具有杆间弹性支撑的端部固定压杆稳定性研究

陈 廷 国， 郭 召 迪， 王 祖 能

( 大连理工大学 建设工程学部 土木工程学院, 辽宁 大连 116024 )

0 引 言

采用钢材建造的塔式结构中主要受力构件多为细长形，受力时往往未达到钢材的屈服强度便由于失稳而破坏[1]．例如2008年因南方雨雪天气湖南省郴州市近1/3的输电塔整体失稳破坏而倒塌[2]．

塔式结构主要由塔柱、横腹杆以及斜腹杆组成，构件之间的协同受力为结构安全提供保障，故塔式结构中某根杆件的受力性能不能独立分析，应同时考虑杆件的端部约束、相连支撑等因素．

在国内外的相关文献中，目前关于压杆失稳问题的理论研究方面，Timoshenko等[3]针对杆间有弹性支撑的两端简支杆件进行了详尽的理论推导．试验研究方面，谢鹏[2]针对Timoshenko等的理论推导进行了试验验证．Foster等[4]通过程序模拟强调了钢结构设计中支撑构件的重要性．陈绍蕃[5]通过理论计算得到了设有多道弹性撑杆的压杆稳定承载力与撑杆刚度的关系．刘荣刚等[6]、汤心仪等[7]通过理论和试验找出压杆失稳的判定方法以及弹簧刚度的确定方法．Bleich[8]补充了压杆失稳理论计算的方法．夏大桥等[9-10]用工程实例分析了横梁支撑的重要性．另外，在压杆失稳方面，国内外还有许多学者针对构件初始缺陷、杆间弹性支撑、非弹性柱屈曲等因素做了大量的理论计算及有限元分析[11-16]．但现有研究缺乏对端部固定轴压杆件稳定性的研究，尤其缺少对杆间具有弹性支撑的压杆进行相关试验研究．

实际工程中的钢塔式结构，端部约束较为复杂，约束效果介于简支和固定之间，设计简化过程中直接将两端约束视为简支欠缺准确性．因此本文针对具有杆间弹性支撑的端部固定压杆模型进行理论及试验研究，并用有限元分析验证其准确性，为工程设计人员提供参考．

1 模型简化、理论推导及理论公式简化

1.1 模型简化

为便于进行理论推导，需将工程中的钢塔架局部模型进行简化．首先将钢塔架局部受力模型简化为图1所示模型，受压杆为受力分析杆件，支撑梁和支撑柱共同组成受压杆的支撑系统，支撑梁之间的夹角为θ，若将支撑系统视作具有一定刚度的弹簧支撑，则图1所示钢塔架局部模型可等效为图2所示模型，下面针对图2理论模型推导出受压杆失稳时极限承载力与弹簧刚度之间的关系．

图1 工程模型

图2 理论模型

1.2 理论推导

理论模型如图2所示，首先确定坐标系，杆件纵向为x坐标方向，向上为正，垂直杆件方向为y坐标方向，向右为正，弯矩M以杆右侧受拉为正方向．杆长为2l，弹簧支撑距离杆件底部为l，设弹簧位移为v，支撑刚度为c．以弹簧支撑为界线，截取上下两侧截面作为隔离体分别讨论．

情况1截取隔离体的截面在弹簧支撑处下侧，即0≤x

图3 弹簧支撑处下侧隔离体

根据隔离体建立平衡方程：

MC+Py-M(x)-FCx=0

(1)

将位移的二次微分等效为曲率可得

EIy″+Py+MC-FCx=0

(2)

令k2=P/EI，式(2)可化简为

(3)

求解式(3)微分方程，可得杆件位移曲线为

(4)

式(4)中的常数A1、B1可由边界条件求得，代入y(0)=0，y′(0)=0可得

A1=-FC/kP，B1=MC/P

代入常数A1、B1得到

(5)

式(5)求导后得

(6)

代入式(5)边界条件ylo(l)=v，可得

(7)

利用式(6)求得弹簧支撑处下侧截面转角：

(8)

情况2截取隔离体的截面在弹簧支撑处上侧，即l

图4 包含弹簧支撑的隔离体

此时隔离体平衡方程为

MC+Py+cv(x-l)-M(x)-FCx=0

(9)

参照情况1，可得微分方程：

(10)

求解微分方程，可得杆件位移曲线为

FCx]

(11)

