债券资本成本计算研究

曾爱兵 （广东白云学院 广东广州 510450）

一、问题提出

根据成本的定义可以给出资本成本的定义式：资本成本=筹资过程中各类实际用资费用/取得的筹资本金×100%。根据成本的定义，公式中的实际用资费用，既应该包括实际需要支付的利息，也应该包括发行费用等为筹资发生的一切实际支付的费用。

常见的债券资本成本计算公式为：资本成本=筹资过程中支付的利息/（取得的筹资本金-发行费用）×100%。该公式和优先股资本成本的计算公式在形式上是一致的，优先股资本成本的计算公式在很多教材上都有推导过程，较为可靠，但用于债券资本成本的计算时就需要保持谨慎，这是因为债券毕竟和优先股不同，债券一般是有限期的，而优先股则是无限期的，二者的计算公式应该有区别。为论述方便，本文将该公式称为借用优先股资本成本计算公式。该公式从本金中扣除发行费用的做法看似合理，但不符合成本的定义，因为发行费用应该也在成本的范畴内，并非减少了本金，本文首先分析从本金中扣除发行费用是否合理及适用情形、造成的差异是否能接受等问题。

鉴于以上对计算债券资本成本定义式和借用优先股资本成本计算公式的疑问，本文将两个公式分别用于计算短期债券和长期债券的资本成本，比较分析两个公式计算结果的差异，进一步分析哪个计算公式比较合理。

二、短期债券资本成本计算公式

根据定义式，可以给出短期债券资本成本计算公式。假设短期债券的发行价格为S，面值为M，发行费用为F，票面利率为i。根据定义式，在不考虑所得税的情况下，短期债券资本成本的计算公式应该是（M×i+F）/M×100%。但很多教材给出的短期债券资本成本计算公式和优先股资本成本的计算公式是一样的，即M×i/（M-F）×100%。通过对比以上两个公式的差异可以发现，借用优先股资本成本公式进行计算时，短期债务的成本一般会被低估。原因如下：

由于发行费用为0时两个公式一致，假设发行费用大于0，用（M×i+F）/M×100%除以M×i/（M-F）×100%，结 果 可 以 整 理 为（M2×i-M×i×F+M×F-F2）/（M2×i），只要证明上式计算结果大于1，就能得出借用优先股资本成本计算公式资本成本会被低估的结论。令（M2×i-M×I×F+M×F-F2）/（M2×i）＞1，则问题转化为证明M-M×i-F大于0，即证明M＞M×i+F，也就是（M×i+F）/M×100%＜100%。一般来说，因为年利息M×i与发行费F合计不会超过本金M，上式通常是成立的。以上分析过程说明，当按定义式计算的短期债券资本成本低于100%时，如果借用优先股资本成本计算公式，会导致短期债券成本被低估。

举例验证：假设企业发行短期债券100万元，年利息为4万元，发行费用为1万元。则根据定义式计算的资本成本为：（4+1）/100×100%=5%。如果借用优先股资本成本计算公式，将发行费用抵减本金，则其资本成本为：4/（100-1）×100%=4.04%，二者的差异率为（5%-4.04%）/5%=19.2%。可见，将发行费用从本金中扣除来计算短期债券资本成本会导致短期债券资本成本被低估，而且被低估的程度比较高。出现以上差异的原因是由于将发行费用直接从本金中扣除不符合资本成本的定义。只有在借款时预先从本金中扣除发行费用的情况下，该公式才被认为是比较合理的。

由于长期债券资本成本的计算也常借用优先股资本成本计算公式，下面进一步分析其与根据资本成本定义式的计算结果相比会有怎样的差异，出现差异的原因是什么，应该如何计算才更准确，计算时需要注意什么问题。

