解题反思下的一题多变策略研究

郝晓鑫 佟红新

“双减”政策明确提出全面压减作业总量和时长的要求，即在保证学生学业质量的前提下，减轻学生过重的课业负担。对于数学学科来说，提高数学解题效益有助于实现“双减”背景下的数学高效学习目标。具体来说，解题反思通过对解题过程和结果的再次思考和审视，重新剖析解题过程中所涉及的数学知识、解题策略和思想方法，可使学生抓住问题的实质，加深学生对数学本质的认识，进而提高解题效益。一题多变则是解题反思的重要组成部分，可以使学生对简单的问题进行多方位、多角度的探索尝试，在这一基础上，让学生解决更多新问题，进而拓展学生思维能力[1]。同时，一题多变还能帮助学生拓宽思路，构建知识网络，形成知识体系[2]。因此，一题多变值得数学教师在解题教学中进行尝试与探索。

一、解题反思与一题多变的五种策略

元认知理论提出元认知就是对认知的认知，其实质是认知个体对自身认知活动的自我意识和自我调节。从元认知理论的角度理解反思的涵义，就是认知者对自身思维活动过程和结果的再次思考和审视。解题反思就是以“波利亚如何解题表中第四个阶段——回顾”为切入点进行的对解题过程和结果的再次思考和审视。小学数学解题反思研究将“元认知理论”和“波利亚如何解题表”结合，确定了小学数学解题反思的七个维度——明确任务、预测、监控、修正、回顾、进一步探讨、评价（见图1）。

图1 所示的是小学数学解题反思表中的三大部分及七个维度。从表中可以看出“进一步探讨”是总结部分的一个重要维度。“进一步探讨”主要是通过将数学题目进行拓展来加深理解，它源于“波利亚怎样解题表”第二步中的四个问题：你能否想到一道更容易着手的相关题目、一道更为普遍化的题目、一道更为特殊的题目、一道类似的题目。将这四个问题与元认知内涵整合成“进一步探讨”这个反思维度。

图1

一题多变是“进一步探讨”维度重要的研究内容。学生在一题多变的探索中及时反思，能获得全面思考的能力，这也是促使学生发现、认识并建构新知的重要途径之一[3]。因此，一题多变也是解题反思重要的一环。

将“进一步探讨”维度细化成五条启发式提示语。并由此提炼出了一题多变的五种策略，如图2 所示：已知未知互换法，条件局部变更法，类似题目拓展法，特殊取值简易法，同类题目关联法等五种策略。

图2

二、一题多变策略的实例说明

一题多变指通过一道题目衍生多种变式，在此过程中发现题目的特点，寻找题目间的联系，明晰题目的结构，增长解题见识，进而达到多变生巧的目的。需要注意的是在一道题目中可以综合运用多种策略。此外，学生通过观察变式与原题的不同，分析其解答方法，在这种对比分析练习中，能够加深对不同数学题型、不同数学概念的理解与应用[4]。因此，在题目变式以后，都要进行题组反思，帮助学生进一步深化和理解。

（一）已知未知互换法

已知未知互换法就是将题目中的一个已知量变成未知量，原来的未知量变成已知量。

例1 有5 件衣服，每件衣服上钉6 粒扣子，一共需要几粒扣子？请你在图中画一画。

解析 图3 所示的是题目示意图。5 件衣服表示“份数”是5，6 粒扣子表示“每份的个数”是6，即5 个6。根据“总数=份数×每份的个数”能够得到“总数”是30。

图3

变式1 有30 粒扣子，平均钉在5 件衣服上，每件衣服上钉几粒？

解析 图4 所示的是变式题目示意图。平均的意思是使每件衣服上的扣子数相同。平均分配用除法计算。5 件衣服表示“份数”是5。30 粒扣子表示“总数”是30。每件衣服上的扣子数表示“每份的个数”。根据“每份的个数=总数÷份数”能够得到每件衣服上钉6 粒扣子。

图4

变式2 有30 粒扣子，每件衣服上钉6 粒扣子，能钉在几件衣服上？请你在图中圈一圈。

解析 图5 为题目解析图。30 粒扣子表示“总数”是30。6 粒扣子表示“每份的个数”是6。衣服数量表示“份数”。根据“份数=总数÷每份的个数”求出能钉在5 件衣服上。

