中英小学数学教材中“图形的运动”难度比较研究

俞 蓉，赵世恩

中英小学数学教材中“图形的运动”难度比较研究

俞 蓉1，赵世恩2

（1．中国人民大学附属中学实验小学，北京 100086；2．首都师范大学 初等教育学院，北京 100048）

“图形的运动”（对称、平移、旋转）知识模块是培养学生空间观念的重要组成部分．以中国人教版小学教材和英国NPM教材为比较对象，考察“图形的运动”这部分内容的难度．首先，考虑到学生所处年级对课程难度的影响，对已有课程难度模型做了适当改进；其次，利用改进后的模型对两版教材中这一知识模块进行定量分析与比较，发现英国NPM教材呈现出虽广而深却不难的特点，即课程难度在课程深度与课程广度两维度上更加平衡；最后，在此定量分析结果基础之上，发现英国NPM教材具有渗透性广、辐射性广、递进性强与连贯性强4个特点．

小学数学教材；空间观念；对称；平移；旋转；课程难度；比较研究

1 研究背景

“空间观念”是中国《义务教育数学课程标准（2011年版）》中提出的10个核心概念之一，它与课程标准中的其它几个核心概念“推理能力”“应用意识”“创新意识”之间又有着千丝万缕的联系．可以说，没有空间观念，几乎谈不上任何发明创造，因为许多发明创造所经历的过程基本如此：头脑中构思想象—画出图纸—制作模型—修改图纸—完善模型，而在这个过程中需要不断演算、推理、应用方方面面的知识与技能等，需要思维在抽象与具体、二维平面与三维空间之间不断切换[1]．

小学数学教材中的“图形的运动”知识模块，作为空间观念培养的重要组成部分，它不仅可以为学生今后深入学习平面几何、立体几何等打下必要基础，还可以促进学生思维发展，培养学生用发展、运动的眼光来认识其所生活的空间，因此对小学数学教材中“图形的运动”进行研究具有十分重要的意义．需要说明的是，这里的“图形的运动”指图形的对称、平移与旋转．

关于数学教材难度方面的研究，史宁中等人从课程内容出发，认为影响课程难度的基本要素至少应包括课程深度、课程广度和课程时间这3个方面，由此建立了对课程难度进行量化研究的相关模型理论，并利用这个模型先后比较了1949年以来的两个“教学大纲”和2001年版“课程标准”的课程难度以及国内不同版本初中数学课程标准实验教科书中“三角形”“不等式”“四边形”等课程内容的难度[2-3]．2009年，张维忠等利用此课程难度模型对3个版本的初中数学教材中的“三角形”课程难度和各章后的复习题难度进行定量分析和比较[4]．2010年，李高峰对上述模型进行了有效的修正，并比较了国内几版主要的教材以及《课程标准》的课程难度[5]．2013年，蔡庆有等进一步完善史宁中原有的模型，提出了影响小学数学教材难度的9个因素，并做了探索性和验证性因子分析[6]．上述关于课程难度模型的工作对于教材的定量研究都有着很强的理论价值和指导意义．此外，诸多关于教材内容比较研究的参考文献[7-9]也为研究者提供了一些研究思路与想法．

2 研究设计

2.1 样本选取

这里选取的两套小学一～六年级数学教材分别为人民教育出版社出版的《义务教育教科书数学》（以下简称“人教版”）[10]，英国柯林斯出版社出版的（以下简称UK NPM）[11]．

2.2 研究思路与研究方法

首先，以上述两版教材中“图形的运动”（对称、平移与旋转）相关内容为研究对象，从内容设置与课程难度两个角度进行比较，采取定性描述与定量研究的方法．其中，课程难度分析主要基于史宁中等人提出的关于课程难度模型的相关理论，从课程广度、课程深度与课程时间3个维度来刻画课程难度，但在上述模型基础上做了一些改进，使之更适合刻画和对比分析这两版教材的课程难度．

