基于两层参数不确定的丝杠刚度可靠性分析*

朱云开

(江苏城市职业学院机电工程学院，南通 226006)

0 引言

滚珠丝杠副作为一种常用的滚动功能部件，因其具有高精度、高可靠性、高效率，而被广泛应用于精密数控机床、核工业、航空航天等领域。刚性作为一项重要的性能指标，对丝杠的精度、寿命、承载能力具有决定性作用。因此，提高滚珠丝杠副的刚度及其可靠性，进而提高国产装备的寿命和可靠性，对于振兴我国制造业，实现制造强国，具有至关重要的意义和价值[1-3]。

滚珠丝杠副刚性一直以来都是研究的重点。如张义民等[4]针对单螺母滚珠丝杠副轴向静刚度进行了分析；刘涛[5]通过建立自适应预紧滚珠丝杠副刚度模型，分析了预紧力与变形之间的关系；VILLEGAS等[6]建立了一种考虑接触应力的新型的滚珠丝杠副优化模型；黄金宝[7]分析了滚珠丝杠副在受轴向载荷时接触角的变化对其影响，建立了双螺母垫片预紧滚珠丝杠副的刚度模型； DADALAU等[8]提出了一种有效的计算滚珠丝杠副刚度的方法。

现阶段，针对滚珠丝杠副的可靠度计算只考虑了参数固有不确定性对丝杠可靠性的影响而未考虑认知不确定性的影响[9]。魏宗平[10]采用区间理论的方法对丝杠的轴向接触静刚度进行了可靠度分析计算，该方法所求的可靠度与我们常规上定义的可靠度不同，其并未建立在概率论公理基础上，因此结果的正确性难以保障。贾大卫等[11]提出了一种基于凸集-概率混合模型的结构可靠性分析法，其本质也是一种区间理论方法。除此之外，针对滚珠丝杠副的可靠性研究方法基于概率抽样的蒙特卡洛仿真法[12]、结构可靠性分析法等[13]。张义民等[4]采用了一次二阶矩法对滚珠丝杠副的轴向静刚度的可靠性进行了研究。陈斌斌[14]也采用了改进的一次二阶矩法对滚珠丝杠副耐磨性和预紧力的可靠性进行了分析研究。

确信可靠度作为一种新的可靠性分析理论，其在应用过程中既考虑了固有不确定性，也考虑了认知不确定性。LIU[15]首次提出了确信可靠度的概念，并建立了确信可靠度度量体系。范梦飞等[16]提出了基于FMEA的认知不确定因子确定方法。ZENG等[17]在此基础上更加系统的提出了设计裕量、随机不确定因子和认知不确定因子的确定方法。于格等[18]则采用确信可靠性理论对齿轮的可靠性进行了分析计算。龚梦辉等[9]对双螺母滚珠丝杠副的轴向静刚度进行分析时也采用了基于量化随机不确定因子和认知不确定因子的方法。

本文基于确信可靠性理论，提出了一种基于两层参数不确定的可靠性分析方法，针对不确定变量函数为非显性函数而无法求出其不确定分布的现象，提出了一种计算可靠度的两层参数不确定算法，实现对滚珠丝杠副静刚度的可靠性评估。

1 滚珠丝杠副静刚度建模

滚珠丝杠副静刚度是指其抵抗变形的能力，它表示在载荷作用下，产生单位变形量所需的载荷，即外载荷与变形量的比值即为滚珠丝杠副静刚度。因此，可以在保持载荷为定值的情况下，以其轴向接触变形量的大小来反映其刚度大小。

图1 滚珠丝杠副变形示意图

根据文献[4]，在弹性范围内，单螺母滚珠丝杠副的轴向接触变形量δa为：

(1)

式中，γ为滚珠丝杠副的导程角；i为滚珠循环圈数；z为单圈承载滚珠数；E′为当量杨氏模量；∑ρs为滚珠与丝杠滚道接触区域的主曲率和；∑ρn为滚珠与螺母滚道接触区域的主曲率之和。

(2)

(3)

式中，Ph为丝杠导程；Dpw为丝杠公称直径；K(es)、K(en)分别为与椭圆偏心率es、en相关的第一类完全椭圆积分；mas、man分别为接触椭圆长轴系数。

根据文献[10]有：

(4)

式中，k为椭圆率；L(es)、L(en)分别为第二类完全椭圆积分。

为简化计算，可通过线性回归法计算得到上述参数[10]：

(5)