式(11)中的常数A2、B2可由边界条件求得，代入y(2l)=0，y′(2l)=0可得

A2=[kMCsin 2kl+(klsin 2kl+cos 2kl)cv-

(2klsin 2kl+cos 2kl)FC]/kP

B2=[kMCcos 2kl+(klcos 2kl-sin 2kl)cv+

(sin 2kl-2klcos 2kl)FC]/kP

代入常数A2、B2得到

yup(l)=[k(coskl-1)MC+(klcoskl-sinkl)cv+

(-2klcoskl+sinkl+kl)FC]/kP=v

(12)

弹簧支撑处上侧截面转角为

y′up(l)=[kMCsinkl+(klsinkl+coskl-1)cv+

(1-2klsinkl-coskl)FC]/P

(13)

由弹簧支撑处位移连续关系可知

ylo(l)=yup(l)，y′lo(l)=y′up(l)

(14)

结合式(7)、(12)、(14)可得

FC=FA=cv/2

(15)

结合式(8)、(13)、(14)、(15)可得

(16)

由式(16)可知需满足式(17)恒成立或式(18)条件成立：

(17)

(18)

根据稳定承载力取最小值的原则，满足式(17)成立的最小稳定承载力P=4π2EI/l2，一定大于式(18)成立的稳定承载力，舍去．

当式(18)条件成立时，结合式(7)、(15)得到

(19)

为更加清晰得到杆间弹簧支撑下的两端固定压杆稳定承载力与弹簧刚度之间的关系，做出如下简化：其他条件相同，无弹簧支撑时两端简支杆件稳定承载力为P0=π2EI/4l2，引入稳定承载力系数μ，将具有杆间弹簧支撑两端固定压杆的稳定承载力表示为

(20)

(21)

结合式(20)、(21)以及k2=P/EI，式(19)可简化为

(22)

使用MATLAB求解不同弹簧刚度系数时的μ，将γ=c/c0作为横坐标，μ2=P/P0作为纵坐标绘制归一化曲线，见图5．

图5 稳定承载力与弹簧刚度关系曲线

由图5可以看出，两端固定杆件的稳定承载力与弹簧刚度近似呈线性关系，这与Timoshenko等[3]推导的关于两端简支杆件结论相近，不同的是，在图5所示曲线中没有峰值点．

从理论上来讲，当杆间弹簧刚度趋近于无穷大，此时两端固定压杆可以等效为一端固定，另一端简支的长度为l的压杆．根据计算长度系数法求得此时的稳定承载力P/P0=8.17．类比Timoshenko 等推导的结论，弹簧刚度在达到一定值后，两端固定杆件的稳定承载力达到最大值P=8.17P0后不再增加．修正后的理论关系曲线如图6所示．

图6 稳定承载力与弹簧刚度理论关系曲线

1.3 理论公式简化

根据Timoshenko等已有结论，杆间有弹性支撑的两端简支压杆的稳定承载力与弹簧刚度的关系见图7[3]，呈线性关系．

同理两端固定压杆稳定承载力与弹簧刚度也可以简化为线性关系，见图7．

图7 简化关系曲线

P/P0=4+0.198 6c/c0

(23)

2 试验研究

2.1 试验目的

设计具有杆间弹簧支撑的两端固定压杆失稳试验，验证理论关系曲线．

2.2 试验平台及试验装置

试验依托于烟台新天地试验技术有限公司YJ-IIA-W型结构力学组合试验装置．试验模型见图8．

①刹车块；②随动小车平台；③转接板；④电动缸；⑤导向装置；⑥固定支座；⑦边立柱；⑧调距装置；⑨弹簧；⑩弹簧连接板；侧向防失稳装置；连接铰；力传感器；位移传感器

2.3 试件设计

为避免钢管实际抗弯刚度EI与理论值不同，使用钢管样本进行抗弯刚度测定试验，取其中3次有效结果，分别为279.1、280.2、280.5 N·m2，取平均值，因此本批次试验圆钢管的EI=280.0 N·m2．

2.4 弹簧支撑设计

本节主要研究杆间弹簧刚度对杆件稳定承载力的影响，需购置满足需求的弹簧．对弹簧刚度进行标定[18]，试验曲线见图9，其中纵坐标为施加在弹簧上的力F，横坐标为弹簧拉伸长度δ．

图9 弹簧刚度标定

试验曲线的斜率即代表了弹簧拉伸刚度，试验中取弹簧刚度为3.11 N/mm．

2.5 量测内容与加载方案

当轴压杆件失稳时，承载力下降的同时杆件中点位移会明显增大．故本文的量测内容为杆端力以及杆件中部位移，并绘制荷载-位移曲线．

本次试验同时采用以下两种方法反映压杆中点位移：(1)测量杆件上端部位移；(2)直接测量杆件中部位移[19]．事实上，杆件上端部位移和杆件中部位移均可反映压杆稳定承载力，二者虽在相同荷载下大小不一，但荷载-位移曲线对应的压杆极限承载力相同．

