谈魔方对学生数学素养的培养

周英锴 管玉婷

(福建师范大学数学与统计学院 350100)

1 魔方简介

图1 三阶魔方

三阶魔方作为魔方中最为普遍的一种模型，是1974年鲁比克教授发明的一种益智玩具．它总共有26个方块，包含了6个中心块、12个棱块和8个角块，其中，中心块的相对位置不会改变，每个棱块有两种朝向，每个角块有三种朝向(图1)．

魔方起初被发明并不是作为一种益智玩具，而是为了教学．也就是说，魔方最开始是作为一个教具而存在的，鲁比克教授用这种教具来辅助培养学生想象力的同时也对学生的思维进行了训练．

魔方圈较为熟知的三阶魔方还原方法有层先法、CFOP法、桥式法等等，而一般人要还原魔方则需要借助魔方还原公式和一定的想象能力.同时，即使有魔方公式，许多魔方爱好者也会思考如何用相对少的步骤去还原魔方，这也类似于数学中的“一题多解”，解法各不相同，但几种解法通过对比就有较为简便的做法．另一方面，许多人也曾思考对于一个任意被打乱的三阶魔方所需要的最少还原步骤，数学家们将其称为“上帝之数”.这个问题困扰了数学家三十多年，2010年8月，这个与数学交织而成的神秘的“上帝之数”终于水落石出.研究“上帝之数”的元老科先巴、新秀罗基奇以及另两位合作者——戴维森和德斯里奇宣布了对“上帝之数”是20的证明[1]．因此，魔方不仅仅是一种益智玩具，更与数学有着紧密的联系，更重要的是，学生也可以通过接触魔方提升所需的数学素养．

2 魔方模型在数学问题中的应用

近年来，数学试题中不断涌现与魔方相关的改编题，高考题中更不乏其身影．一些题目虽然没有直接提到魔方，但是题中所呈现的模型却与魔方有着紧密的联系．

例1(2019年全国II卷)中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图2)．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体体现了数学的对称美．图3是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1，则该半正多面体共有个面，其棱长为．

图2 图3

题目中所出现的印信，在魔方中也可以找到模型与之对应，混元魔方正是以图3的印信为模型所创造的三阶魔方的变种．如果学生对混元魔方有一定的接触，那么我们利用其对称性和几何性质，就可以帮助学生加深对模型的理解，从而更加直观地得到几何体的面数与棱长．

例2(2018年全国I卷)已知正方形的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为( )．

图4 斜转魔方

此题的难点在于要得到题目所要求的截面，许多学生对于正方体截面的常规性认识可能只停留在三角形与四边形，认为截面的边数不可能再增加，因此得不到正确答案．而答案所呈现的正六边形截面，实际上与斜转魔方(图4)的旋转切割面是一致的，这无疑给接触过斜转魔方的学生在几何想象方面提供了极大的便利．

上述两个例子是依据魔方本身的几何性质和想象能力进行考查的问题.下面的例3则是将魔方与概率统计内容相联系进行考查，无疑对学生的数学素养提出了更高的要求．

例3现有一个复原好的三阶魔方，白面朝上，只可以转动最外侧的六个表面，某人按规定将魔方随机转动两次，每次均顺时针转动90°，记顶面白色色块的个数为X，求X的分布列以及数学期望E(X)．

从例题中可以看到，虽然认识这些魔方并不一定能直接得出题目的答案，但是却能够帮助学生加深对题目的理解，在一定程度上提供解题的思路．更重要的是，除了帮助学生解题，学习魔方的过程更是一种培养数学素养的过程，不仅可以帮助学生感悟数字与符号，更能提高学生对几何图形的认知与想象能力．

3 魔方对于学生数学素养的培养

3.1 数感的培养

《义务教育数学课程标准(2011年版)》提出了十个数学核心概念，数感就是其中之一，即对数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟能力．[2]在笔者看来，魔方中包含了许许多多的数字，最具代表性的就是魔方的变换总数，以三阶魔方为例，其变换总共约有4.3×1019种情况.那么这个数字是如何得到的呢？

以下是三阶魔方的基本性质，我们引入而不证明．

命题1 三阶魔方在其他块颜色朝向、位置均正确的情况下不可能单独交换一对棱块的位置．

命题2 三阶魔方的任意7个角块朝向确定后，第8个角块的朝向也会被唯一确定．

命题3 三阶魔方的任意11个棱块朝向确定后，第12个棱块的朝向也会被唯一确定．

如果学生能够理解这个变换总数并且知道如何得到这个数，那么一方面他就明白了想要随便转动几下就还原一个充分被打乱的魔方是不可能的，这是一种对运算结果的估计；另一方面，其对于数字运算的敏感性也得到了培养．

学生在学习魔方的过程中可能对魔方的变换总数产生兴趣，进行数字的探索，并且在学生认识到三阶魔方的变换总数以及如何得出这个数字后，可能会产生更多的疑问激励他们思考：二阶魔方的变化总数是多少？五阶魔方的变换总数是多少？奇数阶与偶数阶魔方在计算变换总数方面有什么不同？可否得到一般公式直接代入计算得出任意阶魔方的变换总数？这些问题具有一定的挑战性，但也促进了学生充分发挥主观能动性，提高数学学习热情，使他们在学习魔方的同时感受数字的奇妙.这不仅仅是数学知识和技能的获得，更是情感价值观上的共鸣．

3.2 符号意识的培养

符号意识主要是指能理解并运用符号表示数、数量关系和变化规律．[2]符号意识既与数字有关，又与抽象素养有关．学生通过数学符号，可以将文字语言转化为符号语言．符号是一种特殊的表征方式，数学符号的使用和表达是学生理解数学、表达数学的重要方式．在数学中存在许多的公式，这些公式简洁清晰地表达了数学的内容，简化了计算．为了使用这些公式，学生就需要清晰认识公式中每个符号所代表的含义．