其次，在定量研究基础之上，再对两版教材在“图形的运动”知识模块中所呈现出的一些特点进行定性分析，并列举从UK NPM教材中所得到的一些启示，以期能为中国小学数学教材的更好建设提供一些参考．

3 研究内容

3.1 内容设置

首先，对人教版教材与UK NPM教材的知识内容设置及其年级分布等相关信息进行梳理（见表1），一方面可以对两版教材中图形的对称、平移、旋转各部分相关知识点及其分布有一个大致了解，另一方面也为后文中进行定量分析提供数据来源．

3.2 课程难度

3.2.1 课程难度模型的简介

表1 两版本教材内容设置

3.2.2 课程难度模型的改进

根据研究对象的特征，研究者对上述已有课程难度模型做如下两条改进．

第一，在模型中考虑学生所处年级对课程难度的影响；

第二，对于课程深度的刻画，将部分继承原模型中所采取的给目标动词赋值的方法，所不同的是，不以目标赋值后的平均值而是取总和进行计算，具体说明如下．

（1）关于年级系数．

在课程难度模型中考虑学生所处年级的原因有两点．

其一，此前学者们基于原课程难度模型所研究的内容主要集中于国内各版教材之间的对比，因而可以忽略课程所分布年级．然而通过观察表1中两版教材内容设置情况，可以发现这两版教材教学内容的年级分布差异较大．

其二，以往的相关研究表明，小学三、四年级学生处于数学学习思维发展的质变或关键转折期，五、六年级一般处于上升发展时期[12]，这与皮亚杰的认知发展阶段理论也吻合，因此课程内容是分布于低段（一～二年级）、中段（三～四年级）还是高段（五～六年级），对于学生而言无疑会产生不同的学习影响．

综上，研究者认为教材内容所分布的年级因素会影响课程深度，故而考虑在课程深度处增加年级系数．

为了能够定量刻画年级因素对课程深度所造成的影响，研究者首先对10名工作10年以上的一线教师进行了口头访谈，初步了解涉及空间观念培养的相同学习内容如果分别放在低段、中段与高段进行学习是否存在差异，结果这些教师一致认为相同学习内容如果安排在中段或高段学习，学生会更容易接受，且中、高段间的差异较低，中段间的差异要小．

为了对模型进行有效的定量分析，研究者设计了相关问卷，对全国（遍布北京、深圳、南京、西安等三十余座城市）143名一线教师进行了调查，题目如下．

如果将低年级空间观念的教学内容深度视为1，那么同样的内容放到中年级和高年级的深度分别是（请选择你认为最合适的选项）：

A. 1/2和1/3 B. 1/2和1/4

C. 1/3和1/4 D. 1/3和1/5

结果显示，低年级、中年级与高年级均执教过的104名教师中，4个选项的人数比例较为接近，差异不大（见图1）．

图1 各学段课程深度差异选项比例分布

最终，对的取值具体如表2，假设中年级学生所感受到的课程深度为低年级学生的一半，而高年级学生所感受到的课程深度为中年级学生的一半，且中、高年级间的差异小于中、低年级间的差异，因而年级系数的值呈递减．

表2 年级系数β取值

（2）关于课程深度的计算．

关于课程深度的刻画，根据史宁中等人的课程难度模型计算方法，可比深度由平均课程深度值除以课程时间而得，但是经研究者计算及参考其他学者的研究，发现将课程目标的总赋值除以知识点的个数以获得平均课程深度值的做法，会导致课程深度的权重显著降低[5]．

此外，课程深度不能简单以知识点的多少来衡量，比如对称模块中，对比观察两版教材的主要内容编排（见表1），对于此概念的联系与运用，人教版教材中未见相应的内容安排，而UK NPM教材中安排了5个知识点的学习，但由于这些知识点的学习基于学生中高年级已学过的三角形、平行线等知识，所以并不能直接定论UK NPM教材的对称模块就比人教版的要深．因此，课程深度不能单纯考虑知识点数量，还需考虑学生所处年级的影响，且年级越高，深度应有所降低．