图5

【题组反思】三道题目的共性是：总数都是30，份数都是5，每份的个数都是6。将两个已知量分别与未知量进行互换，变出两道新题目。在已知量与未知量互换的过程中，有助于学生对分析法解题和综合法解题有更多的感悟。分析法是从未知量入手，根据条件，逆推到已知量。综合法解题则是指从已知量出发，经过运算，进而求出未知量。经过已知未知互换，可以让只会利用一种方法分析问题的学生，拓展自己的思维方式。当后续遇到更复杂的问题时，学生便能运用两种解题方式分析问题，甚至可以将两种方法结合运用。

（二）条件局部变更法

改变条件中的关键词，使之变成一道新题目。在实际操作中可以改变已知条件中的关键词或未知条件中的关键词。

例2 绿化队星期一植树147 棵，星期二至星期五每天植树185 棵。这一周绿化队一共植树多少棵？

解析 已知条件为“星期一植树147 棵”“星期二至星期五每天植树185 棵”，未知条件为“一周共植树多少棵”。有一个147 棵，有4 个185 棵，通过列式147+185+185+185 +185=887（棵），或者147+185×4=887（棵），可得出这一周绿化队一共植树887 棵。

如图6 所示的是在原题目的基础上，对已知条件“星期二至星期五每天植树185 棵”，未知条件“一周共植树多少棵”分别进行改变，使之变成新的题目。下面展示从条件中改变关键词，进而变成的新题目。

图6

变式 绿化队星期一植树147 棵，星期二和星期五每天植树185 棵。这一周绿化队一共植树多少棵？

解析 变式将条件“星期二至星期五”改成“星期二和星期五”。通过关键字的改变进而拓展变化。“至”意味着工作天数是4 天，包含星期二、星期三、星期四、星期五。“和”意味着工作天数是2 天，包含星期二和星期五。通过列式147+185 × 2=517（棵），能得出这一周绿化队一共植树517 棵。

【题组反思】在改变条件时可以通过改变关键字词的方式进行。如“星期二至星期五每天植树185 棵”，可以将“至”改成“和”，还可以将“每天”改成“一共”，学生在对比中更加深刻体会到关键字词的重要性，培养学生读题时认真圈画关键字词的好习惯。

（三）类似题目拓展法

类似题目拓展法指由这道题目联想到之前做过的一道题目。可能是情境相似，或者是解题方法相似，亦或者是问题相同等。

例3 小明游泳游了8 个来回，共游了400米，游泳池长多少米?

解析 图7 所示的是8 个来回的示意图。列式400 ÷ 8=50（米），可求出一个来回游的米数，根据一个来回游的米数相当于2 个游泳池的长度，50 ÷ 2=25（米），可以求出游泳池的长度是25 米。

图7

变式 乐乐买了2 副球拍，一共花了160 元，一个球拍多少元？

解析 变式中的“一副”与原题中的“来回”有异曲同工之处，即都是指所求内容的2倍。先通过160 ÷ 2=80（元）求出一副球拍的价钱，再列式80 ÷ 2=40（元），求出一个球拍40 元。

【题组反思】如果所求解问题的结构与某一熟悉的数学问题的结构类似，可以将解决问题的条件或结论与这一熟悉的数学问题相类比，通过猜测、进行适当的代换或直接利用这个熟悉的数学问题的解决办法，有可能使所求解问题获得解决。这就是类似题目拓展法的运用路径。要求学生在已经做过的题目当中搜索与之有联系的题目，相当于一个反思的过程。在将题目之间建立联系的过程中，加深对题目的理解，促进了学生解题反思与整合的能力的发展。

（四）特殊取值简易法

特殊取值简易法指通过改变题目中的数据，使题目变简单，学生能够更加轻松明了地理解和掌握解题方法。

例4 三辆卡车装货，A 卡车需要3 小时装完，B 卡车需要2 小时装完，C 卡车需要1 小时装完。要使3 辆卡车等候时间的总和最少，应该怎样安排？

解析 如表1 所示的是所有安排方案及等待时长。三辆卡车装货，A 卡车需要的时间＞B 卡车需要的时间＞C 卡车需要的时间。要使3 辆车等候时间总和最少，应该优先安排用时少的车。即要先安排C 卡车，接着安排B 卡车，最后安排A 卡车，能使3 辆车等候时间总和最少。