试验采用5 t电动缸，按照位移控制单调加载，同时采集力与位移信号，当承载力下降到峰值的70%左右时停止加载，存储数据，卸载，更换杆件重复以上步骤．

2.6 试验结果

根据理论关系曲线(图7)，设计不同弹簧刚度(通过调整弹簧数量实现)使试验点较均匀分布在理论曲线上．共设计5组试验模型：MX-1～MX-5，弹簧支撑数量分别为2、3、4、5、6．

根据2.5节中所述，同步采集竖向荷载P、圆钢管竖向位移|Δv|、中部横向位移|Δh|(由于失稳方向在平面内具有随机性，采取位移绝对值来作为特征参数)，并绘制P-|Δ|曲线．每组试验模型(MX-1～MX-5)进行不少于3次试验，取3次有效数据的平均值作为最终结果，下面详细介绍MX-1的其中一次试验，其余试验同理．

MX-1失稳时圆钢管中部产生大位移，带动弹簧平移，圆钢管发生整体弹性失稳，见图10，为模型MX-1失稳后形态．

图10 MX-1失稳形态

试验中采集得到的MX-1的P-|Δ|曲线如图11所示．

图11 MX-1荷载-位移曲线

从图11可看出，模型失稳为极值点失稳，取荷载最大值作为稳定承载力．试验结果见表1．

表1 试验稳定承载力

根据5种试验模型的弹簧支撑刚度，利用式(23)可求得压杆稳定承载力的理论值，理论值与试验值的误差如表2所示．

表2 端部固定压杆稳定承载力理论值与试验值对比

根据2.3节标定试验得到P0=1 079.49 N，c0=674.68 N/m，利用稳定承载力的试验值计算P/P0以及c/c0，记为MX-1～MX-5，将5种模型的试验值绘在理论关系曲线中对比，如图12所示．

图12 MX-1～MX-5失稳荷载

由表2可以得到，理论值和试验值误差在±4%～±12%，且试验值普遍低于理论值，分析误差原因主要有两点：支座约束、初始缺陷．经过与谢鹏[2]两端简支杆件试验的对比，发现其试验解均大于理论解，而本文两端固定杆件试验解均小于理论解，主要是因为试验中圆钢管的端部约束为非理想铰支座或刚性支座，约束介于两者之间，故本文试验解由于杆件端部约束刚性不足而略小于理论解．初始缺陷包括几何初始缺陷、残余应力等，杆件初始缺陷会使其承载能力下降．

3 有限元分析

3.1 有限元模型

使用ABAQUS有限元软件对本文理论模型进行特征值屈曲分析，并与理论推导结果进行对比，验证理论推导的准确性．

图13 有限元模型

3.2 有限元值与理论值对比分析

首先对5种试验模型对应的弹簧刚度进行有限元分析，与理论值进行比较之后，计算多个不同弹簧刚度下的稳定承载力，并与理论值进行比较，得出结论．

根据5种试验模型MX-1～MX-5建立的有限元模型，使用ABAQUS中特征值屈曲分析进行有限元计算后得到模型极限承载力，同样与前文计算得到的理论值进行比较，如表3所示．

表3 端部固定压杆理论值与有限元值对比

由表3可以看出，5种试验模型的有限元值与理论值误差均在±1%以内，因此，可以认为5种试验模型的理论解是可靠的．

图14 不同弹簧刚度下的两种失稳形态

根据有限元计算结果，绘制杆间弹性支撑两端固定杆件的稳定承载力与弹簧刚度的归一化关系曲线，并与理论关系曲线进行比较，见图15．可见两条关系曲线基本吻合．

图15 理论曲线与有限元曲线对比

为验证结论普遍性，调整截面参数及杆件材料进行重复计算，依然可以得到上述结论，说明此结论具有可靠性．

4 结 语

本文通过小挠度理论求解出具有杆间弹性支撑的端部固定压杆稳定承载力与杆间弹簧刚度关系的简化计算公式，并通过设计5组具有不同杆间弹簧刚度支撑的端部固定压杆失稳试验，用试验解验证了理论解的正确性；同时，基于ABAQUS有限元软件对5组试验模型和更多不同工况下的模型进行特征值屈曲分析，进一步验证了理论公式或理论关系曲线的普遍适用性．

综上，本文通过试验研究和有限元分析验证了理论公式的正确性，为工程设计人员提供了一种可靠的计算方法．