基于积分分离式PID的三连杆机械臂传动控制方法

陈运胜，孙令真，张创基

(广州华立科技职业学院，广东 广州 511325)

0 引言

三连杆机械臂结构简单、重量较轻，在部分对重量有严格要求的机器人中得到了大范围使用，在航空、水下作业以及其他微重力作业环境内，更是有着不可或缺的重要地位。被动关节的坐标系从广义方面来说属于非循环坐标系。将被动关节调节为自动摆动，三连杆机械臂系统就成为了一个二阶非完整约束系统。由于非完整约束系统的特性，导致一般方法在对其进行传动控制时很难取得理想效果，无法得出规范化、系统化的解决方法。

针对上述存在的问题，王建平等[1]提出利用深度强化学习方法，实现对多连杆机械臂的传动控制；王乐君等[2]通过对振荡衰减轨迹算法的研究，提出一种三连杆欠驱动机械臂控制方法。但上述2种方法对多连杆机械臂各个运动阶段的状态并未进行分析，无法精确掌握机械臂的运动时间，在一定程度上降低了控制效率。基于此，本文提出基于积分分离式PID的三连杆机械臂传动控制方法。

1 三连杆机械臂动力学描述

1.1 动力学模型

将三连杆机械臂看作是一个机械系统[3]，利用拉格朗日方法定义该系统的动力学方程为

(1)

根据式(1)，可得到机械系统动力学模型为

Mθ·+c(θ·,θ)=χ

(2)

M为机械系统惯性矩阵；c(θ·,θ)=c1c2c3T为机械系统中与广义速度有关的项。

三连杆机械臂大多为欠驱动机器人，即关节1、2为主动关节，关节3为被动关节，χ3=0。对机械臂运动过程中产生的摩擦和阻力忽略不计。假设机械系统中3个机械臂的长度分别为K1、K2、K3，质量分别为G1、G2、G3，质心[5]在3个机械臂最顶端的位置上，当前连杆质心距离上一连杆的长度分别为H1、H2、H3，转动惯量分别为A1、A2、A3。三连杆机械臂动力学模型如图1所示。

图1 三连杆机械臂动力学模型

那么，机械系统惯性矩阵中的第3列[6-8]满足机械系统的二阶非完整约束[9-10]，即

(3)

本文的主要工作就是寻找式(3)约束下的三连杆机械臂传动控制方法。由于二阶非完整约束的存在，使得机械臂关节运动空间轨迹与操作空间运动轨迹之间无法形成相互对应的关系，甚至关节速度流形[11-12]与操作速度流形之间的关系也遭到了破坏，导致一般方法很难实现对机械臂的稳定控制。本文通过对机械臂的运动阶段进行划分，运用积分分离式PID算法完成对其的稳定控制。

1.2 运动阶段的划分

由于三连杆机械臂是非线性系统[13-15]中的一类，普通全局控制方法在对其进行控制时常常出现控制精度低、效率低等问题。因此，本文从分阶段控制的角度着手，对机械臂的运动阶段进行划分。

将三连杆机械系统的运动空间定义为δ，将机械臂的运动阶段划分为3个子阶段，即退化阶段δ1、摇起阶段δ2以及平衡阶段δ3。

其中，摇起阶段δ2的定义式为

(4)

平衡阶段δ3的定义式为

(5)

退化阶段δ1的定义式为

δ1=δ-δ2-δ3

(6)

通过上述给出的3个运动阶段定义公式，本文提出三者之间的切换策略：

a.根据三连杆机械臂的初始状态，运用式(4)～式(6)判断机械臂的初始运动阶段。

b.当机械臂满足式(4)条件时，机械系统由退化阶段切换为摇起阶段。

c.当机械臂满足式(5)条件时，机械系统由摇起阶段切换为平衡阶段。

2 基于积分分离式PID的三连杆机械臂传动控制

通过分析三连杆机械臂3个不同的运动状态，本文引入积分分离式PID控制算法，实现精准控制。积分分离式PID控制算法的表达式为

kD(error(k)-error(k-1))/T

(7)

error(k)=d(k)-w(k)为三连杆机械臂实际旋转角度与目标旋转角度之间的误差值，其中，d(k)为目标旋转角度，w(k)为机械臂实际旋转角度，即被控制对象的输出；u(k)为机械臂的角度控制器，即被控对象的输入；kP、kI、kD分别为控制器的比例系数、积分系数以及微分系数；T为控制器采样时间；β、j分别为积分系数的控制系数和约束系数。

