“二次函数回归模型——抛球入篮问题”的数学建模单元教学设计*

210003 南京师范大学附属中学 管慧慧

一、 内容与内容解析

内容：建立生活情境中的二次函数回归模型——对“抛球入篮问题”的建模研究.

内容解析：二次函数回归模型是回归模型概念的一个下位概念，是与线性回归模型同级的概念，因此教学过程中要充分应用类比和化归的研究方法.

从整体教学的理念出发进行单元式设计，落实新课标提出的跳出课时，更为整体地规划学生核心素养的发展.教师对教材中具有内在关联性的内容进行分析、重组、整合，形成相对完整的单元，以优化教学效果，为学生深度学习创造机会.

本单元内容基础来源于三个方面.苏教版数学教材中，必修3介绍了两个变量间的线性相关关系，包括画散点图、最小二乘思想、用最小二乘法求回归直线方程等内容；选修2-3介绍了回归分析的基本思想和方法；选修2-1介绍了利用导数求一元函数最值的方法.在此基础上，学生在本单元进一步学习二次函数(非线性)回归模型的建立方法.

学生将以自主实验“根据抛球轨迹上的数据点预测抛球能否入篮”为载体，运用最小二乘思想，探寻二次函数回归模型的数学表达式，并领会统计思想的应用价值，学习如何正确解读模型的预测结果.学生将经历数据收集和数学建模的全过程，丰富发现、提出、分析和解决问题的体验，为将来开展其他主题的数学建模活动积累经验.在推导抛球轨迹回归方程的过程中，突出数形结合、类比、函数与方程、化归等思想，有利于学生进一步感悟数学思维的魅力和数学方法的灵活，提升数学应用意识和实践能力.

因此，本单元的教学重点是通过体验实际抛球问题的研究过程，学生理解二次函数回归模型的基本思想和数学建模思想，发展在生活中发现、提出、分析和解决问题的能力.

二、 目标和目标解析

(1)结合真实体验，实地测量数据，体会模型的现实含义，积累数学活动经验，形成合作探究精神和观察世界的数学眼光.

(2)建立适当的平面直角坐标系，根据位置点坐标，探求抛球轨迹的二次函数回归方程的建立方法，即根据最小二乘思想,建立位置点横纵坐标间的二次函数最佳拟合关系式.体会数学抽象和数形结合思想的重要性，学习用数学语言表达真实问题.

(3)通过固定变量法，将寻找“二次函数回归方程系数的估计值”转化成“含参二次函数求最小值问题”，类比一元函数求最值的方法求多元函数最值，得到二次函数回归方程，体会化归思想和类比思想.

(4)通过残差图及与实际抛球结果对比，判断模型的预测效果，理解统计思想的应用和数学结论回归现实的必要性，体会数学源于生活又服务于生活，锻炼用数学思维思考世界.

三、 教学问题诊断分析

(1)学生已熟练掌握了待定系数法求二次函数的解析式，对生活中的抛球活动十分熟悉，但数据测量是难点，考验数学应用能力和工具的巧妙运用.

(3)模型求解环节中，学生需要类比一元函数求导思想，可能需要教师提示，且计算量较大，需要Excel操作的自学能力.

本单元教学难点是数据的收集，以及用最小二乘法求一元二次函数回归方程的基本思想.

四、 教学支持条件分析

学生借助摄像机、卷尺、长尺、三角板、网球、建筑外墙等完成抛球实验，记录相关数据，通过剪辑软件、GeoGebra等对视频和图片进行后期处理，运用Excel辅助求解.学生已有的线性回归知识和一元函数求导知识为本节课的教学提供了保证.

五、 教学过程设计

本单元分两个课时进行(如图1所示).

课时1：预测模型类型并讨论合理性.小组合作实地抛球，视频记录并实地测量.课后对图片和视频做后期处理，形成“根据抛球轨迹上的数据点预测抛球能否入篮”的材料包，包含该次抛球“不完整”视频、“完整”视频和轨迹的位置点数据.

课时2：抽取一组材料包中的抛球“不完整”视频和轨迹的位置点数据，学生通过建立二次函数回归方程，预测该次抛球是否入篮，解决问题后回归现实检验预测结果，并结合统计思想反思模型的应用与改进.

