古巴比伦记数法

徐品方

在亚洲西部有个叫美索不达米亚的平原，它的南部被称为巴比伦尼亚．这一带以及往南的地中海东岸居住着苏美尔人，公元前五千年左右，苏美尔人建立氏族公社，创造了楔形文字，其农业、牧业等方面都达到了较高的水平，巴比伦人继承了苏美尔人在数学和天文学方面的成果，并在此基础上对其作出进一步的探索．底格里斯河和幼发拉底河两河流域的人用泥板来记数约始于公元前三四千年，主要用于商业贸易交换和货物数量登记．

19世纪到20世纪，人们发掘出了大量刻有楔形文字的泥板，泥板上的线条一端粗一端细，好像楔子，后人称它为泥板书．泥板书是用芦苇管或小木棒在软泥板上刻写成的，这些泥板只有巴掌大或砖头大小，坚硬如石，可以长期保存．

目前，考古学家发掘出了约55万块泥板书，上面主要记录了古巴比伦王国的一些珍贵文献．经考古学家鉴定，其中约有400块泥板书上记载的都是数字表和数学问题，这是研究古巴比伦数学的重要史料，

数学泥板书反映了在约公元前2100年至公元前300年这个时期巴比伦的数学发展概况．最初用半圆形或月牙形代表1，用小圆圈“O”或小圆点“．”代表0，后来用一种三角形的木笔刻写数字，并压黏土板，创造了一种楔形文字記数法．图1是约公元前2100年以前，巴比伦人用楔形文字记下的数学符号，

图2、图3是古巴比伦人留下的泥板残片，上面刻有几何图形和符号，反映了他们当时所掌握的几何知识、几何知识水平以及画图技术，

古巴比伦人用两种进位制：一种是十进制，另外一种是六十进制．十进制计数法是我们现在日常生活中所用的计数方法，打算盘时用的“逢十进一”的规则就是依据十进制而制定的.60以下的数采用10进简单累数制，且只用两种符号．但在不同时期，巴比伦楔形数字的写法并不完全相同．公元前2400年的楔形数字中只有两种符号： 和 ，其中 表示的是1； 表示10.公元前2400年后的楔形数字“1”用丫表示，“10”用表示．第一种计数法中用 （与表示1的符号有点区别）表示60，第二种计数法中用表示60.在幼发拉底河下游乌鲁克（约公元前312年～公元前64年）出土的泥板上就刻有 ，

古巴比伦人将这两个基本符号相加或累乘，用来表示1- 59中的任何数，并将高位数写在低位数的左边，这与中国、印度的记数法相同，如图4．

古巴比伦人的这种记数法有一些缺点：其一是十进制与六十进制并用时，很难分清楚哪一个数码是在什么位置上．例如记号：YYY表示十进制的3个1呢，还是六十进制的3个60呢．此时只有结合上下文，才能知道它表示的意思；其二是有的符号之间有空格．例如，苏撒出土的一块泥板书上有这样的记号：彳<万，它表示lOx60+15=615.书写者可能意识到这样的书写方式容易被误会成《Rrr （20+5=25），或<<Ⅳ（lOx602+lOx60+5=36605），于是将左边两个《之间的间距调大，除了分隔两个数码外，空白（格）有时表示空位，即在这个位置上没有数，但这种书写方式仍会让人产生误解，只有对照上下文，才能作出正确的判断．

有了记数符号以后，古巴比伦人开始用这些数码制造数学用表，图5是在巴比伦尼普尔（位于幼发拉底河下游）的庙宇中发现的乘法表，该表约是在公元前1350年被描绘出来的．

这个乘法表中的乘数是18，被写在第一行的最左端，中间的两个字表示“乘数”，所得的积被写在最右端，原文中没有等号，第1行的意思是：“18乘以1（=18）“，第2、3行分别是“18乘以2（=）36，18乘以3（=）54”，第4行应该是“18乘以4（=）72”．但72已超过60，转而使用六十进制“逢60进1”，即60构成一个较高的单位，这个单位无需另设符号，仍用表示“1”的符号来表示，不过要将其写在60的位置上，即 ：，其表示1x 60+10+2=72.

另外，古巴比伦人还创造了两个符号“me”与“limu”，表示100、1000，比如，把346写成“3me46”．除了用十进制与六十进制外，巴比伦人还用过二十四进制、十二进制、七进制和二进制，例如他们规定一天24小时，把一年分为12个月，把7天作为一周，分别用日、月、火、水、金、木、土七个星球的名称来命名．这就是今天通用的7天为一个星期的来历．所以说，古巴比伦人的记数法中所用到的进位制是五花八门的．

虽然巴比伦人用的十进制与六十进制记数符号中只有简单的两种符号，但是所表示出来的大数十分复杂，在运算中存在难辨的空格和易混淆的“1”“60”，在引入阿拉伯数字后，古老的巴比伦记数符号就被取代，慢慢被永久地收藏在史书中，

——摘自《数学符号史》