立足基础、稳中求新、关注核心素养——2021年高考“数列”专题命题分析与备考建议

孔繁晶 (徐州高等师范学校 221116)

《普通高中数学课程标准(2017年版)》指出数列作为一类特殊函数，是反映离散过程的基本模型．它不仅是数学课程的重要研究对象，在其他领域和日常生活中也有着广泛的应用，其研究过程还蕴含了丰富的数学思想方法，对培养学生逻辑推理、数学运算和数学建模等能力有着不可忽视的作用．2021年高考共计10套数学试题，每套试题均将数列作为主干知识进行考查．试题编制突出数学本质，重视理性思维，坚持素养导向、能力为重的考查方向．

1 考查内容分析

综合分析2021年高考数学试题，其数列命题围绕等差、等比两类特殊数列展开，重点考查概念的理解、基本量的计算以及蕴含的数学思想．

1.1 考点分布合理

2021年10套高考数学试题共计18道数列问题，统计如表1.2021年高考数列考查内容分布均衡，主要集中在以下几个方面：数列的表示方法，项与和的关系；等差(比)数列的判断和性质；等差(比)数列的通项公式、前n项和公式；利用递推关系求通项；数列求和；数列的综合应用等．其中，等差(比)数列的概念、性质、通项公式以及前n项和公式仍是考查重点．部分试题还与函数、方程、不等式、简易数论、数学归纳法相结合进行考查，如北京卷第21题，浙江卷第10题、第20题，天津卷第19题等．

表1 2021年高考数学试卷数列问题考查情况统计

1.2 分值比重相当

10套试题中，数列内容均有一道解答题，选择题、填空题数量各有不同．总分值在10～24分之间，全国统一命题卷相对偏低，在10～17分之间，地方自主命题卷相对偏高，在15～24分之间．

1.3 文理差异存在

全国甲、乙卷均针对文、理科学生的能力差异进行分别命题．其中，全国甲卷解答题采用同一题源，理科以“结构不良问题”形式进行考查，文科则以传统形式进行设计．可见，文理科命题差异依然存在，理科思维跨度稍大，更加注重抽象与逻辑思维，文科则偏重基础知识与基本技能．

1.4 难度层次分明

全国统一命题的数列试题均以容易题和中档题为主，主要考查基础知识和基本方法．值得注意的是，首次问世的新高考I卷数列填空题综合性较强，考查了学生发现、分析、解决问题的能力．而数列解答题一改江苏卷多年风格，未与其他知识点交汇命题，也不再以压轴题的身份出现．

地方自主命题的数列试题呈现多层次考查态势．北京卷、上海卷的填空、选择题各一道，一道容易题，一道较难题，浙江卷只有一道选择题，难度较大．而解答题题号均相对偏后，属于中档题或难题，北京卷的解答题为压轴题，难度大．

1.5 问题力求创新

2020年10月，中共中央、国务院在《深化新时代教育评价改革总体方案》中提出要构建引导学生德智体美劳全面发展的考试内容体系，改变相对固化的试题形式，增强试题的创新性．2021年高考数列试题践行这一思路，出现以传统文化为情境的微型建模、加大开放题的创新力度，将考查指向核心素养和关键能力，发挥高考的选拔功能．如全国甲卷理科第18题、新高考I卷第16题、北京卷第21题．

2 命题思路分析

2021年高考数列试题紧扣考试大纲，遵循“基础性、综合性、应用性、创新性”的命题原则，立足基础，稳中求新，关注学科核心素养，落实“立德树人，服务选才”的核心功能．

2.1 立足基础，重视基础知识、基本技能和基本方法

等差、等比数列是高中阶段研究的两类重要特殊数列．《普通高中数学课程标准(2017年版)》要求探索并掌握等差(比)数列的概念、变化规律、通项公式和前n项和公式．因此，基本量、基本运算一直都是高考考查的重点．

例1(新高考Ⅱ卷第17题)记Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，a3=S5，a2a4=S4．

(1)求数列{an}的通项公式an；

(2)求使Sn>an成立的n的最小值．

评析本题考查等差数列的通项及前n项和公式，是典型的基本量计算题．题目着眼等差数列五个量a1,an,d,n,Sn之间的关系，通过构造方程组，求得an，Sn，再建立一元二次不等式确定n的最小值．这类问题属于高考数学高频考点，重点考查通性通法，方程、整体代换等思想以及数学运算素养．同时，此类解答题还是考查学生数学语言能力的良好载体，书写过程不必繁琐，但不可缺少关键步骤，例如代数化简、写出基本量等．