其中，对于丝杠：

(6)

对于螺母：

(7)

式中，dw为滚珠直径；α为接触角；f为适应比。

2 滚珠丝杠副确信可靠性建模

从上述模型中可以看出，滚珠丝杠副静刚度会受接触角α、导程角γ、节圆直径Dpw、滚珠直径dw、轴向载荷Fa、适应比f等参数的影响，因此，可靠度指标也会受这些参数的影响。在经典的可靠性分析中，通常认为这些参数的概率分布是确定的，即这些参数的概率分布中的参数为确定值，并可以通过参数估计加以确定。但是实际上，通过实验获取足够多的数据进行估计是较为困难的并且不太现实的，也就是说，这些参数的分布参数会受到认知不确定性的影响，因此不能简单地将其看作定值[13]，而如何对认知不确定性进行量化是解决本问题的关键。

2.1 不确定理论基础

不确定理论是LIU[15]提出来的一种新的公理化理论，被认为是描述认知不确定性更为合理的数学理论。概率论中，通常用概率表征某个事件发生的可能性，而在不确定性理论中，采用不确定测度来反映人们对某个事件的主观确信程度，所不同的是，某件事件确定后其概率一般是确定的，而不确定测度与人的知识有关，即若人们对某件事情的了解程度发生了改变，不确定测度也会发生改变。

在不确定理论中，通过不确定分布来描述不确定变量的确信程度，不确定变量ξ的不确定分布为：

Φ(x)=M{ξ≤x}

(8)

若ξ为线性不确定变量，即ξ～L(a,b)，其不确定分布为：

(9)

若ξ为正态不确定变量，即ξ～N(e,σ)，其不确定分布为：

(10)

滚珠丝杠副轴向静刚度受不确定参数的影响，因此也为不确定变量，根据文献[13]可知，若产品的性能裕量模型为gm(x)，则其确信可靠度为：

RB=Pr{gm(x)>0}

(11)

从上式可见，可靠度也为性能裕量的函数，因此，确信可靠度也是不确定变量。根据不确定理论，当可靠性指标RB为分布参数Θ的单调函数时，可通过对逆不确定分布求反得到其不确定分布[13]；而当可靠性指标RB不是Θ的单调函数或RB与Θ的关系不是显函数时，是难以获得RB准确的不确定分布的。针对这种情况，ZHU[19]基于最大不确定性原理提出了一种不确定仿真方法，通过该方法可以求出不确定分布的上下界。其求解原理是：

对于一个常规不确定向量ξ=(ξ1,ξ2,…,ξn)，其函数f(ξ1,ξ2,…,ξn)的不确定向量为：

(12)

对于式中每个Mk{Λk}都可通过式(13)求出：

(13)

2.2 滚珠丝杠副静刚度可靠性建模

采用弹性变形量定义的轴向静刚度为望小性能参数[9]，因此，根据建立的滚珠丝杠副静刚度模型建立性能裕量模型：

(14)

式中，x为轴向载荷Fa、丝杠节圆直径Dpw、滚珠直径dw、适应比f、接触角α、导程角γ组成的性能参数向量；δa0为允许的最大轴向变形量。

根据确信可靠度的定义，轴向静刚度的确信可靠度为：

R=Pr{m>0}

(15)

上文指出，轴向静刚度的确信可靠度受轴向载荷Fa、丝杠节圆直径Dpw、滚珠直径dw、适应比f、接触角α、导程角γ的影响，为不确定变量，因此，滚珠丝杠副轴向静刚度的可靠度变成了不确定测度。由于确信可靠度函数并非分布参数的严格单调函数，因此难以求出准确的不确定分布，只能采用不确定仿真的方法。根据式(12)，提出了一种可以求出轴向静刚度可靠度的不确定分布上下界的两层参数不确定算法。

2.3 两层参数不确定分析算法

根据不确定仿真方法，提出如下两层参数不确定算法，通过该方法可以实现考虑两层参数不确定性的滚珠丝杠副轴向静刚度确信可靠度计算。

步骤1：确定滚珠丝杠副轴向静刚度模型中各参数服从的概率分布xi～Qi(ai,bi)(i=1,2,…,6分别代表6个影响参数)及分布参数的不确定分布ai～Ri(ci,di)，其中xi分别代表轴向载荷Fa、丝杠节圆直径Dpw、滚珠直径dw、适应比f、接触角α、导程角γ；

