以史为鉴 循序而为 自然铺路*

姜鸿雁 (江苏省无锡市蠡园中学 214072)

教育哲学家杜威认为，教育即生活，教育即生长，教育即经验的改组或改造．“生长”是世间一切有生命的事物的共同特征[1]．如果通过科学地组织教育教学活动，使学生知识的学习、能力的提升、品格的培育如身体那样自然生长，那就实现了“教育即生长”的理想状态．汪晓勤教授提出：数学的学习是知识的逻辑顺序、学生的心理顺序、历史发展的客观顺序的融合[2]．笔者在教学实践中，结合具体教学内容，努力遵行“三序融合”的教育教学规律，力争为学生“自然生长”铺路．

1 借史“迎合”心理状态，自然点燃学习知识的火花

《义务教育数学课程标准(2022年版)》提出建议：重视设计合理问题，问题提出应引发学生认知冲突，激发学习动机，促进学生积极探究，让学生经历数学观察、数学思考、数学表达、概括归纳、迁移运用等学习过程[3]．课堂教学应充分体现学习新知的必要性，积极营造有利于学生形成“愤”“悱”心理的氛围，激发学习动机，为“启”“发”做准备．在实际教学时，知识的逻辑顺序不一定与学生的学习心理“合拍”，教师应何为？

案例1切线的判定定理．

·教学内容简析

苏科版初中数学教材(下称“教材”)将“切线的判定定理”安排在九年级(上册)第2章第5节第2课时[4]．学生经第1课时的学习，知道由直线与圆公共点的个数或d与r的数量关系，可以判断直线与圆的位置关系．从数学逻辑角度，继续学习切线的判定方法是自然的，但从学生角度，切线的判定方法已有两种，为何还要学习切线的判定，仅仅是多一种判定方法？如果只在这个层次，教师“奉送强加”，学生“逆来顺受”，不是理想的“教育即生长”的教学状态．

《几何原本》第3卷命题16对切线的描述：由一个圆的直径的端点作直线与直径成直角，则该直线落在圆外，又在这个平面上且在这直线与圆周之间不能再插入另一条直线[5]．“直线与圆周之间不能再插入另一条直线”如此形象直观的表达，适合学生心理，教师可以运用这一史料，设计恰当的问题情境，形成认知冲突，“点燃”想学习新方法的思维火花，为自然学习添砖加瓦．

·部分教学流程及分析

判断下列直线与圆的位置关系(图1～ 图3)，并说明理由(实录针对图2和图3)．

图1 图2 图3

生1：相切，感觉直线与圆只有一个公共点．

教师将直线延伸(图4)．

图4 图5

生1：相离，圆和直线之间有一点“空隙”，但像相切．

师：“空隙”说明直线和圆之间还可以“插入”直线．图3呢？(学生提出延伸直线，如图5)

生2：相交，有点像相切，好像只有一个公共点．

师：说说你们此时的想法．

生2：用直线与圆的公共点个数来判断直线与圆的位置关系“不靠谱”．(“不靠谱”好传神！)

生3：可以量圆心到直线的距离d与r，然后比较大小．

生4：度量会有误差，图2和图3的d与r大小一定非常接近，判断不准确．

师：这怎么办呢？已学的两种方法不能很好地解决问题．

生(合)：必须要学习其他判定方法！……

评析本设计运用顺应式的方式[6]将《几何原本》第3卷命题16这一史料融入问题情境，设计“判断图2和图3中直线与圆的位置关系”这一问题，产生旧知不能较好地解决问题的现实，学生在直观中尝试→在尝试中质疑→在质疑中修正的过程中点燃思维的“火种”，在“愤”“悱”的心理状态下迈进新知识领域．当笔者将《几何原本》中关于切线的描述展示出来时，学生感叹自己与伟大的数学家想法是相通的，这无疑给学生的学习多了一份积极的心理暗示．

教师根据教学内容，结合历史发展中的相关材料，寻找古今融合点，并整合到教学设计中，促进学生形成认知冲突，有利于点燃思维的导火索，有利于理性思维的自然绽放，有利于良好学习品质的自然形成．

2 由史“深探”逻辑关联，自然指明能力提升的方向

我国现代数学教育家傅仲孙先生提出几何教学的三境界：知其然，知其所以然，知何由以知其所以然．笔者认为，傅先生提出的三境界，不仅对几何教学而且对整个数学教学都有指导性意义．学生在学习过程中，随着基本活动经验的不断积累，有些数学知识的逻辑顺序与学生的心理似乎比较“合拍”，能达到“知其然，知其所以然”的 境界，如果教师在“知何由以知其所以然”下功夫，可以自然提升学生发现问题、提出问题的能力．

案例2求根公式法解一元二次方程．

·教学内容简析

用配方法解关于x的方程ax2+bx+c=0 (a≠0)实现了“知其然、知其所以然”．笔者认为，如何让学生想到用配方法解这个方程是实现“知何由以知其所以然”的关键，没有解决这个问题的学习过程不算自然，知识的逻辑顺序与学生的学习心理顺序“看似合拍”，其实“貌合神离”．教师若能审视历史发展的客观顺序，可以对深度剖析知识内部的逻辑顺序有所启发，使教学设计锦上添花．