图5

魔方在还原过程中，也存在公式的使用，我们以三阶魔方CFOP顶层还原法中的一个公式为例．如图5，魔方公式中的R′和R分别代表了魔方最右层逆时针转动90°和顺时针转动90°，U′和U分别代表最顶层逆时针转动90°和顺时针转动90°，U′2代表逆时针旋转180°．

学生想通过公式还原魔方就必须理解这些字母所代表的含义，而这些字母与数学中的未知量、代数式有着一样的本质，它们都赋予了字母某种含义，通过学习魔方公式，就可以促进学生理解未知数的含义．许多学生在刚开始学习方程时不理解未知数是什么，将其认作没有意义的字母，不能将其与数字联系在一起，而有了魔方公式的基础，就能帮助学生认识到未知数的真正本质．而且学生在接触魔方公式时也能认识到运用符号带来的简化与直观，并将这种思想运用于数学学习当中，进一步体会数学符号对于数学表达的简便性和直观性．

3.3 直观想象的培养

直观想象是通过几何直观和空间想象来感知图形的变化的一种素养．[2]由于学生在还原魔方时需要对棱块、角块进行转动，而转动后的魔方不仅棱块、角块位置会发生变化，每个色块的颜色朝向也可能发生变化，因此在还原魔方的过程中就需要对转动后的棱块、角块朝向、位置进行想象和预判，这正是直观想象素养中所指出的空间想象能力．在魔方复原的过程中，某些面不能完全被看到，只能通过反复的空间想象、空间图形的分解与组合来判断下一步的转动方向，这就要求操作者不仅要认识空间几何图形，还要能够对具体的图形进行解剖．[3]魔方的还原基于想象及空间感知能力的发挥，需要在大脑中对三维图形进行变换．如果想更加直观地认识魔方的还原，则需要用符号或者图形来表示还原魔方的步骤，将符号与图形相联系，这不仅仅需要学生认识魔方，更需要空间想象能力来感知立体图形的变化．数学中存在三种语言，即符号语言、图形语言、文字语言，我们常常需要对这三种语言进行互化，而魔方通过符号代表图形转动，用图形转动认识符号，一方面帮助学生认识符号语言与图形语言，另一方面提升学生的语言互化能力．实际上，鲁比克教授发明魔方正是为了培养学生的空间想象能力，帮助学生理解三维问题．

魔方对想象力的培养更是直接体现在了魔方的比赛项目和规则之中，例如在选手拿到魔方后会有一定的观察时间，目的是为了让选手依据自己的想象力在脑海中形成还原步骤，步骤越简单，复原所需的时间也就越短．同时魔方的比赛项目中有一项称为盲拧，顾名思义是观察之后不再借助视觉对魔方进行还原，这就要求选手最初对魔方进行观察和编码记忆，按照所编排的数字顺序还原魔方．这个过程不仅考验了记忆，更需要在大脑中想象魔方方块的位置变化．可以说，无论是魔方的设计、还原方法还是规则，都与空间想象能力有着密不可分的联系．

3.4 转化化归的培养

学生在学习魔方的时候，一般是以三阶魔方为基础，基于自身的兴趣，之后可能会去接触二阶魔方、四阶魔方或者更多高阶魔方，它们的还原方法都要基于三阶魔方.以四阶魔方为例，其需要事先拼好中心块和棱块，从而转化为三阶魔方的形式，此方法在魔方中称为降阶法．这种学习思想与数学中的转化化归思想有异曲同工之妙，都是通过观察、分析、类比等方法将新问题转化为原本熟悉的问题，而且这种思想在数学解题过程中尤为常见.例如解方程时出现了较高的次数，直接求解难度较大，就可以考虑是否能够将其转化为低次方程，将复杂问题简单化．

例4解方程x2(x+2)2-x2-2x-6=0．

分析 这是一个四次方程，观察到-x2-2x=-x(x+2)，因此令y=x(x+2)，就得到二次方程y2-y-6=0．从而解得y1=3，y2=-2，再将其代回y=x(x+2)，解得x1=1，x2=-3．

在魔方旋转中，经常要把一些陌生的类型转化为我们已经学过的类型，从而找到解决问题的方法．[4]因此学生在还原魔方时，可以将陌生的情况转化为自己熟悉的情况从而达到还原魔方的目标．转化化归思想不仅体现在一个魔方的还原过程中，还体现在不同种类魔方之间的转化．魔方的种类繁多，不仅包含三阶、四阶魔方，还包含了金字塔魔方、镜面魔方、移棱魔方等等，这些魔方的还原思想都与三阶魔方有着紧密的联系.例如镜面魔方是三阶魔方的变种，它的结构跟三阶魔方一样也有26个块，但是每个块的大小都不一样，这个时候只需要把26个不一样大小的色块分别对应三阶魔方中26个不一样颜色的色块，就可以类比转化为三阶魔方进行复原．可以发现，转化思想对于魔方的复原来说十分重要，学生在魔方的学习中意识到复杂的魔方可以进行转化，按照简单魔方的思路进行还原，由此学生的转化化归素养得到培养．在数学中我们也常常需要举一反三和类比转化，由一般的例子过渡到特殊的例子，理解两者之间的联系，加深对例子的理解．

4 结语

魔方对学生来说不仅是一种益智玩具，更是发展学生所需数学素养、提高学生数学能力的强有力工具．因此，教师可以适当向学生介绍魔方与数学的关系，着眼于培养学生的数学素养，帮助学生在了解魔方的同时也掌握其中所包含的数学知识，这不仅可培养学生的兴趣爱好，也可有意识地促进其数学素养的发展．