课时1 实际问题的数学模型抽象、数据收集

(一)形成模型假设，确定研究目标

问题1做抛球实验时，球运动的轨迹是什么，怎么刻画？

预设答案：根据物理知识，不计阻力的情况下，抛球运动的轨迹是一条抛物线，可用一元二次函数刻画.

问题2实际抛球过程中，影响抛球轨迹的因素有哪些？

预设答案：出手速度、角度；考虑到抛球距离不大，阻力、测量误差等实际存在，且不可忽略.

追问1这些因素中哪些是确定抛球轨迹所必须测量的？其他因素该怎样处理？

预设答案：方法不同，测量的量也不同.坐标法需要测量球的一般位置坐标，或与x轴的交点坐标，或顶点坐标；参数法需要测量出手速度和角度.

摩擦力、风速等外力影响存在但难以测量，实验中应尽量控制，使这些因素影响尽量小.

设计意图：通过对函数图像或轨迹类型和影响因素的探讨，感知模型要素和适用条件，经历模型准备环节(模型假设和变量确定).

追问2如果需要自己测量数据，确定抛球轨迹，你会怎样设计测量方案，为什么？

预设答案：可设计比较精准的坐标测量体系，建立平面直角坐标系确定球的位置坐标，或用软件处理图片，辅助确定球运动时的位置坐标.测量出手速度和角度需要特殊工具，课堂实地测量较难实现.

追问3如何判断球是否入篮，你会给出怎样的判断标准，为什么？

预设答案：对“入篮”进行定义.根据篮球投篮体验，常见的入篮有“空心入篮”和“打板后入篮”，其中“打板后入篮”本质为在篮筐后立板的辅助作用下的入篮，抛球轨迹其实已发生改变.因此本实验中将“入篮”定义为“空心入篮”，即抛球轨迹在入篮瞬间并未改变，球入篮筐内，且与边缘无接触.

图1 “二次函数回归模型——抛球入篮问题”的单元教学设计图

对于“篮筐”的选取，根据所抛“球”的差异，选用不同“篮筐”.“篮球”小组选用标准篮筐；“高尔夫球”“网球”等小组，根据课堂实际取材的便利性，用“横截面为圆形，半径比所抛球半径略大的筒状物(如纸筒、塑料环等)”替代“篮筐”.

提出假设条件.因实际“抛球入篮”为空间问题，为方便测量，近似地认为(尽量控制)抛球轨迹与篮筐中心点在同一平面内，仅测量水平距离和竖直高度即可确定入篮位置.具体如下.

对于“高尔夫球”“网球”等小组，抛球前，将篮筐紧贴墙面(篮筐横截面与墙面垂直)放置并固定.抛球时，实验者将球贴近竖直墙面抛出，因实际实验中抛球轨迹平面与墙面距离d1比球的半径r1略小，篮筐半径r2比球的半径r1大一点，考虑边缘厚度d2后，认为球的质心到墙面距离与篮筐(横截面)中心到墙面距离近似相等，即r2+d2≈r1+d1，假设条件成立(如图2所示).对于“篮球”小组，抛球时尽量保持球的质心与篮筐(上横截面)中心在同一垂直于地面的平面内.

图2 球与篮筐相对位置俯视示意图

图3 入篮俯视示意图

提出入篮范围的确定方法.测量篮筐边缘厚度d2，球的半径r1，篮筐半径r2(如图3所示)，水平距离、竖直高度等，根据本组抛球测量方案确定具体入篮坐标范围.

设计意图：探讨方法的差异，统一课堂实验中的数据获取方法，便于学生参与，也利于课后自主调整方案.

(二)小组合作实验，收集样本数据

考虑到方案各异，且工序较复杂，抛球过程短，抓拍困难，成功实验的挑战很大，实验以五人一组进行.学生做五组抛球体验，小组讨论后细化方案.

教师出示以下单元挑战任务.

选择本组认为最可行的方法，确定细致的测量和实施方案，完成一次抛球并以视频记录，课后剪辑该次抛球的“不完整”视频，标注“确定抛球轨迹函数”的必要数据，给其他组同学出题：根据“不完整”视频和数据，预测“球是否入篮”.解答完成后，出示该次抛球的“完整”视频，共同分析预测结果及其原因.

