 PSO 和PSO+SW 的种群多样性变化Fig.3 The population’s diversity of PSO and PSO+SW

图4 PSO 和PSO+SW 的收敛性Fig.4 The convergence performance of PSO and PSO+SW

4 仿真实验

本节结构如下: 第4.1 节设置SWTPSO 涉及的参数,给出测试函数的基本信息;第4.2 节选取新近改进的PSO与SWTPSO 在维度为30、50、100的条件下比较;第4.3 节对算法收敛性能进行分析.第4.4 节将SWTPSO与新改进的蜂群和差分算法在26 个函数上进行50 维比较,再与改进和声搜索算法、粒子群算法、人工蜂群算法、差分算法进行100 维比较,最后在CEC2015 测试集上进一步验证SWTPSO 的优化性能.

4.1 测试函数和参数设置

引入26 个基准函数进行仿真实验,表3 给出了26 个测试函数的基本信息.SWTPSO 的参数设置如下: 种群规模N设置为10,c1和c2设置为2.0,惯性权重w=0.55×exp(−0.5×iterNum/Max−iterNum),用Max_iterNum表示最大迭代次数,iterNum表示当前迭代次数,方波触发机制中,f值设为0.004.

表3 26 个基准测试函数Table 3 Information of 26 benchmark functions

表3 26 个基准测试函数 (续表)Table 3 Information of 26 benchmark functions (continued table)

表3 26 个基准测试函数 (续表)Table 3 Information of 26 benchmark functions (continued table)

4.2 仿真实验及结果分析

将SWTPSO与7 种PSO 改进算法在维度D=30、50、100 的条件下对比,7 种PSO 改进算法分别为Self-organizing hierarchical particle swarm optimizer with time-varying acceleration coefficients (HPSO-TVAC)[11]、Comprehensive learning particle swarm optimizer for global optimization of multi-modal functions (CLPSO)[31]、A novel particle swarm optimization algorithm with levy flight (LFPSO)[32]、Dynamic multi-swarm particle swarm optimizer (DMS-PSO)[33]、An enhanced particle swarm optimization with levy flight for global optimization (PSOLF)[34]、A particle swarm optimization algorithm with random learning mechanism and levy flight for optimization of atomic clusters (RPSOLF)[17]、A hybrid particle swarm optimizer with sine cosine acceleration coefficients (H-PSO-SCAC)[12].各算法的参数都按照原文献设置,当D=30 时,评估次数设为20 万次;D=50 时,评估次数设为25 万次;D=100 时,评估次数设为50 万次.所有算法独立运行50 次,最终结果取50 次的平均值,具体实验数据见表4～6.表中,MBF 表示平均最优适应值,SD 表示标准差,粗体表示最好值.

由表4～6 可以看出,在相同评估次数下,SWTPSO在D=30,50,100 维时,所测函数f1、f2、f6、f8、f12、f13、f14全部求得最优解,所测函数f9、f10同样求得比其他算法更高质量的解,测试f3、f4、f5函数所得最优解相比其他算法优势明显.CLPSO在测试函数f5时优势明显,其余函数在30 维时能取得较好质量的解,但在50、100 维时算法性能有待加强.CLPSO 主要借助不同的个体最优(pbest)优势信息产生最优解,但因其在搜索过程中种群常易更新停滞,早熟收敛仍是CLPSO 需解决的问题.HPSO-TVAC 和DMS-PSO 在测试函数f9、f10时优势明显,测试其余函数时,上述算法在低维时能求得较好质量的解,在高维搜索时算法易陷入局部最优.LFPSO、RPSOLF 都采用列维飞行策略,使种群增加了随机步长,其中LFPSO 使种群粒子绕着最优解做列维飞行,在算法后期种群易更新停滞,故LFPSO 在低维时,测试单模和多模函数时,搜索到最优解的质量较高,但在高维仍易陷入局部最优.LFPSO 和RPSOLF 则另增加了随机选择策略,在一定概率范围内使用列维飞行策略,在测试函数f1、f2、f6、f8、f12、f13、f14求得了函数最优解,但在高维条件下测试f9、f10时算法仍陷入局部最优.H-PSOSCAC 采用sin、cos 函数控制加速因子的变化,并在使用反向学习初始化种群后,采用改进的速度更新公式,其在优化函数f4时,能够取得较高质量的解,在函数f1、f2、f6、f8、f12、f13、f14同样能求得函数最优解,但在测试函数f9和f10时,算法仍陷入局部最优.