三、长期债券资本成本的计算公式

长期债券存在多种类型，为方便说明问题，本文选取最常见的债券类型，即固定利率、每年年底计算并支付利息、到期归还本金的债券作为研究对象。为论述方便，本文称此种债券为典型债券。长期债券资本成本的计算期限长，涉及时间价值，因此比短期债券资本成本的计算要复杂得多。长期债券资本成本的计算也存在一定的不合理之处，下面分四个步骤进行分析，可以看到这四个步骤中，前一个是后一个的基础，每一步都揭示出长期债券资本成本的计算需要注意的问题。

（一）根据典型债券资本成本的定义式给出的估值模型

典型债券历年的利息支付是固定的，而且期限有限，要根据资本成本的定义计算年资本成本，可以先将发行费用转换为年金，然后和利息合并。这样做的依据就是在分析短期债券资本成本的计算时已经明确的观点：发行费用属于成本的一部分，不能从本金中减除。

假设长期债券分期付息、到期还本，其发行价格为S，面值为M，期限为n，发行费用为f，票面利率为i，每年付息一次，不考虑所得税，则根据资本成本的定义，即按照借款的成本中不包括归还的本金的做法，其资本成本的计算公式可分为平价发行、折价发行、溢价发行三种情形。

第一种情形：平价发行时，M=S。在此情形下，如果年资本成本为r，则发行费用f年金化后为f/（P/A，r，n），相当于年资本成本为M×i+f/（P/A，r，n），于是得出以下等式：[M×i+f/（P/A，r，n）]/S=r。此式等价变换得到：M×i×（P/A，r，n）+f=S×r×（P/A，r，n），因为（P/A，r，n）=[1-（1+r）^（-n）]/r，将其代入上式，整理后可得出：M×i×（P/A，r，n）+S×[（1+r）^（-n）]）=S-f，即 S-f=M×i×（P/A，r，n）+S×（P/F，r，n），S-f=M×i×（P/A，r，n）+M×（P/F，r，n）。这正是考虑了发行费用的平价发行时典型债券的估值模型。

第二种情形：折价发行时，M高于S。长期债券折价发行时，到期实际归还的本金即面值M高于发行价S，即到期时多支付了一笔开支。折价金额为M-S，将其转化为年金，可以得出以下等式：r=[M×i+f/（P/A，r，n）+（M-S）/（F/A，r，n）]/S。此式等价变换后为：M×i×（P/A，r，n）+f+（M-S）×[（1+r）^（-n）]=S×r×（P/A，r，n），即M×i×（P/A，r，n）+f+（M-S）×[（1+r）^（-n）]=S×[1-[（1+r）^（-n）]。上式整理后得 ：S-f=M×i×（P/A，r，n）+M×（P/F，r，n），这正是折价发行时典型债券的估值模型。

第三种情形：溢价发行时，M高于S。长期债券溢价发行到期时实际归还的金额M低于发行价S，即到期时少支付了一笔开支，其金额为S-M，将其转化为年金，可以得到以下等式：[M×i+f/（P/A，r，n）-（S-M）]/（F/A，r，n）]/S=r。此式等价变换后为：M×i×（P/A，r，n）+f-（S-M）×[（1+r）^（-n）]=S×r×（P/A，r，n），即 M×i×（P/A，r，n）+f+（M-S）×[（1+r）^（-n）]=S×[1-[（1+r）^（-n）]。上式整理后得：S-f=M×i×（P/A，r，n）+M×（P/F，r，n），这正是溢价发行时典型债券的估值模型。