·部分教学设计及分析

环节1 思维热身．

环节2 探索新知．

观察方程(1)～(3)的各项系数与方程的解，发现了什么？(详见文[7])

评析笔者如此设计，是受人类探索一元n次方程求根公式的这段历史的启发．一元二次方程求根公式——看似复杂的“结构”，其独特的对称美反映的是用系数a,b,c表示方程的根，公式就是方程的根与系数之间的“必然关联”，它启发人们继续探索一元三次、四次方程……的求根公式；当人类探索到一元五次方程的求根公式时，数学的王国向人们敞开了另一片天地！可以认为，探究方程的根与系数之间的关联性是这段历史发展的“引擎”，让学生在此得到体悟尤其珍贵！所以笔者通过“控制变量”，分别改变方程的二次项系数、一次项系数、常数项中的一个，设计不同的方程，引导学生发现只要改变方程的一个系数，方程的根随之发生变化，这说明方程的根与系数之间存在着“某种必然关联”，以此激活学生探索新知的心理欲望．只有用字母表示各项系数实现一般化，才能揭示“必然关联”，用配方法解关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)水到渠成！整个过程不仅巩固配方法、提升运算能力、为下节课作铺垫，更是充分调动学生由已知探究未知的心理需求，自然提升学生发现问题、提出问题的能力．课堂上，笔者用附加式的方式[6]介绍人类探索一元n次方程求根公式的历程，让学生懂得什么是学海无涯．

客观的历史发展顺序可以促进教师深度剖析知识的逻辑顺序，从而促进学生在自然状态下提升能力．

3 展示历史发展画卷，自然提供培育品质的土壤

有些数学核心知识因自身特点，教材编写的专家结合学生的年龄、心理特点，在不同学段，以不同的方式和要求不断渗透，可谓“草蛇灰线，伏脉千里”，实现学生能力发展的阶段性和一致性．学习这些知识时，学生的心理顺序与数学的逻辑顺序融合得一般较好，这为学生自然地学习提供便利，但对教师的教学设计提出新的挑战，如何追求自然生长新的意义与价值？

案例3三角形内角和定理．

·教学内容简析

本节内容教材安排在七年级(下册)第12章第2节第3课时[8]．因小学有过实验几何的操作经历，教材第7章已有理性证明的渗透(有些教师已经给予定理证明的教学)，学生对这一结论已熟悉于心．如果这节课的价值只是重现证明的书写过程，学生一定会觉得味同嚼蜡，索然无味(详见文[9])！当知识的逻辑顺序与学生学习的心理顺序比较一致时，教师通过古今对照，从客观的历史发展顺序挖掘适当的素材，给学生优异品格的自然培育提供土壤．

·部分教学设计及分析

环节1 证法探寻．

已知：如图6，△ABC有三个内角∠A,∠B和∠C．

图6

求证：∠A+∠B+∠C=180°．

环节2 古今碰撞．(观看“史话三角形内角和”小视频，详见文[9])

评析从文[9]可以看到，通过不同的证明方法，努力实现“知其然，知其所以然，知何由以知其所以然”，这是理性精神的追求；在教师播放“史话三角形内角和”小视频后，在一声声“小**数学家”称呼的背后，看到学生的喜悦与兴奋，在学生的心中悄然播下对数学爱好与兴趣的种子，给学生营造良好的数学学习的心理状态，在一句句“创新、探索、钻研、自我挑战……”中，数学学科的育人功效悄然发生．

学科教学最终指向人的教育，立德树人是数学学科应当承担的责任．数学发展的历程与人类文明的诞生、发展相伴相随，每一个结论从发现到证明，每一个概念从形成到完善、每一个数学符号从发明到得到公认……无不彰显人类坚韧、挑战与创新的精神力量，数学史中的人文故事是培育学生优异品格的巨大宝藏，教师在课堂教学中，结合所学内容对学生进行潜移默化地培育，以促进学生品格的自然成长．

4 结束语

法国数学家庞加莱(Henri Poincaré,1854—1912)认为，如果我们想要预见数学的未来，适当的途径是研究这门学科的历史与现状．作为数学教师，可能没有时间、精力也没有必要专门研究整个数学学科发展的宏伟历史，但是，我们可以了解与教学内容有关的历史素材，可以根据历史的相似性，洞察学生的学习心理；通过历史发展的轨迹，深入思考数学知识内部的逻辑关系；通过客观存在的历史人文故事，培育学生人格的发展．如案例1，历史让教师更懂学生；案例2，历史让教师更懂数学，让学生感受到学海无涯；案例3，学生不仅与伟大的数学家进行思维碰撞，也接受他们优异品格的熏陶．

遵守教育教学规律，合理安排课堂教学的关键环节，努力让学生的能力与品格随着知识的学习得到自然地发展，是我们不断追求的方向．