3.2.3 课程难度的计算

（1）课程深度．

如前所述，研究中采取给两版教材中的目标动词赋值的办法来刻画课程深度，中国课程标准中刻画结果与过程目标的动词有“了解”“理解”“掌握”等[13]，英国国家课程标准中刻画目标的动词有recognize、compare等[14]，具体赋值规定如表3．

表3 课程深度赋值

由此，可对两版教材中的各个知识要点所对应的目标动词进行赋值（见表4）．

（2）课程广度．

课程广度由教材中知识点的数量来刻画．据统计，人教版教材在“图形的运动”部分的课程广度值1=13，UK NPM教材的课程广度值为2=30．

（3）课程时间．

根据人教版教材的教师用书，该教科书在处理这一知识模块时的建议课时共计12课时，故取1=12.0；根据UK NPM教材的教师用书，该教科书在处理这一知识模块时建议课时约为2=34.5．

表4 两版教材课程深度值

将以上课程深度、课程广度、课程时间数据汇总如表5．

表5 两版本课程难度相关因素值

经计算可以得到：

图2 两版教材的课程难度对比

4 研究结果分析

从图2不难发现，UK NPM教材和人教版教材在课程难度的比较方面不受的影响，且不论是侧重课程深度，还是课程广度，UK NPM教材的课程难度都小于人教版教材．

结合研究者所采用的课程难度模型计算式

与上文中的数据信息，对图2做进一步分析．

第一，UK NPM教材在课程深度、课程时间、课程广度这3个方面均显著高于人教版教材，也就是说，从课程难度模型中的单一要素角度来看，UK NPM教材所设置的课程深度、总体知识点数量、安排的课程时间均明显多于人教版教材中相应的设置．

第二，UK NPM课程广度是人教版教材的两倍多，但其可比广度却是人教版教材的81%左右，这说明在同样的课程时间内，人教版教材中编排的知识点数量更多；UK NPM课程深度是人教版教材的2倍多，但其可比深度却是人教版教材的74%左右，这说明人教版教材中知识点的深度更高．

第三，如图2所示，两个教材的课程难度都是关于的递增函数，模型结果恰恰表明：相同的课程时间下，越侧重课程深度，课程难度越大；而越侧重课程广度，则课程难度越小．例如在“平移”模块中，如果将两版教材中的“初步认识平移”的学习目标提升至“掌握平移”，并保持课程时间不变的前提下，那么这部分的课程难度无疑都会增加．反而言之，在相同的课程时间下，如果越侧重课程广度，那么课程难度则会降低．以上与史宁中等人提出课程难度模型时所给出的结论均是相符的[2-3]．

第四，两版教材的课程难度关于的变化率呈现出显著不同：人教版教材课程难度关于的变化率（0.15）是UK NPM教材（0.04）的3.75倍，且UK NPM教材的课程难度和的选取几乎无关（见表6），即无论加权系数更侧重课程深度，还是更侧重课程广度，UK NPM教材的课程难度值的变化幅度明显低于人教版教材．

表6 两版本课程难度值范围

这表明UK NPM教材在课程深度和课程广度这两个维度上更加平衡，在保持课程时间不变的前提下，即便更加侧重课程深度，整个教材的课程难度也不会因此大幅增加；而对于人教版教材，随着课程深度的侧重程度的增加，其课程难度相比之下会产生更加显著的提高，即人教版教材的课程难度更易受课程深度的影响．以“对称”模块为例，从表面上看，似乎UK NPM教材的课程难度要高（见表4），但是由于一方面该版教材所安排的课程时间明显多于人教版教材，且探索、运用等较高层次学习目标的知识点均分布在中高年级（三～六年级），从而使得课程可比深度有所降低．另一方面，该版教材的课程广度也明显高于人教版教材，这在某种程度上也使UK NPM课程难度有所降低．因此，的选取对于UK NPM教材课程难度的影响很小．