综合以上三种情形，可以看出长期债券资本成本的计算和股票一样，不需要区分溢价、折价和平价发行方式，不论采用何种发行方式，发行典型债券时的估值模型均可表达为 S-f=M×i×（P/A，r，n）+M×（P/F，r，n），其资本成本计算公式均可表示为[M×i+f/（P/A，r，n）+（M-S）/（F/A，r，n）]/S，计算时均可利用典型债券的估值模型，使用插值法确定其资本成本。典型债券的估值模型 S-f=M×i×（P/A，r，n）+M×（P/F，r，n）中，（P/A，r，n）=[1-（1+r）^（-n）]/r，（P/F，r，n）=（1+r）^（-n）。很明显，如果模型中n为无穷大时，模型可以简化为S-f=M×i/r，即 r=M×i/（S-f），这时模型与借用优先股的资本成本计算公式是一致的。根据分析可以确认，只有在债券的到期期限为无穷时，通过将发行费用直接从本金中减除的方式计算长期债券资本成本才是合适的。到期期限为无穷的债券也就是永续债，不考虑所得税时永续债和优先股的资本成本计算公式是一致的，但到期期限有限的长期债券，其资本成本计算公式和优先股不同，二者不能混用。

（二）两个不同长期债券资本成本计算公式的差异分析

前已述及，用定义式表示的长期债券资本成本为r=[M×i+f/（P/A，r，n）+（M-S）/（F/A，r，n）]/S。这个定义式整理后就是典型债券的估值模型S-f=M×i×（P/A，r，n）+M×（P/F，r，n）。可以使用插值法通过这个模型计算长期债券资本成本，也可以利用EXCEL软件中的IRR函数算出长期债券资本成本。将这个模型与借用优先股资本成本计算公式的结果相比较，用作差法得到的差异可以表述为 ：[M×i+f/（P/A，r，n）+（M-S）/（F/A，r，n）]/S-M×i/（S-f）。可以看出，差异影响因素除了M、S外，还包括f、n、i、r。根据差异表达式可以看出，在M=S且f=0时差异为0。这是最简单的情况。进一步考虑比较复杂的三种情况：

第一种情况：如果f=0且M≠S，作差法下差异可以表达为：[M×i+（M-S）/（F/A，r，n）]/S-M×i/S，即（M-S）/（F/A，r，n）。可见，在f=0，即不存在发行费用的情况下，差异取决于发行价S和债券面值M是否一致；折价发行时M-S为正数，此时借用优先股资本成本计算公式结果会被低估；溢价发行时M-S为负数，此时借用优先股资本成本计算公式结果会被高估。

第二种情况：M=S且f＞0。此时差异△可表示为[M×i+f/（P/A，r，n）]/S-M×i/（M-f）。因为 M=S，差异△中S可换成M，则差异△为[M×i+f/（P/A，r，n）]/M-M×i/（M-f），进行整理可得到 ：△ =f/[M×（M-f）]×[（M-f）×（A/P，r，n）-M×i]。通过上式可以看出，因为M、M-f一般大于0，此时差异性质取决于（M-f）×（A/P，r，n）-M×i。借用优先股资本成本计算公式进行计算，当（M-f）×（A/P，r，n）大于 M×i时结果会被低估；反之，当（M-f）×（A/P，r，n）小于M×i时结果会被高估。进一步可以看出，当f=0、r小于i即溢价发行时，结果会被高估；当r大于i即溢价发行时结果会被低估。

第三种情况：M≠S且f＞0。相比前两种情况，这种情况更具一般性，也是最复杂的情况。此时差异[M×i+f/（P/A，r，n）+（M-S）/（F/A，r，n）]/S-M×i/（S-f）可 以整理为[M×i+f/（P/A，r，n）]/S-M×i/（S-f）+（M-S）/（F/A，r，n）]/S。

通过以上两种f＞0时的情况可以看出，如果f不是很大，f对差异的影响一般是很小的，当f很小时，用f=0时的情况来判断实际结果被高估或低估一般是可以接受的。下面借用《财务管理》教材中的一道例题，通过实际计算验证以上结论。

例题：某企业以1 100元的价格，溢价发行面值为1 000元、期限为5年、票面利率为7%的公司债券一批。每年付息一次，到期一次还本，发行费用率为3%，所得税税率为25%，该批债券的资本成本率为：Kb=1 000×7%×（1-25%）／[1 100×（1-3%）]=4.92%。考虑时间价值，该项公司债券的资本成本计算如下：1 100×（1-3%）=1 000×7%×（1-25%）×（P/A，Kb，5）+1 000×（P/F，Kb，5）。按插值法计算，得到：Kb=3.76%。