例2(全国甲卷文科第9题)记Sn为等比数列{an}的前n项和．若S2=4，S4=6，则S6=( )．

A.7 B.8 C.9 D.10

A.64 B.100 C.128 D.132

评析上述两道例题，依然考查等差(比)数列的通项、前n项和以及性质．在解题时若能灵活运用性质，将其与基本量运算相结合，如例2依题意知“S2,S4-S2,S6-S4成等比数列”，例3利用“2b3=b1+b5”均可简化计算、节约时间．这也体现了高考命题小题考“小”、解题“多路径”的特征．

(1)求{an}和{bn}的通项公式；

评析纵观多年各地考题，数列求和问题屡“考”不鲜．本题题干清晰，易于入手，第(1)小题构造方程求解；第(2)小题考查形如cn=an·bn的数列求和(其中{an}为等差数列，{bn}为等比数列)，需利用错位相减法和等比数列前n项和公式分别求得Tn和Sn，再用作差法完成不等式证明．处理此类问题需要逻辑清晰、公式熟练，其中，错位相减法也是高考数学中考查学生数学运算能力极好的载体．

2.2 适度综合，关注数学本质、理性思维和关键能力

高中数学各知识点并非互相孤立，而是相互关联的．因此，近年高考命题遵循覆盖全面、适度综合的原则．所谓综合，既可指内容，如章节内部、章节之间、跨学科的综合，也可指能力，如联合考查多个核心素养，以促进师生重视知识间的逻辑关系，重视数学本质，重视理性思维和关键能力的培养．

(1)记bn=a2n，写出b1,b2，并求数列{bn}的通项公式；

(2)求{an}的前20项和．

评析本题位于试卷解答题第一题，无疑应该属于基础题一类．但递推数列与等差数列的结合，又涉及分奇偶讨论，这样相对综合的问题难住了不少考生．第(1)问关键在于通过奇偶分支写出“bn+1=a2n+2=a2n+1+1=a2n+2+1=a2n+3=bn+3”， 第(2)问则需要继续依据奇偶项分类，通过分组求和得出S20．由此可见，所谓大题考“质”，就是避开一些命题固定套路，回归数列本质，通过列举找寻规律，用最原始、最简单的办法突破问题．

(1)证明：数列{bn}是等差数列；

(2)求{an}的通项公式．

例7(全国甲卷理科第7题)等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn．设甲：q>0，乙：{Sn}是递增数列，则( )．

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设数列{bn}满足3bn+(n-4)an=0(n∈N*)，记{bn}的前n项和为Tn．若Tn≤λbn，对任意n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围．

评析数列作为高考数学重要考点，既可以独立命题，也可以在与其他数学知识、方法交汇处命题，从而全面考查学生的学科核心素养．常见类型是与函数方程、不等式、数学归纳法、简易数论等知识相结合，且综合考查多个知识点，难度较大，尤其在自主命题地区常以压轴题身份出现．

例7相对简单，将等比数列通项、性质以及前n项和与四种条件相结合，依据定义进行充分性和必要性的判断．例8难度较大，考查了递推数列求通项和裂项求和，还融合了利用导数判断函数单调性、数学归纳法以及不等式放缩等内容，着实对学生的综合应用能力进行了考查，具备选材价值．例9第(1)问考查Sn与an关系，属于基本题型，第(2)问借助错位相减法求Tn，转化成λ(n-4)+3n≥0恒成立问题，考查了特殊数列求和的常见方法以及分类讨论等重要数学思想．

2.3 灵活应用，突出理论联系实际，学以致用

新一轮教学改革倡导理论联系实际，学以致用，体现数学的应用价值．故高考试题命制将会彰显数学学科内外的应用，考查学生必备知识水平与关键能力，逐级深化构建德智体美劳全面发展的考试体系．

例10(北京卷第10题)数列{an}是递增的整数数列，且a1≥3，a1+a2+a3+…+an=100，则n的最大值为( )．

A.9 B.10 C.11 D.12

评析本题虽然容易，却从简易背景入手，考查学生应用等差数列前n项和等知识解决问题的能力，显现出学科内应用的命题思路．

例11(上海卷第19题)已知某企业2021年第一季度的营业额为1.1亿元，以后每个季度的营业额比上个季度增加0.05亿元，该企业第一季度的利润为0.16亿，以后每季度比前一季度增长4%．