表4 30 维实验结果对比Table 4 Comparison of 30-dimensional test results

为进一步综合评价SWTPSO 的性能,引入Friedman 检验分析所得测试数据,秩均值作为Fri-edman 检验的评价参数,该值越小,表明算法的性能更优.表7 给出各算法数据的Friedman 检验结果,其中SWTPSO 在维度D=30,50,100 维时,所得秩均值最小,故该算法性能更优.H-PSO-SCAC在不同维度下的优化性能较为稳定,RPSOLF、PSOLF、LFPSO 在30 和50 维时优化性能较强,在100 维时优化性能减弱,CLPSO 和DMS-PSO的优化性能随维度的增加逐渐减弱,HPSO-TVAC在30 维的优化性能弱于50 和100 维.

表5 50 维实验结果对比Table 5 Comparison of 50-dimensional test results

表6 100 维实验结果对比Table 6 Comparison of 100-dimensional test results

表6 100 维实验结果对比 (续表)Table 6 Comparison of 100-dimensional test results (continued table)

表7 各PSO 算法的Friedman 检验结果Table 7 Friedman test results of each POS algorithm

4.3 收敛性分析

图5 在维度为30,评估次数20 万次的条件下,对SWTPSO与CLPSO、HPSO-TVAC、DMSPSO、LFPSO、PSOLF、RPSOLF 和H-PSOSCAC,在函数f1～f14优化过程中的收敛性能进行分析,图5 中Fitness 表示算法所得适应值.在单模函数Sphere、Schwefel2.22上,所有算法在Sphere函数上都能够求得较高精度的解,但SWTPSO 求得最优解所用评估次数更少,收敛速度最快.在Schwefel2.2 上,DMS-PSO未能求得最优解,其余算法能求得较高精度的解,但消耗的评估次数比SWTPSO 多.

图5 14 个函数进化曲线图Fig.5 Evolution curves of 14 functions

在单模函数Rosebrock、Quartic 上,H-PSOSCAC 的优化性能突出,能求得比其他算法更高精度的解.SWTPSO 相比其他算法,收敛到较有优势的解且收敛速度较快.

在多模函数Schwefel2.26 上,CLPSO 的优化性能相比其他算法优势明显,所求解的精度最高,收敛速度最快.SWTPSO 对此函数的优化能力相比其他函数较有优势.

在多模函数Rastrigin、Ackley、Griewank 上,SWTPSO、PSOLF、RPSOLF 和H-PSO-SCAC 都能求得最优解,SWTPSO 相比其他算法在收敛速度上,有较大优势.其余算法收敛速度慢,且收敛精度低.

在多模函数Penalized 1、Penalized 2 上,HPSO-SCAC 和PSOLF 收敛精度较低,其他算法能够收敛到较高精度的解,SWTPSO 的收敛速度更快、精度更高.

在旋转函数Rotated Schwefel2.26 上,PSOLF的收敛精度最高,SWTPSO 相比其他算法收敛速度和精度有较大优势.

在旋转函数Rotated Rastrigin、Rotated Ackley、Rotated Griewank 上,SWTPSO、PSOLF、RPSOLF 和H-PSO-SCAC 都能求得最优解,SWTPSO在收敛速度上优势明显,其余算法未能求得最优解.

4.4 与相关新算法比较

4.4.1 在50 维的常规基准函数上的实验结果

为进一步体现SWTPSO 的性能,将其与改进人工蜂群算法Bare bones artificial bee colony algorithm with parameter adaptation and fitnessbased neighborhood (BABC)[35]、Accelerating artificial bee colony algorithm with adaptive local search (AABCLS)[36]、Artificial bee colony algorithm with variable search strategy for continuous optimization (ABCVSS)[37]、Modified Gbestguided artificial bee colony algorithm with new probability model (MPGABC)[38]改进差分算法Differential evolution with composite trial vector generation strategies and control parameters (Co-DE)[39]、Adaptive differential evolution with optional external archive (JADE)[40]、Self-adaptive differential evolution algorithm using population size reduction and three strategies (jDEscop)[41]、Differential evolution algorithm with strategy adaptation for global numerical optimization (Sa-DE)[42],以及高效的进化策略Completely derandomized self-adaptation in evolution strategies(CMAES)[43]比较.实验选取第4.1 节的26 个基准函数,设置维度D=50,评估次数为25 万次,各函数参数设置参照原文献,所得实验结果见表8,表8中MPGABC 的数据来源文献[38],其余各算法的数据参照文献[30].由表8 数据可知,在测试的22个函数中,SWTPSO在f1∼f7、f11∼f13、f18、f20共12 个函数上寻得最优解,且稳定性强,相比其他8 种相关新算法,优势突出.在f9和f15函数上,SWTPSO 所得最优解,算法的稳定性都优于其他算法.在剩余的函数上,SWTPSO 总体优势明显.将8 种新相关算法与SWTPSO 进行Friedman 检验,所得结果见表9.表9 中SWTPSO 所得秩均值最小,表明其更具优势.