可以看出，这道例题先借用优先股资本成本计算公式，后用典型债券的估值模型对债券资本成本进行了计算，两种不同方法的计算结果出现了比较大的差异，并且符合本文得出的结论，即不存在发行费用或发行费用不够大时，在溢价发行即r小于i的情况下，借用优先股的资本成本计算公式资本成本会被高估。

此外，这道例题借用优先股资本成本计算公式进行推算时区分“不考虑时间价值”“考虑时间价值”的说法是不妥的，两种方法应该都考虑了时间价值。区别在于第一个公式适用于长期债券发行期限为无限的情形，第二个公式适用于长期债券发行期限为有限的情形。需要注意的是，本例题中债券的期限明确为5年，因此使用例题中提到的第二个计算公式才是合适的。

这道例题还存在一个值得商榷之处，就是在第二个公式中直接将债券利息进行了扣税处理，姑且不论发行费用是否也需要扣税，仅仅对债券利息进行扣税会导致模型得出不准确的结论。前面通过资本成本定义式得到典型债券的估值模型中资本成本均以税前形式出现，如果将模型中的各成本、费用直接扣除所得税，计算的结果是不准确的。下面本文对典型债券折现模型中利息和发行费用直接扣除所得税的算法是否合理进行分析。

（三）直接从典型债券估值模型中扣除所得税的计算方式是否合理

不考虑扣除所得税的典型债券的估值模型为S-f=M×i×（P/A，r，n）+M×（P/F，r，n）。由于发行费用和利息均能引发少交企业所得税，假设企业所得税税率为t，扣除企业所得税的典型债券的估值模型为S-f×（1-t）=M×i×（1-t）×（P/A，r，n）+M×（P/F，r，n），这个模型可以整理成S-f=f×t+M×i×（1-t）×（P/A，r，n）+M×（P/F，r，n），这样两个模型的左边就一样了，便于分析。如果上式右边和未扣除所得税的典型债券的估值模型右边部分作差，结果不是0，就说明模型中的各成本、费用直接扣除所得税后，等式很可能不再成立，根据两个模型推算出的资本成本就会不一样，其中有一个是不合理的算法。

很明显，以上提到的两个模型右边差异就是f×t-M×i×t，即 t×（f-M×i），这个差异是个常数。这说明，只有在发行费用和年利息相等时，两个模型无差异，可以在典型债券的估值模型中直接用扣除所得税的方式来计算长期债券资本成本，否则计算结果就是不正确的。对于直接从典型债券估值模型中扣除所得税的计算方式，当f小于M×i时，差异为负数，会导致长期债券资本成本实际计算结果被低估；当f大于M×i时，差异为正数，会导致结果被高估。

相比于直接在模型中扣除所得税的算法，更合理的算法应该是先用典型债券的估值模型算出税前资本成本，然后将税前资本成本换算成税后资本成本，本文将这个做法称为分步法，将上例中利用典型债券估值模型时在利息中直接扣除所得税的做法称为不分步的方法。这道例题原本采用不分步的方法进行计算，理论上是不合理的，下面本文用分步的方法进行计算，观察两种方法的计算结果是否一致。

（四）长期债券资本成本计算不分步方法和分步方法的差异分析

承上例，使用不分步的方法计算出的债券资本成本为3.76%。使用EXCEL中的IRR函数对不分步的算式进行处理，得出Kb=3.755%。这和例题中采用插值法的计算结果是一致的。

