结构总体最小二乘估计理论的拓展及其应用研究

吕志鹏

华东交通大学，江西 南昌 330013

具有随机系数矩阵的高斯-马尔可夫(GM)模型被称为变量误差(EIV)模型，在均方误差意义下，总体最小二乘(TLS)估计得到的EIV模型参数估值优于最小二乘(TLS)估计，这种状况已引起测绘领域的极大关注，并成为多年来的热点问题之一。

近年来，TLS估计逐步演变成一个完备的理论体系，但是相关研究成果仍不够成熟和完善，有待进一步提高和发展。论文从加权总体最小二乘(WTLS)估计的分类、结构总体最小二乘(STLS)估计、STLS问题的(非负)方差分量估计、基于总残差的抗差总体最小二乘(RTLS)估计，以及具有高崩溃污染率的RTLS估计等方面展开系统性的研究。论文主要内容包括。

(1) 系统总结了WTLS估计的解法。从WTLS问题的数学模型表达、优化方法选择和迭代公式设计3方面对WTLS估计的解法进行分类。在不同的模型假设下，采用Gauss-Newton法推导各种解法的估计公式，并说明它们具有LS估计的形式。

(2) 针对测绘领域诸多实际应用中系数矩阵和观测向量具有结构特征这一问题，从EIV函数模型出发，引入变量投影法对系数矩阵和观测向量中的结构特征进行提取，然后基于Gauss-Newton法设计STLS估计算法，算例分析表明该算法相对于WTLS估计算法减少了预测残差的数量。阐明STLS估计和WTLS估计具有等价性。

(3) 分析了TLS估计得到的预测残差特点，说明相对于LS估计，TLS估计并不适合于进行残差预测，推荐采用总残差对等式误差进行预测。

(4) 考虑到系数矩阵和观测向量中的随机量可能来源于不同的观测或者平差，甚至不同期的观测，因而可能具有不同的方差分量，如果考虑随机量之间的相关性，也可能具有不同的协方差分量这一问题，基于总残差将最小二乘方差分量估计(LS-VCE)算法应用到STLS问题的方差和协方差分量估计。采用非负函数对方差分量重新参数化，设计结构变量误差(SEIV)模型的非负函数约束最小二乘方差分量估计(NFC-LS-VCE)算法，算例分析表明该算法可以有效解决初值选取不当引起的负方差问题。

(5) 观测值不可避免地混入粗差，M估计是处理粗差问题的常用方法，以往研究均是基于单个观测值的预测残差进行算法设计。论文以标准化总残差为基础设计相应的M估计算法——RSTLS-LS-IGGⅢ，算例分析说明其性能优于基于单个观测值重定权的策略。

(6) 设计了3种高崩溃污染率的抗差估计方法，即基于枚举法的重复中位数(RM)估计、基于重采样方法的总体最小平方中位数(TLMS)估计和基于分支定界(BAB)算法的总体最小截断平方(TLTS)估计，这3种估计方法均具有50%的渐进崩溃污染率。算例分析表明，上述3种算法有效性较低，并不适合作为最终的参数估值。可以首先采用高崩溃污染率的抗差估计方法计算参数初值，然后进行标准化总残差预测和后验单位权方差估计，最终应用回降M估计计算参数估值，即带有抗差初值的M估计——MM估计，算例分析表明该算法可以同时具有高有效性和高崩溃污染率。