(d)计算：

(16)

式中，“Λ”为取小符号，即取其中最小值；

(g)不确定变量RB<ξ的不确定测度的上下界ΨU(RB)、ΨL(RB)分别为：

(17)

步骤6：令ξ=ξ+Δξ，重复步骤5，求取不同确信可靠度的不确定测度的上下界，直至ξ=1，其中Δξ为预设的取值间隔。

通过这个算法，我们可以得到不同可靠度RB取值时的不确定分布的上下界ΨU(RB)，ΨL(RB)。根据定义，滚珠丝杠副静刚度的平均确信可靠度为：

(18)

考虑到RB的分布通过仿真获得，数据为离散型，则平均确信可靠度等效为：

(19)

式中，ΔRBi为取值的间隔即为Δξ；ΨU(RBi)、ΨL(RBi)分别为第i次迭代得到的确信可靠度RBi对应的上下界；n为迭代的总次数。

3 案例分析

本次计算采用4010型号滚珠丝杠副，相关参数如表1和表2所示，假设滚珠丝杠副的节圆直径Dpw、接触角α、导程角γ、适应比f、滚珠直径dw、轴向载荷Fa等参数服从正态分布，且参数的均值服从不确定分布，方差确定，为第一层参数，参数的均值服从正态不确定分布，为第二层参数，其中，第二层中设置1%的不确定性，两层参数的不确定性如表1所示。

表1 滚珠丝杠副参数的双层不确定性表征

其他结构参数、材料参数及工况参数如表2所示。

表2 结构参数、材料参数及工况参数表

仿真计算中，随机生成不确定数组的组数N=200，蒙特卡洛法抽样次数为100 000次，求滚珠丝杠副轴向静刚度可靠性的不确定分布时，ξ的取值范围为(0,1)，取值间隔Δγ=0.000 5，轴向变形量性能阈值为0.006 mm。求得轴向静刚度确信可靠度的不确定分布的上下界如图2所示。

图2 轴向静刚度可靠度不确定分布图

从图2中可以看出，滚珠丝杠副轴向静刚度可靠度的不确定分布上下界都为阶梯递增，通过式(19)算得考虑参数的不确定性时滚珠丝杠副平均信度可靠度为0.929 003，而不考虑其参数的不确定性，即通过蒙特卡洛法算得其概率可靠度为0.960 710，可见，参数的不确定性对滚珠丝杠副的可靠性有较大影响，其参数的不确定性，会导致滚珠丝杠副可靠度显著降低。

4 轴向静刚度可靠性分析

上文通过不确定仿真的方法求出了滚珠丝杠副轴向静刚度可靠度的不确定分布的上下限，计算了其平均信度可靠度，计算结果表明，滚珠丝杠副的参数的不确定性对于其可靠度提升具有较大影响，为提高滚珠丝杠副可靠度，保证滚珠丝杠副的可靠度满足使用要求，必须在一定程度上降低各参数的不确定性。因此研究各参数的不确定性对滚珠丝杠副轴向静刚度可靠度的影响程度十分必要。

上文提到，滚珠丝杠副的轴向静刚度可靠度主要受轴向载荷Fa、丝杠节圆直径Dpw、丝杠和螺母滚道适应比f、接触角α、导程角γ、滚珠直径dw等参数的影响，为研究这些参数的不确定性对滚珠丝杠副轴向静刚度的影响程度，采用上文给出的两层参数不确定仿真算法，考虑单变量不确定性并求取滚珠丝杠轴向静刚度可靠度的不确定分布，通过与不考虑不确定性的可靠度值进行对比，从而在一定程度上判断各参数的影响程度。图3为考虑不同参数的不确定性时滚珠丝杠副可靠度的不确定分布图。