设计意图：学生需结合求二次函数的解析式所需的条件，综合思考实验方案，确保出题有效性.看似“出题”，实则“被考”.

问题3阐释本组实验和数据收集方案及确定该方案的原因.

预设答案：关于球的选取，考虑到获取的难易、质心的确定、追踪的难易、摩擦力等外力控制，各组经过多次实验对比，认为质量较大、外形较小的球体对于确定球的运动轨迹更合适.多数组选择高尔夫球或网球，也有组愿意用篮球尝试，通过放大抛球距离，相对缩小测量误差.

关于抛球方案，各组选择的二次函数模型集中在一般式y=ax2+bx+c(a,b,c为参数)，以及顶点式y=a(x-h)2+k(a,h,k为参数)，x为水平距离(或相对水平距离)，y为竖直高度(或相对纵向距离).具体方案因数据点的位置和个数各异，大致分为以下三类.

方案1(顶点式模型y=a(x-h)2+k)：出手点和篮筐在同一高度，抛球并记录过程，视频抓取球的最高点位置坐标.

方案2(一般式模型y=ax2+bx+c)：自制坐标网格，直接追踪抛球轨迹的位置点坐标(如图4所示).

图4 方案2示例

方案3(一般式模型y=ax2+bx+c)：通过后期图片处理或追踪软件确定抛球轨迹的位置点坐标(如图5所示).

图5 方案3示例

追问对比这三种方案，最具代表性(可涵盖其他方案知识点)的方案是哪个？

预设答案：方案1仅适于特殊情境的投篮问题，最高点位置难捕捉.方案2可收集到一般位置点的坐标，涵盖方案1知识点，难点在于如何制作合适的坐标体系并精确测量坐标.方案3思想与方案2相似，难点在于后期编辑软件和数学软件的使用.方案2、方案3更具代表性.

学生建立坐标系收集数据.一组学生尝试记录抛球方案并根据建筑外墙辅助测量坐标和误差(如图6所示)，一组学生用Photoshop合成完整抛球路径、用GeoGebra软件对坐标进行精确定位(如图7所示).

图6

图7

设计意图：积累现实体验，感受数据测量的难度和“模型是对现实问题的近似描述”的含义，为理解数学建模思想以及样本与总体、随机误差、回归方程等统计概念打下基础.

课时2 数学模型的建立、求解、应用与反思

(三)实际问题“数学化”——建立回归方程

多数小组选择了方案2或方案3，本节课选择一组学生的测量数据为例继续研究.

问题4根据位置点坐标，如何确定“最能代表抛球轨迹”的二次函数？

预设答案：选取测量较精准的三个点坐标，代入二次函数一般式y=ax2+bx+c.

学生充分尝试后产生困惑.测量误差已控制到最小，为什么代入不同的三点坐标，得到的系数值差别很大?

追问1为什么同组学生运用相同坐标系，选择同一次抛球轨迹上的不同三点，求得的二次函数表达式却不相同？

预设答案：测量的是样本位置点，因为存在误差，这些点并不会完全落在所假设的抛物线上，而是落在那条曲线附近，所以用待定系数法求出的二次函数表达式不同.

追问2产生误差的原因有哪些？

预设答案：误差是随机的，产生的原因较为复杂，可能有以下原因.(1)测量误差.(2)图像的保真误差.(3)真实环境中的多种影响因素，如风阻、摩擦力、实验时用质点近似球体等，选用二次函数模型近似还原抛球轨迹，本身也存在误差.

追问3有了这些认识，怎样确定“最能代表抛球轨迹”的二次函数？

预设答案：根据回归分析知识，只能用二次函数回归方程来近似表达抛球轨迹方程.所以不能仅取三点，而是要多取一些数据点，寻找“离这些点都近的那条抛物线”的二次函数方程.

设计意图：学生体会到回归模型的相关关系与函数模型的确定性关系有区别，随机误差客观存在.