表1

变式 三辆卡车装货，A 卡车需要100 小时装完，B 卡车需要1 小时装完，C 卡车需要1 分钟装完。在这种情况下，要使3 辆车等候时间总和最少，应该怎样安排？

解析 变式中给三辆车设定了一些较为特殊的数据。目的是进一步理解这类题目的解决方法。通过设定特殊数据之间夸张的对比，学生更容易理解为什么要优先安排用时少的车辆。即先安排C 卡车，接着安排B 卡车，最后安排A 卡车。

【题组反思】特殊取值简易法主要用在两个方面。一是特殊取值简易法在选择题中的运用，主要是将满足条件的特殊值、特殊例子、特殊图形等代入题干或结论中，排除发生矛盾的选项，确定正确的答案，从而简化题目，节省时间。二是在情境解答题中运用极端原理，所谓极端原理是指直接抓住全体对象中的极端情形或它们所具有的某种极端性质加以研究、解决问题的思想方法。通过特殊取值进行变式能帮助学生进一步理解解题方法。

（五）同类题目关联法

同类题目关联法指从一道题到同类题，从同类型的多道题目中找到这类题目共性的解题方法，再将一类题目的解题方法用到一道题目的解题过程中。帮助学生更加深入地分析这类题目的特征与解题通法。

例5 一个足球60 元，买一个足球和4 个羽毛球共花了76 元，一个羽毛球多少元？

解析 图8 为题目解析图。可先求出4 个羽毛球的价钱，然后再求出一个羽毛球的价钱。通过列式（76-60）÷4=4（元），能得出一个羽毛球4 元。

图8

例题是先通过总量和其中一部分的量，求出另一部分的量，然后再对另一部分进行分配。为了学生能够进一步把控这一类题目的共性，可梳理同类题目，现在以同类题目中的一道题目为例进行展示。

变式 芳芳有风景邮票和动物邮票共38 张，其中动物邮票有20 张。她把动物邮票放在3 页里，平均每页放多少张？

解析 先求出动物邮票有多少张，再平均放到3 页里，通过算式（38-20）÷3=6（张），可得出平均每页放6 张。

【题组反思】通过同类题目关联法，能让学生掌握这一类题目的解题结构。从特殊到一般，从散点到网络，从知识碎片到清晰的知识框架，便于学生把控各类题目的结构。如图9所示的就是例5 这类题目的结构图。

图9

三、一题多变策略教学的意义

按照波利亚的观点，“在数学中，才能比仅仅掌握一些知识重要的多。数学才能就是解题能力——不仅能解决一般的问题，而且能解决需要某种程度的独立思考、判断力、独创性和想象力的问题。”[5]所以，数学教学的首要任务就在于加强学生的解题能力。而一题多变正是提高学生解题能力的一种具体路径。它是在学生得出解题结果之后进一步探讨的内容，看似拉长了解题的战线，实则提高了解题的效益，将学生从题海战术中解救出来。但其最重要的价值还在于发展学生数学解题思维，提升数学解题能力。

（一）一题多变能发展学生数学解题思维的广阔性

学生掌握了一题多变的方法，解决了做完题目后“进一步探讨”中探讨哪些内容，如何探讨的问题。通过运用一题多变的多种方法，学生能极大挖掘一道题目中蕴含的知识、方法和策略，提高解题效益。学生将一个个的点拓展成一个面，积累了更多的数学解题活动经验，开阔了解题视野，活化了所学的知识，培养学生的发散、创新思维能力，进而培养了学生解题思维的广阔性。

（二）一题多变能发展学生数学解题思维的灵活性

目前，创造性思维仍然是学生的薄弱之处，学生解题思维的灵活性是创造性思维的基础。可见，学生解题灵活性对于学生来讲十分重要。学生在经历一题多变的过程中，能够深入探究数学解题活动中所牵涉到的解题策略和思想方法，提高学生综合分析能力，使学生的思维逐渐朝着多开端、灵活、精细和新颖的方向发展。得到通过一题带活一片的效果，进而培养学生解题思维的灵活性。

（三）一题多变能发展学生数学解题思维的深刻性

一题多变是解题反思中重要的一部分内容。相比解出题目就停止，一题多变正是帮助学生将解题继续深入下去。一题多变过程中，学生经历了由知识到结构的蜕变。通过一题多变，学生在变化中建构，在建构中发展，促使学生形成一个系统性强，相互联系的数学认知结构。进而培养了学生解题思维的深刻性。