积分系数控制系数β的计算式为

(8)

e(k)为控制器采样值；ε为控制系数阈值。

运用积分分离式PID控制算法对三连杆机械臂实现传动控制的步骤为：

a.根据实际作业环境设置合理的阈值ε，并保证ε>0。

b.当e(k)>ε时，不考虑积分系数，采用PD控制(比例-微分控制)实现机械臂的控制。

c.当e(k)≤ε时，也就是e(k)较小的情况下，保留积分系数消除机械系统中的稳态静差，采用PID实现机械臂的控制。

积分分离式PID控制算法流程如图2所示。

图2 积分分离式PID控制算法实现流程

当系统能量达到最大势能时即可进入到平衡阶段，接下来机械臂的运动均为最佳控制。在控制器中，比例系数可以以比例的形式描述控制系统所产生的偏差，在机械系统上就是描述机械臂实际旋转角度与目标旋转角度之间的偏差。不管发生何种程度的偏差，控制器都会产生相应的抑制作用，保证控制偏差不会继续增大。积分系数的主要作用是消除稳态静差，在一定程度上保证算法的控制精度。微分系数主要描述了各类偏差的变化规律，当偏差较大时引入一个预先修正的信号，提高控制器的效率。

3 实验测试

为了验证本文方法在实际应用中是否同样合理有效，与引言中的深度强化学习方法和振荡衰减轨迹算法进行了对比实验测试。实验选用的三连杆机械臂为欠驱动机器人，参数设置如表1所示。

表1 三连杆机械臂参数

3种算法对于三连杆机械臂的传动控制效率对比结果如图3～图5所示。

图3 本文方法控制效率结果

图4 深度强化学习方法控制效率结果

由图3～图5可知，较其他2种方法相比，本文方法达到最大势能所花费的时间最少，对于三连杆机械臂的控制效率最高。这是由于本文方法将机械臂的运动状态分为3个阶段，通过积分分离式PID控

图5 振荡衰减轨迹算法控制效率结果

制算法对每个阶段进行分析，在最短的时间内使机械臂达到了最大势能。

接下来对3种算法的三连杆机械臂控制精度进行对比，结果如图6所示。

图6 3种算法三连杆机械臂控制精度对比结果

由图6可知，对于三连杆机械臂，本文方法有着最高的控制精度，振荡衰减轨迹算法次之、深度强化学习方法最低。不仅如此，在3种算法中，本文方法的控制精度曲线波动幅度最小，随着运动距离的不断增加，误差增长也最为缓慢，而其他2种方法的曲线波动幅度较大，控制过程不稳定。这是因为当机械臂的运动状态发生改变并满足某个条件后，可快速进入到下一个阶段，直至满足平衡阶段条件为止。这个过程本文运用积分分离式PID控制算法，可保证最快的速度和最平稳的转换，同时保证较高的控制精度。

4 结束语

现有多连杆机械臂控制方法中，由于精度低、效率低等问题，导致机器人整体工作效率难以提升，因此，本文提出一种基于积分分离式PID的三连杆机械臂传动控制方法。将机械臂的运动阶段划分为3个阶段，当满足某一阶段条件时进入到该阶段，直至进入到平衡阶段为止。此时机械臂拥有着最大势能，且保持该阶段状态直至作业结束。通过与其他方法展开对比实验测试，本文方法的机械臂传动控制误差小，控制效率高，验证了本文方法的合理性和可行性。