(1)求2021年起前20季度营业额的总和；

(2)请问哪一季度的利润首次超过该季度营业额的18%？

评析本题以求企业20季度营业额之和以及利润探讨命题，引导学生关注社会生活，理解数学的应用价值．第(1)问考查等差数列前n项和公式的应用，第(2)问利用等差(比)数列通项知识建立不等关系，进而确定何时“首次超过”，意在考查学生学以致用的意识以及数学抽象、数学建模等学科核心素养．

此外，此应用背景源于教材习题，由此可见，高考命题不仅考查的知识点、方法技能不会脱离课本，就连题设背景往往也源于课本．因此，再次提醒日常教学和复习必须重视教材．

2.4 稳中求新，体现素养导向

2021年是高考改革之年，无论是全国统一命题还是地方自主命题，试题都在一个“稳”字的基础上着力创新．就数列试题的命制来看，在考查基本知识和关键能力的同时，更加注重对学生创新性运用的考查．除了常考常新的“新定义”问题外，还增加了开放性问题的数量，并从设问方式上、背景设定上作了创新．这既反映了高考数学的考查方向，也体现了人才选拔的意愿．

评析本题为全国甲卷理科试题的中档题，设问方式相对新颖，试题给出多个条件，要求构建一个命题并加以证明．这类没有明确结构或解决途径的“结构不良问题”相对开放，给学生充分的选择空间．因其需要学生准确表征，自主建构，对于发展学生的创新思维和迁移能力有着丰富的价值．就本题来看，学生可以从多个角度分析，考虑多种可能，组合出三个命题，然后结合条件以及经验判断，①③为条件，②为结论或是②③为条件，①为结论(即为全国甲卷文科第18题)．在这个过程中，重点考查学生对于数学本质的理解，评测其思维的系统性、灵活性、深刻性以及创造性．

3 备考建议

数列是高中数学的重要内容，具有内涵丰富、方法灵活、应用广泛的特点．纵观2021年高考数学中的数列试题，深感其难度基本稳定，而深度、广度以及新意都在不断提升，既实现了“选材”的目的，又指明了课程改革的方向．为了使2022年高考数列复习更加具有针对性，笔者提出以下备考建议.

3.1 研究试题，把握方向

高考试题既是服务选材的尺，又是引导教学的旗．新一轮高考改革提出“一核”“四层”“四翼”，积极促使命题向素养导向发展．因此，在复习备考中，教师要深入研究试题，捕捉命题内容、难度、题型等线索，并且透过现象看本质，总结规律求推广，以此合理高效地分配备考时间和精力，有的放矢地进行复习．如开展近几年的热点——结构不良问题的探讨，引导学生深度学习，体会数学本质，归纳一些解决问题的方法：由简到繁，优先选择条件单一或者运算方便的；由熟到生，优先选择熟悉的式子或者条件，等等．

3.2 夯实基础，透析本质

九层之台，起于垒土．2021年高考数列试题依旧坚持回归数学本质，重视基础知识、基本技能的考查，不设“繁难偏怪”的问题，注重通性通法的研究，淡化一些特殊的技巧．因此，在复习备考中，一方面要引导学生用好教材，重视知识的生成与发展，多想多悟，深化对于数学本质的理解；另一方面要帮助学生夯实基础，做好“一题多解”“多题一解”的训练与反思，从通性通法中汲取解题思路，优选方法，强化计算．假以时日才能做到基础题稳扎稳打，万无一失，综合题化繁为简，逐级破解．

3.3 着眼应用，提升素养

数学源于生活，又作用于生活，有着丰富的应用价值．从近年高考试题可以看出，数列命题坚持从学生认知水平出发，本着“重思维、重应用、重创新”的理念，以学科内外的应用为依托，设计开放性问题、创新型应用问题，深化对于学生数学抽象、逻辑推理、数学建模等核心素养的考查．因此，在复习备考中，教师要着眼应用，勇于创新．一方面做好系统化教学，另一方面开展主题式研究，重视思维力和意志力的训练，引导学生用数学眼光观察世界，用数学思维思考世界，用数学语言表达世界，使得学生在考场上遇到新问题能够不乱不惧，会思考、敢尝试、能突破，切实提升学科核心素养．