综上，两版教材相比之下，UK NPM教材呈现出“广而深却不难”的特点，从所采用的课程难度模型来看，原因在于其课程时间大，知识点分布的年级多且更偏向中高年级，从而导致课程难度降低．

5 一些启示

基于上述定量研究结果，研究者认为有必要进一步分析UK NPM教材如何在课程深度与课程广度之间取得较好的平衡，从而较好地控制课程难度，故而对两版教材中的相关内容框架进行了定性梳理（见图3、图4），发现UK NPM教材除了通过增加课程时间等来降低课程难度之外，更重要的是通过知识间的联系与多种思想方法的渗透等方式来降低教材整体难度，同时还注重拓宽学生知识面与培养学生发散性思维．具体而言，UK NPM教材呈现出以下4个特点，而这些或许也正是值得借鉴之处．

第一，渗透性广．这种渗透性也包含了联系性，一方面它体现在某一较为抽象的概念可以渗透在其它相对浅显直观的概念中．比如旋转的概念，英国NPM教材中没有像人教版教材专辟一节来介绍旋转现象等，而是在学生学习钟表时间时融入了旋转这一概念，并在学生学习角的概念时不断渗透与深化旋转这一概念．另一方面它也表现在潜移默化地融入多种数学思想、数学方法，而这也是当前课程标准中所提倡、所要求的．

第二，辐射性广．此处的辐射性，也可以看作是一种发散性，即某一知识点可以与多个知识点联系到一起，彼此之间关系错综，而发散性思维正是发现复杂关系所必需的．比如UK NPM教材中“图形的运动”不仅和几何与图形领域内部多个知识点之间联系密切，还与代数中的坐标系等知识点联系在一起．如此一来，教材不仅可以使学生较为全面地认识与掌握一个知识点，更重要的是传递学生知识之间是普遍联系的观点，用各种事实来培养学生养成发散性思维方式的习惯．

第三，递进性强．UK NPM教材中每一单元围绕一个主题或专题而设置2～3个由易到难的问题，以探究活动的形式为主，既有独立思考解决部分，也有需要同伴或小组合作的问题．整体而言，每课“花样”不多，但是对一个问题的讨论会比较深入．虽然问题间的层次差异比较明显，但却因逐级而上而不会显得很突兀、让人无从下手．换而言之，该教材更看重的是深层次思考，而非题量多．与此同时，这种层次化的教材设计也能满足处于不同数学水平的学生的需求，“使人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”[13]也正是中国数学课程标准与数学教育中所强调的．

第四，连贯性强．UK NPM教材将这一知识模块集中安排在中高年级进行学习，几乎每学期都会设计相应的单元进行学习，前后内容间会有所衔接但不是单调重复，总会融入其它新的知识点或思想方法，使学生知识面逐步拓宽，学到多样化的数学方法与数学思想，尤其到了高年级后，教材在编排上比较注重为中学阶段的数学学习埋下伏笔，由此可见该教材强调各年级间的数学知识、技能与数学学习经验等多方位的衔接．

图3 人教版教材“图形的运动”内容汇总

图4 英国NPM教材“图形的运动”内容汇总

研究教材对比的目的在于了解不同教材的长处与短处，以便借鉴“他山之石”．当然，教材编排只是其中一个方面，教材对教学的影响程度还取决于教材使用者——教师对教材加工组织及采用的教学方法等多因素的影响．因此，对于教材内容的对比分析，或许也能为教师创造性使用教材提供一个新的视角[15]．