4.4.2 在100 维的常规基准函数上的实验结果

将改进的和声搜索算法Global dynamic harmony search algorithm (GDHS)[44]、An improved global-best harmony search algorithm (IGHS)[45]、差分算法Opposition-based differential evolution(ODE)[46]、人工蜂群算法Gbest-guided artificial bee colony algorithm for numerical function opti- mization (GABC)[47]、粒子群Improved global-bestguided particle swarm optimization with learning operation for global optimization problems (IGPSO)[48]和本文算法比较,维度为100,评估次数为50 万次,各算法独立运行50 次,算法所测函数参考文献[48]的表2～ 3,数据来源参考文献[48]中表9～10.实验所得结果见表10,本文算法在f1∼f4、f6、f9、f11、f14∼f15共9 个函数中求得最优解,在f5、f7、f8、f10、f12∼f13共6 个函数中求得最优解优势明显,将6 种算法与SWTPSO 进行Friedman 检验,所得结果见表11,表11 中SWTPSO 所得秩均值最小,表明其更具优势.

表2 Levy 函数上使用不同的f 值寻找全局最优值的迭代次数Table 2 Numbers of iterations for finding the global optimum using different values of f on the Levy function

表2 Levy 函数上使用不同的f 值寻找全局最优值的迭代次数 (续表)Table 2 Numbers of iterations for finding the global optimum using different values of f on the Levy function (continued table)

表9 8 种新相关算法和SWTPSO 的Friedman 测试结果Table 9 Friedman test results of 8 new correlation algorithms and SWTPSO

表10 6 种算法在15 个函数上的比较结果Table 10 Results of the fifteen functions for six algorithms

表10 6 种算法在15 个函数上的比较结果 (续表)Table 10 Results of the fifteen functions for six algorithms (continued table)

表11 6 种算法的Friedman 检验结果Table 11 Friedman test results of 6 algorithms

4.4.3 在30 维的CEC2015 测试集上的实验结果

群智能算法经过近几年的大量研究,绝大多数改进算法对较早版本的标准测试函数有较好优化效果.因此,本文采用新近提出的测试函数CEC2015[49]进一步验证算法的优化性能,表12 为CEC2015函数集.

表12 CEC2015 函数集Table 12 CEC2015 test suite

表12 CEC2015 函数集 (续表)Table 12 CEC2015 test suite (continued table)

SWTPSO 分别与新近提出的萤火虫与粒子群混合优化算法(Fire fly particle swarm optimization,FFPSO)[50],Hybrid particle swarm opti-mization and fire fly (HPSOFF)[51]、A hybrid algorithm combining firefly and particle swarm optimization (HFPSO)[27]比较,维度D=30,评估次数为1500,实验数据和其他参数设置参见文献[27].

表13 为各算法测函数CEC 2015 的实验结果,SWTPSO 在所测15 个函数中,有14 个函数占较大优势.表14 对各算法进行Friedman 检验,SWTPSO 所得秩均值最小,再次验证了本文算法更具优势.

表13 CEC2015 实验结果对比Table 13 Test results comparison of CEC2015 test suite

表14 Friedman 检验结果Table 14 Results of Friedman test

5 结束语

为提高粒子群算法全局最优的质量,增强粒子逃离局部最优的能力,本文提出方波触发机制,在种群初始化后,在前半个方波周期内进行全局勘探,探索更多新解空间区域,在后半个方波周期内转换为局部开发,对该区域进行精细搜索.在下个周期将自动获得与粒子当前位置有关的新速度,使粒子获得的运动步长多变,种群多样性增强.在第3.1 节中通过实验测定出方波触发机制的最佳周期,并在第3.2 节中证明,方波触发机制通过为粒子提供多变步长,提升种群的多样性.在多类型测试函数上与新改进粒子群算法进行30、50、100 维的测试,且与其他新种类智能算法比较,结果都表明SWTPSO优化性能更具优势.

但是,SWTPSO 在高维情况下测试复杂函数时,仍易陷入局部最优.下一步的研究工作可从以下方面展开: 在方波触发机制中,使用标准PSO 公式进行全局勘探,未考虑进化后期标准PSO 中粒子的速度将变小,全局勘探能力减弱的问题,下一步的研究中,可提出改进的更新公式,承担全局勘探任务.