奇长度的4q-QAM互补序列集

丁小茂，周亚晶，罗荣

(西南交通大学数学学院， 四川 成都 611756)

0 引言

格雷互补序列(Golay complementary sequences,GCS)可用于OFDM信号产生低PMEPR波形. 1999年，Davis-Jedwab[1]基于广义布尔函数构造了多相GCS[2]，产生的OFDM波形PMEPR最大为2[2-3]. Paterson[4]基于RM码推广了Davis-Jedwab的成果. Schmidt[5]将Paterson的构造扩展到广义RM码的高阶陪集，获得了更高的码率. 上述文献中基于广义布尔函数构造的GCS的长度都是2的方幂. Chen[6-7]基于广义布尔函数构造了长度为非二方幂的q元(q为偶数)互补序列集，其PMEPR为集合大小的上界.

上述互补序列为多相互补序列，QAM互补序列由于其较大的码率而广泛应用于OFDM系统. 基于两个四元GCS的组合，Röβing-Tarokh[8]首次从加权和中构造了最大PMEPR为3.6的16-QAM GCS序列. 结果表明，该序列的码率是PMEPR略高的多相GCS的两倍. 后来，Chong-Venkataramani-Tarokh[9]利用广义布尔函数推广了他们的结果. 在文献[9]中，作者发现，在相同的PMEPR约束下，具有16-QAM GCS的OFDM系统比仅具有二元或四元GCS的OFDM系统更能得到较高码率. 后来学者们又给出64-QAM GCS的一般性构造[10-11]. Li[12]修正了文献[9]中的序列对描述、文献[11]中给出的构造. Li[13]给出3类4q-QAM (q≥1) GCS构造. Liu-Li -Guan[14]利用高斯整数对，构造了2类新的4q-QAM (q≥3) GCS. 在文献[15]中，Zhou- Zhou -Yang利用广义布尔函数构造出长度为2m-1+2v(1≤v≤m-2)的4q-QAM (q≥1) CSS. 事实上，利用广义布尔函数构造的4q-QAM CSS多为偶长度，但关于奇长度的4q-QAM (q≥1) CSS研究相对较少，本文中的研究动机就是设计奇长度的4q-QAM CSS. 受文献[13]和[6]中工作的启发，本研究构造了奇长度的4q-QAM CSS，确定了新序列数目，并给出了新序列PMEPR的上界.

1 预备知识

(1)

令n为正整数，n={0,1,…,n-1}表示整数模n后形成的集合.对于广义布尔函数为从{0,1}m到n的一个映射. 给定定义f=(f0,f1,…,f2m-1),其中fi=f(i1,i2,…,im)，(i1,i2,…,im)表示i的二进制表达相应系数，即其中im表示最高位系数.

本研究考虑上述f的截断. 令f(L)为f去掉最后2m-L个元素，形成L长的序列.取ξ为n次单位复根. 定义长度为L的复值序列ψ(f)(L)由f(L)生成：ψ(f)(L)=(ξf0,ξf1,…,ξfL-1).为了简洁，将忽略f(L)的上标.

Li[13]中提出了一种4q-QAM GCP的构造方法.

2 奇长度4q-QAM CSS的构造

E=(E0,E1,…,EL-1),F=(F0,F1,…,FL-1),G=(G0,G1,…,GL-1),H=(H0,H1,…,HL-1)，

为证明定理2，需要用到文献[6]和文献[1]中的两个定理. 下面将给出这两个定理.

定理3[6]各符号含义与定理2一致，则集合{ψ(A(L)),ψ(B(L)),ψ(C(L)),ψ(D(L))}为长为L的互补序列集.

下面对定理2进行证明.

由定理3可知，{ψ(a(p)),ψ(b(p)),ψ(c(p)),ψ(d(p))}(0≤p≤q-1)是一个长度为L的CSS. 因此可以得到Rψ(a(p))(u)+Rψ(b(p))(u)+Rψ(c(p))(u)+Rψ(d(p))(u)=0.从而有

RE(u)+RF(u)+RG(u)+RH(u)=∑p′≠p″rp′rp″[Rψ(a(p′)),ψ(a(p″))(u)+Rψ(a(p″)),ψ(a(p′))(u)

+Rψ(b(p′)),ψ(b(p″))(u)+Rψ(b(p″)),ψ(b(p′))(u)+Rψ(c(p′)),ψ(c(p″))(u)+Rψ(c(p″)),ψ(c(p′))(u)

+Rψ(d(p′)),ψ(d(p″))(u)+Rψ(d(p″)),ψ(d(p′))(u)]

(2)

Rψ(a(p′)),ψ(a(p″))(u)+Rψ(b(p′)),ψ(b(p″))(u)+Rψ(c(p′)),ψ(c(p″))(u)+Rψ(d(p′)),ψ(d(p″))(u)+

Rψ(a(p″)),ψ(a(p′))(u)+Rψ(b(p″)),ψ(b(p′))(u)+Rψ(c(p″)),ψ(c(p′))(u)+Rψ(d(p″)),ψ(d(p′))(u)=0.

因此，我们仅证明下述等式即可

(3)

其中，

并且

要证明等式(3)，可对2m-1≤u

情形1u=2m-1.由2(im-jm)≡2 (mod 4)可得

故等式(3)成立.

情形2 0

(4)

再证明上述方程右边等于0即可.

先证

(5)

由jm=im=0，由定理1可知：{E,G}和{F,H}皆是长为2m-1的4q-QAM格雷互补对. 再由定理4可知：对所有0≤p≤q-1，{ψ(a(p)),ψ(c(p))},{ψ(b(p)),ψ(d(p))}都是长为2m-1的格雷互补对. 综上，对所有0≤p′≠p″≤q-1，可得

从而等式(5)成立.

再证

(6)

由于2(jm-im)≡2 (mod 4)，因此有

从而得到等式(6).

根据上述分析可知，对所有1≤u

一般来说，要得到定理2所生成序列的精确PMEPR是很难的. 然而，基于Liu-Guan[16]的研究结果，这些序列的PMEPR上界为N.根据等式(1)，可以得到下述结果.

推论1定理2中集合{E,F,G,H}的PMEPR上界为4.

推论1的证明对任意0

于是容易得到

结论得证.

表1给出了大小为4，长度在5和12之间的4q-QAM GCP和4q-QAM CSS. “√”表示对应的序列是存在的. 下述结果表明，定理2所提出的序列参数具有更强的灵活性. 从表2中可以看出，与其他构造相比，只有定理2能得到集合大小为4长度为奇数的4q-QAM CSS. 表2比较了文献[13-15]和本文中构造QAM互补序列的参数. 可以看出，本文中构造的序列弥补了现有参数的不足.

表1 不同长度的4q-QAM GCP和4q-QAM CSS对比

表2 QAM GSS的已知参数对比

3 结论

本研究在广义布尔函数的基础上，构造了一个大小为4的奇长度CSS. 构造的4q-QAM CSS的PMEPR是有界的. 并与文献[13-15]中的4q-QAM 格雷序列的相关参数进行了比较. 结果表明，所提出的序列参数是新的，为通信系统提供了更多的选择.