顺应学生思维 提升运算素养

江苏省常州市第二中学 (213003) 王 强

解析几何是用代数方法研究几何问题的数学分支科学，既是近现代数学的重要内容，又是高中数学课程的主干内容.平面解析几何综合题是每年高考的必考题型，也是高中数学教学的难点之一，其研究方法是通过建立几何图形的代数方程(或不等式)，实施代数运算，并由代数运算的结果得到几何图形的性质.文[1]指出圆锥曲线中“会而不对，对而不全，全而不优”的现象普遍存在，究其原因是学生害怕其“运算”，具体表现为对运算对象的理解、运算法则的掌握、运算思路的探究、运算程序的设计和运算路径的选择上存在不足.如何提升学生的数学运算能力，我们在平时教学中不能只提供最简便的“标准答案”，而应顺应学生的思维，从学生的解法出发，寻求解决问题的突破口，增强学生的解题自信心，从而提升数学运算核心素养.本文以一道高三模考题为例对此进行探究.

1.问题由来

此题以考查椭圆中的定值问题为载体，其背景熟悉、表达精炼，做为模考卷最后一道压轴题，能较好地甄别学生的数学思维水平和检测学生的数学运算素养.此题提供的标准答案如下：

除了标准答案的求解思路之外，学生普遍还有一种解法如下：

因为式①中“-(2k+3)x1+(1-6k)x2”是个不对称结构，学生遇到此类问题方法设阻，那么该如何解决这种结构？又可以怎样避开这种结构？本文就解法2的后续过程与学生共同探究，将其整理成文字，与读者共享.

2.问题探究

综上，直线EF的方程为y=x+1.

师：我们首先为生2大胆质疑的精神鼓掌.生1利用消元，将x2转化成x1，得到关于x1和的k的方程，通过生2的补充圆满解决了这道题.消元是处理多元问题的基本思维方法，大家还有没有其它想法呢？

师：生3不畏“运算”困难的品质值得我们学习，同时发现减元是处理问题的关键.还有其他不同的算法吗？

3.问题追因

师：我们发现类似“-(2k+3)x1+(1-6k)x2”这种不对称结构，直接用求根公式将x1和x2都转化为k也是一个可行的途径，是什么原因导致不对称结构出现?观察图形，你们有没有新的想法?

师：出现不对称结构主要是用椭圆左右两个顶点造成的.为了解决此类问题应结合椭圆的性质，用同一个点表示相关直线的斜率，自然恰好出现“x1+x2”和“x1x2”恰好配对的情况，直接用韦达定理代入即可，生4给了我们很好的示范.大家还有其它想法吗？

4.结语

《普通高中课程标准(2017年版)》指出：数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养.解析几何是运用代数运算解决几何问题，涉及到“形”与“数”的合理转化，“数”与“式”的灵活整合，能较好的甄别学生解决问题的能力.在平时的教学中，我们不仅应关注标准答案的解法，更应多关注学生的思维解答.顺应学生的思维，就是从学生的视角发现和提出问题，用学生的思维分析和解决问题，创设学生交流的空间表达和交流问题，从而提升学生的数学运算素养.