(a) 考虑轴向载荷不确定性的可靠度不确定分布 (b) 考虑节圆直径不确定性的可靠度不确定分布

(c) 考虑接触角不确定性的可靠度不确定分布 (d) 考虑适应比不确定性的可靠度不确定分布

(e) 考虑导程角不确定性的可靠度不确定分布 (f) 考虑滚珠直径不确定性的可靠度不确定分布

从上图中可以看出相对于考虑全部参数的不确定性，只考虑单参数后的可靠度不确定分布图，其曲线走势更加陡峭，说明考虑的不确定因素越多，对滚珠丝杠副的可靠度影响越明显，滚珠丝杠副的可靠性越难控制。从不确定性分布的走势看，虽然各参数不确定分布的变化幅度各有差异，但是近似呈现正态不确定分布趋势，这是因为，影响滚珠丝杠副轴向静刚度的各参数假定为正态不确定变量，由于可靠度是这些参数的函数，根据定义，可靠度也为正态不确定变量，其分布也自然是正态不确定分布。从不确定分布的变化幅度看，考虑节圆直径、导程角的不确定性时其走势相对更加陡峭，其次是考虑轴向载荷、接触角、滚珠直径的不确定性，考虑接触角的不确定性时其走势最平缓，说明，在节圆直径、导程角等因素的不确定影响下，滚珠丝杠副的可靠度分布较为集中，在适应比的不确定性影响下，滚珠丝杠副的可靠度分布较为分散，因此，相对于节圆直径、导程角等因素，适应比的不确定性对滚珠丝杠副的可靠度的影响更大。

为更加直观的表征各参数不确定性对滚珠丝杠副静刚度可靠度的影响程度，基于仿真结果和式求得考虑各参数的不确定性时滚珠丝杠副平均信度可靠度如表3所示。

表3 各参数不确定性的平均信度可靠度

从表3可以看出，考虑多参数的不确定性后滚珠丝杠副的可靠度比不考虑参数的不确定性以及考虑单个参数的不确定性时都要小，说明参数的不确定性的存在不利于滚珠丝杠副可靠性提升。在影响滚珠丝杠副轴向静刚度可靠性的各参数中，考虑节圆直径的不确定性时，其平均信度可靠度最大，相对于不考虑参数不确定性时的可靠度下降幅度最小，说明，节圆直径的不确定性对于滚珠丝杠副轴向静刚度可靠度的影响最小，其次是接触角、导程角、滚珠直径、轴向载荷，而考虑适应比的不确定性时，可靠度最小，下降幅度最大，可见适应比的不确定性对滚珠丝杠副的可靠性影响最大。因此，为提高滚珠丝杠副的轴向静刚度，首先必须降低接触角和适应比的不确定性，通过改良工艺来保证滚珠丝杠副的接触角和适应比满足设计要求，其次是提高加工精度，保证节圆直径、导程的可靠，降低加工误差。此外，由于滚珠直径的不确定性也对丝杠的可靠性有较大影响，因此在选型和设计阶段也应尽量降低其不确定性。

为研究不确定性的大小对滚珠丝杠副轴向静刚度可靠度的影响，现以仅考虑丝杠节圆直径的不确定性为例，进行仿真分析，通过设置不同比例的不确定性来表征不确定性大小，比例分别为1%、3%、5%、7%、9%。为了更直观的了解参数不确定度的大小对滚珠丝杠副轴向静刚度可靠度的影响，将仿真数据采用式(19)进行计算，获得在不同不确定度下滚珠丝杠副轴向静刚度可靠度值如表4所示。从表4中数据可以看出，随着不确定度的增大，轴向静刚度可靠度会越来越小。

表4 不同不确定度下确信可靠度值

5 结论

本文针对滚珠丝杠副轴向静刚度可靠度进行了分析。针对在分析可靠性时因人们认知不足导致的认知不确定性，本文引入不确定理论和确信可靠度理论对认知不确定性进行量化，提出了滚珠丝杠副轴向静刚度可靠度分析模型，针对可靠度不确定分布难以精确计算的问题，基于最大不确定性原理提出了基于两层参数不确定的可靠度计算算法。通过案例分析计算出轴向静刚度可靠度，最后分析了各参数及不同不确定度对可靠度的影响，得出以下结论：

(1)考虑了参数的不确定性后，滚珠丝杠副轴向静刚度可靠度显著降低，即参数的不确定性会降低产品的可靠度，不利于产品的可靠性提升；

(2)考虑多个参数的不确定性比只考虑单个因素的不确定性的可靠度更低，说明，各参数的不确定性对于产品的可靠度影响是叠加的，即参数的不确定性越多，越不利于产品的可靠性提升；

(3)在影响滚珠丝杠副的轴向静刚度可靠度的因素中，节圆直径的不确定性影响最小，接触角、导程角、滚珠直径、轴向载荷，而适应比的影响最大。因此，应改良加工工艺，减少滚珠丝杠副的接触角误差和适应比误差；

(4)不确定度越大，可靠性越小，因此，在设计制造环节应尽量减小各参数的不确定度。