使用分步法进行计算，过程如下：长期债券的估值模型为 1 100×（1-3%）=1 000×7%×（P/A，Kb，5）+1 000×（P/F，Kb，5）。第一步，根据上式，使用EXCEL中的IRR函数可以得出Kb=5.43%。第二步，将Kb=5.43%换算成税后的资本成本：5.43%×（1-25%）=4.07%。这种方法和例题中使用不分步的方法得出的计算结果相比差异率为（4.07%-3.76%）/4.07%=7.62%。

原例题中仅考虑了利息可以抵税，没有考虑发行费用可以抵税的问题。本文使用不分步方法进行计算，同时将利息、发行费用调整为税后，计算结果是否和分步法一致？下面继续通过计算进行验证。同时将利息和发行费用调整为税后，不分步法算式如下：1 100-1 100×3%×（1-25%）=1 000×7%×（1-25%）×（P/A，Kb，5）+1 000×（P/F，Kb，5）。根据上式，使用EXCEL中的IRR函数可以得出Kb=3.58%。可以看出，这种方法和分步法的差异更大了。此时和例题中使用不分步的方法原给出的计算结果相比差异率为（4.07%-3.58%）/4.07%=12.04%。

按照（三）中分析的结论，本例题中f（33）小于M×i（100），会导致长期债券资本成本实际计算结果被低估。本例题中不分步计算的结果为3.58%，分步计算的结果为4.07%，符合f小于M×i时，直接从典型债券估值模型中扣除所得税的计算方式会导致资本成本计算结果被低估的结论。根据分析，例题中出现以上问题的原因在于该道例题的算法忽略了典型债券估值模型的用途应该是用于计算税前资本成本，在债券估值模型中将利息和发行费用直接换成税后的做法不够严谨。

综上，分步法用于计算确定长期债券资本成本比不分步的做法要合理一些，考虑到发行费用和利息费用一般均可在税前列支，应当使用分步法来确定长期债券资本成本。

四、其他确定债券资本成本时需要注意的问题

一般《财务管理》教材上计算的都是税后资本成本。实际上，如果发行债券后企业当年亏损，发行债券就不能使企业获得少交所得税的好处，这时当年的债券资本成本就应当是税前的资本成本。还应该注意到，如果企业发行债券后当年的资产报酬率低于债券资本成本，企业只能部分获得少交所得税的好处，这时的债券资本成本应该确定为处于税前的资本成本和税后的资本成本之间。只有在企业发行债券后当年的资产报酬率高于债券的税前资本成本时，债券的资本成本才能确定为税后的资本成本。按照这个结论，如果在亏损的年度进行决策，计算的债券资本成本应该要比盈利的年度高些。

五、小结

在计算债券资本成本时，发行费用应当是资本成本中的一部分，不能直接从本金中减去，永续债等少数情形例外。存在发行费用时应当严格按照定义式来计算债券资本成本，具体做法就是将发行费用与利息支出等合并作为成本。

对于短期债券，只有在借到本金时将部分费用直接从本金中扣除的情况才可以借用优先股资本成本计算公式。对于长期债券，两种情况下可以借用优先股资本成本计算公式，一是债务性质为永续债，二是平价发行并且不存在发行费用。对于短期债券，借用优先股资本成本计算公式，存在发行费用时会导致资本成本被低估。对于长期债券，在不存在发行费用或发行费用比较少的情况下借用优先股资本成本计算公式，在折价发行时会低估其资本成本，在溢价发行时则会高估其资本成本，只有在平价发行并且不存在发行费用时计算结果一致。

债券的发行费用和利息一样，一般都是可以税前列支的，在实际计算长期债券资本成本时，应当使用分步的方法，先用典型债券估值模型计算出税前资本成本，然后换算为税后资本成本。如果企业发行债券后当年亏损或利润不足，债券利息和发行费用抵税的作用就可能难以发挥或充分发挥。对于亏损或盈利不足的企业而言，其债券资本成本应该确定为税前资本成本，只有盈利充足到一定程度的企业，其债券的资本成本才能用税后资本成本来计算。