问题5怎样用数学语言刻画“离这些点都近的抛物线”？

追问1不妨将建立的这个新函数称为评价函数，评价函数的自变量是什么？

追问2如何用评价函数刻画抛球轨迹？

设计意图：“模型抽象”以实现描述性语言的数学化，从实际情境进入数学世界，深入理解最小二乘思想.

(四)模型求解——求回归方程

如果评价函数是一元函数，可利用导数求得函数的最小值.但评价函数是三元(变量)函数，且从结构上预判，直接展开求解计算量太大.

追问1(教师可提示性提问) 如果将其中一元(如a)看作自变量，固定其余两个量(如b，c)，即将b，c看作参数，类比一元函数求导方法，我们可以得到怎样的表达式？(视需要，教师也可引入偏导数的概念)

预设答案：

整理后得到一个关于a,b,c的方程组：

追问2现有一组同学的六个观察数据点(20，8)，(90，60)，(120，68)，(150，65)，(170，60)，(180，55)，怎样求“使评价函数取得最小值的a,b,c的值”？

预设答案：根据该组数据，n=6，得方程组

设计意图：体会化归思想，通过固定变量法解决多元二次函数求最值的难点，实现“模型求解”.

(五) 模型的应用与检测——预测“抛球是否入篮”

问题7怎样用所得函数预测“抛球是否入篮”？

预设答案：读取该组同学提供的数据包.选用了高尔夫球，球半径r1=2.2cm，篮筐设定在纵坐标为0处，篮筐内半径r2=3.8cm, 篮筐边缘厚度d2=1.2cm，得到“入篮”位置点的横坐标范围区间(243.4cm,246.6cm),数值落在区间内可判定“投中”.

设计意图：思考如何运用模型进行实际预测，并体验数学结论如何“回译”到生活中.

问题8模型合理吗？怎样检测？

预设答案：

(1)计算残差，绘制残差图，观察残差图发现本次预测合理(如图8所示).

图8

(2)观察投球的实际结果，对比该次抛球的“完整”视频，同样发现预测正确.

设计意图：通过统计结果分析和现实结果对照，经历“模型检测”，关注思维的严谨性.

(六)模型的反思与统计分析

预设答案：不一定.

设计意图：再次反思回归模型与函数模型的区别.

问题10怎样选取数据点有利于得到合理的二次函数回归方程？

预设答案：(1)考虑到统计取样的有效预测范围，数据点越接近篮筐位置越利于减少模型“外推”预测时的误差.(2)尽量分散选取到不同位置的数据点.(3)数据点越多，求解时的计算量越大，适量选取代表性数据点即可.

追问用Excel对这六组数据直接进行二次函数拟合，能得到怎样的回归方程？

预设答案：操作后发现，与以上所得回归方程一致(选择合适的近似数位，如图9所示).

图9 Excel对六组数据的拟合结果

设计意图：引发学生思考数据的选择方式与模型预测效果优劣的可能关联，同时关注到运用软件进行二次函数拟合时，所得计算结果背后的数学原理.

问题11有同学发现，如果用三次函数拟合给定数据点，r值更高，怎样看待这个现象？

预设答案：判断拟合效果时，除了考察统计指标值，更应该结合模型机理进行分析，不能凭借单一的统计量下结论.根据物理知识和公式推演，抛球轨迹近似符合一元二次函数，不能仅通过r值高低简单推翻模型假设.

设计意图：解决疑惑点，认识模型机理分析与统计分析结合的重要性，不能机械地理解统计指标.

六、 总结提升

问题12请从知识内容、思想方法等方面说说本单元的学习收获.

预设答案：对于这一开放式问题，可着重总结以下几点.

1.数据测量和数学建模的过程.

2．最小二乘思想求二次函数回归方程的方法.

3.模型效果的检测.

4.模型结果在实际情境中的解读、统计思想的应用等.

设计意图：回顾数学建模的一般过程，在实践中落实数学核心素养.

问题13如果时间充裕，研究“抛球入篮”问题时，你还会尝试怎样的不同方案？

预设答案：可尝试不同的模型类型和收集数据的方式，如测量出手角度和初始速度，建立二次函数的参数式模型.

设计意图：让学生体会方法的可迁移性，探索同一问题的不同研究角度，同时意识到建模不是一次性的学习过程.