[1] 孙晓天，孔凡哲，刘晓玫．空间观念的内容及意义与培养[J]．数学教育学报，2002，11（2）：50-53．

[2] 史宁中，孔凡哲，李淑文．课程难度模型：我国义务教育几何课程难度的对比[J]．东北师大学报（哲学社会科学版），2005（6）：151-155．

[3] 孔凡哲，史宁中．四边形课程难度的定量分析比较[J]．数学教育学报，2006，15（1）：11-15．

[4] 张维忠，黄丽虹．新教材“三角形”课程难度的对比分析[J]．数学教育学报，2009，18（4）：61-64．

[5] 李高峰．课程难度模型运用中的偏差及其修正——与史宁中教授等商榷[J]．上海教育科研，2010（3）：46-49．

[6] 蔡庆有，邝孔秀，宋乃庆．小学数学教材难度模型研究[J]．教育学报，2013，9（5）：97-105．

[7] 王建波，曹一鸣．中美澳初中数学教材统计内容比较研究[J]．数学教育学报，2016，25（3）：14-19．

[8] 吕世虎，刘鹏飞．《标准》与《大纲》中函数内容难度的比较研究[J]．数学教育学报，2010，19（3）：63-66．

[9] 朱雪芳，叶立军．中国和澳大利亚高中数学微积分教材比较研究[J]．数学教育学报，2014，23（2）：25-27．

[10] 课程教材研究所，小学数学课程教材研究开发中心．义务教育教科书数学（1～6册）[M]．北京：人民教育出版社，2012．

[11] PETER C. Collins new primary maths (1～6) [M]. London, United Kingdom: Harper Collins Publishers, 2008: 56.

[12] 林崇德．发展心理学[M]．2版．北京：人民教育出版社，2009：270-277．

[13] 中华人民共和国教育部．义务教育数学课程标准（2011年版）[M]．北京：北京师范大学出版社，2012：2-73．

[14] Department for Education. The national curriculum in England [EB/OL]. (2013-09-11) [2018-10-11]. https://www. gov.uk/government/publications/national-curriculum-in-england-primary-curriculum.

[15] 王科，汪晓勤．“中美日新”四国高中教材中的数学归纳法比较研究[J]．数学教育学报，2015，24（2）：40-45．

Research on the Comparison of the Difficulty of “ Graphic Motion” in Chinese and British Primary Mathematics Textbooks

YU Rong1, ZHAO Shi-en2

(1. Primary School Affiliated to the High School Affiliated to Renmin University of China, Beijing 100086, China;2. Elementary Education College, Capital Normal University, Beijing 100048, China)

The “graphic motion” (including symmetry, translation and rotation) is an important part of cultivating students’ spatial concept. By comparing the primary school textbooks published respectively by the People’s Education Press of China (PEP) and the Harper Collins Publishers of the UK (NPM), this paper investigates the setting of “graphic motion” in terms of textbook content and the degree of curriculum difficulty. Firstly, in order to compare the two textbooks better, the existing quantitative model of degree of curriculum difficulty is improved appropriately, particularly considering the influence of students’ grades on curriculum difficulty. Secondly, the improved model is used to quantitatively analyze and compare the degree of curriculum difficulty of the two textbooks, and it is found that NPM textbooks are broader and easier than PEP in terms of content, and it reaches a kind of balance between its curriculum depth and curriculum breadth. Finally, a qualitative analysis of the two textbooks shows that the NPM textbook has four characteristics, which could give us some implications in compiling textbooks: broad permeation, broad radiation, progressive and deep coherence.

primary mathematics textbook; spatial concept; symmetry; translation; rotation; the degree of curriculum difficulty; comparison research

G40–059.3

A

1004–9894（2022）06–0080–07

俞蓉，赵世恩．中英小学数学教材中“图形的运动”难度比较研究[J]．数学教育学报，2022，31（6）：80-86．

2022–08–10

北京市海淀区教育科学“十四五”规划课题——基于单元整合的小学分数概念学习现状调查与实践研究（HDGH20211376）

俞蓉（1983—），女，江苏盐城人，硕士生，主要从事小学数学教育与教学研究．

[责任编校：陈汉君、张楠]