问题14本单元所学建模方法还可帮助你研究生活中哪些问题？

预设答案：运动会投掷的标枪、喷泉设计、炮弹的发射、飞车飞越海峡、火山喷出的岩浆、节日的烟花等.

设计意图：探讨模型在其他情境中运用的可能，为未来的学习和研究做准备.

七、 目标检测设计

课时1作业对图片和视频做后期处理，形成“根据抛球轨迹上的数据点预测抛球能否入篮”的材料包，包含该次抛球“不完整”视频、“完整”视频和轨迹的位置点数据.

采用小组互评和教师课堂观察相结合方式，从方案可行性、视频及数据准确性、题目合理性、个人贡献度等维度对提交的作业进行评分.

课时2作业及单元作业

1.如表1，请画出以下四组数据的散点图，用最小二乘法以函数型y=ax2+bx+c拟合，在平面直角坐标系中画出拟合效果图和残差图，并与运用Excel或图形计算器所得的结果进行比对.

设计意图：直接复现本单元最小二乘法求解二次函数及其残差的方法，关注模型求解和分析.

2.完成一道来自其他组的题目，课堂交流展示选题理由、建模过程，或将成果制作成海报展示.

表1

设计意图：延续课堂探讨，充分尊重学生的探究成果，注重方案的多样性和探究的自主性，个人探究与小组合作结合.

3.图10展示了某地一座拱桥，请用本单元所学建模方法给出拱桥的最佳拟合曲线方程，并确定这座桥的最大通行高度，将成果写成2000字左右的研究小论文.

图10

设计意图：从实际问题的模型抽象出发，完整复现本单元的建模过程，再次体会用数学模型解决生活问题的方法，同时培养学生数学建模小论文的撰写能力.

八、 教学反思

(一)挑战性的建模教学活动，让学习变得自主

不少高中生的数学学习仍停留在以考点为导向的重复性训练模式，亟需将其转变为以素养为导向的学习方式.数学建模具有“用数学解决实际问题”的特点.选择贴合学生生活的素材合理设计教学，能帮助学生逐步建立自主思考的思维习惯，有利于数学核心素养的发展.

本单元建模活动中，无论是数据收集，还是“是否入篮”的判断，解决的方案都不唯一，每一步均需细致考量，有时理论推导和实验结果还会产生矛盾.这与解决教材、试卷中确定性问题的方法差异很大，学生在一个个具体环节中直观感受到了认知冲突，进而促发自主思考，激活原有知识框架并不断矫正认知偏差，获取对“随机误差”“回归方程”等抽象概念的深层理解，从“一个”问题上升到“一类”问题进行思考，在挑战中体会到“学数学、用数学”的趣味.

(二)有探究张力的问题串，让思考走向深入

数学建模教学涉及的知识较丰富，环节较为复杂，学生的经验相对缺乏，需要教师设计“中心突出、有探究张力”的问题串进行策略引导.本单元通过14组问题串的讨论，创造机会让学生通过观察生活、猜想、实验，形成观察世界的“数学眼光”.再通过“实际问题数学化”，学生经历分析、类比、创造等一系列思维活动，学习用数学的语言表达世界.在“模型反思”环节，学生深入体会科学严谨的数学建模思想和统计思想，形成思考世界的“数学思维”.教师对关键点追问，让学生逐步看清问题的症结，实现思维突破.

(三)开放性的设计，让发展呈现多元

开放性意味着学生可进行个性化设计，在小组合作中充分发挥自己优势，让不同层级的学生都有问题可想，都有贡献和收获，都在自己原有水平上得到发展.单元作业中也考虑到学生的多样化需求，分别设置基础任务和挑战性任务，评价时加入过程性评价，充分关联学生的原有认知基础和成长点.

(四)现代技术条件的支持，让过程变得高效

充分利用现代技术可让教学活动更加生动、高效.本单元的学习，学生对于技术支持条件下的探究活动表现出极大热情，呈现出丰富而个性鲜明的实验成果，为模型分析和反思奠定了坚实基础.通过Excel和图形计算器等处理复杂数据，节省了计算时间，提高了准确率，确保单元探究高效而中心突出.