基于“问题链”的数学探究教学的设计和思考——以“用向量法研究三角形的性质”为例

310012 浙江省杭州学军中学 张春杰

数学探究活动是运用数学知识解决数学问题的重要的实践活动，是高中数学新课程的主线之一[1].“用向量法研究三角形的性质”是人教A版新教材中的一个数学探究活动.杭州市以“用向量法研究三角形的性质”为活动主题，组织了一场青年教师课堂教学评比活动，笔者全程观摩了此活动，并进行了教学设计和思考，现对其展开论述.

一、 内容和内容解析

(一)内容：用向量法研究三角形的性质

本单元内容分为三个课时.

第1课时，回顾初中学习的三角形性质，并从几何的角度进行研究方法的再总结.

第2课时，梳理向量法的三部曲，并以三角形的重心性质研究为例，进行传统法和向量法的对比研究.

第3课时，用向量法研究三角形外心、重心、内心和其他几何性质.

(二)内容解析

向量兼具几何和代数的特征，是沟通几何和代数的桥梁，向量单元的教学任务是理解向量语言和通过向量法解决几何问题.三角形是几何中最简单、最常见的平面图形，学生通过向量法解决三角形问题，感悟向量法的特点、便捷性和力量.

通过证明与几何法的对比，提炼向量法研究平面几何问题的研究架构：首先，用几何的眼光观察性质；其次，用向量(数)表示三角形(形)性质；第三，几何性质的向量运算(数)；最后，通过向量运算研究三角形的性质[2].通过向量运算研究图形性质是方法和策略的提升，开辟了一条新的运算推理之路.

向量法是直观想象、逻辑推理和数学运算的聚焦点，蕴含丰富的数学思想.这就需要教师从整体的高度进行设计，通过巧妙的数学情境和问题引领学生进行探究，在数学探究的过程中养成独立思考、交流合作的习惯,培养探索精神,体验成功的乐趣.

(三)教学重点

用向量方法研究三角形性质的三部曲.

二、 目标和目标解析

(一)单元目标

1.会用几何的眼光观察图形，能用向量及其运算刻画平面几何中元素的关系.

2.能用向量法证明三角形的有关性质,掌握用向量法研究几何问题的基本策略.

3.通过探究三角形的“新”性质,体验数学探究的过程和方法,体会向量法开辟了一条新的运算推理之路.

(二)目标解析

1.能用向量的运算刻画几何图形中的平移、共线、垂直、相似、距离、角度等.

2.能用向量法研究三角形的有关性质，掌握用向量法研究几何问题的三部曲.第一步,几何问题向量化；第二步，向量的代数运算；第三步,向量表达为几何问题.

3.掌握向量法研究三角形的方法，并继续探究三角形的“新”性质，提升独立进行课题研究的能力.

三、 教学问题诊断分析

(一)问题诊断

首先，学生对课题和项目研究比较陌生.《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》对于数学探究活动的描述是：围绕某个具体的数学问题开展课题研究，并实现解决问题的过程.教材建议以课题研究的形式展开，课题研究包含四个环节：选题、开题、做题和解题.但是学生进行课题研究的经验略有欠缺，为指导学生更好地进行课题形式的探究活动，教师应该积极参与到学生的课题研究进程中，给予适当的指导.

其次，学生认为向量法就是坐标法.向量兼具数、形于一身，对向量及其运算不能狭隘地进行理解，教学中要强化向量法是“代数运算”和“图形运算”的结合.向量法是利用运算律，通过向量运算解决几何问题，不能简单理解为坐标的代数运算.这一点在教学中要重点凸显出来.

(二)教学难点

如何合理地将三角形的几何性质转化为向量运算.

四、 教学支持条件分析

(一)对本单元三个课时的教学进行适当安排

对于本单元三个课时的数学探究活动，考虑到教学的时间和学生的情况，可以采取第1课时先从宏观层面引导学生回顾、梳理初中几何问题的研究方法和研究结论，并以研究报告的形式交流；第2课时以三角形的重心为对象展开研究，探索重心的几何性质，并从几何和向量两个维度进行研究、对比；第3课时可以采用指定几个研究课题(如将学生分为外心组、内心组和垂心组等)分别展开研究，撰写研究报告，课堂上进行互动交流.第2课时和第3课时的间隔时间应尽可能长，以便学生有充足的时间进行研究.

(二)技术条件

教师可以对学生进行“几何画板”等几何软件使用的培训,为新性质探究提供帮助.

五、 课时教学设计

用向量法研究三角形的性质(第2课时)

(一)课时教学内容

三角形重心性质的研究.

(二)课时教学目标

1．通过从几何角度观察图形，体会几何图形的本质特征.

2．通过将几何性质转化为向量的运算，掌握向量垂直、共线等运算特征.

3．通过研究解决重心的性质问题，掌握向量法解决问题的三部曲.

(三)教学重点和难点

教学重点：向量法研究问题的三部曲.

教学难点：几何问题如何转为为合适的向量问题.

(四)教学过程设计

环节1创设问题情境

问题1三角形的重心是怎么定义的？

追问1物理上的重心是怎么定义的？

追问2三角形的中线一定交于一点吗？

师生活动:在提出问题1后，学生思考，教师巡视，学生回答并总结，剖析定义.

设计意图：引导学生回顾重心的定义，激发思维的起点.重心是经常被使用的概念，通过回顾这个概念是如何定义的，三角形的三线是否一定共点，学生回到思维的起点，为接下来的研究做好铺垫.

环节2从几何角度研究

问题2如何从几何角度对三角形三条中线交于一点进行证明？

追问1一般证明三角形三线共点有什么样的策略？

追问2你能给出证明的方法吗？

师生活动:在第1课时已经回顾并梳理了初中研究三角形的方法，可以提前把学生分为若干组，进行相关问题的探讨，这里教师引领学生再思考、再梳理、再研究，然后学生汇报证明的思路和过程.

设计意图：在定义出现认知冲突后，很自然地需要进行分析解决.对于解决什么和如何解决，教师引领学生进行分析.这是一个学生已有的知识结构能够解决的问题，可以放手给学生，通过小组合作、组长汇报，学生经历发生、发展和解决的过程.通过知识的梳理、方法的整合、思想的碰撞，学生在用几何法解决三条中线共点的过程中，对重心性质的认识进一步提升.

环节3从向量角度研究

问题3从向量的角度能进行证明吗？

追问1用向量法证明几何问题的步骤是什么？

追问2从向量的角度证明三线共点的策略是什么？

追问3你能给出详细的证明吗？

师生活动:将问题抛给学生，学生分组思考、讨论和完善；教师巡视、指导，参与学生的研究过程，然后让学生以组为单位进行汇报交流，在汇报交流完毕后，其他学生可以进行提问.

设计意图：虽然用几何法解决几何问题看起来比较简洁，但是不容易展开思考，如三角形三条中线交于一点的证明需要添加辅助线，要求有很强的逻辑思维能力.向量法开辟了一种证明几何问题的新思路，用它解决一些几何问题(垂直、平行等)比较方便.

环节4继续重心性质的研究

问题4重心还有哪些性质？

追问1如何从向量的角度表达？

追问2如何用向量法进行证明？

师生活动:仍然将问题抛给学生，学生分组进行研究、讨论，教师作为指导者和参与者，学生派代表分组汇报，各个小组交流汇报.

设计意图：之前重点解决的是重心存在的问题，接下来让学生从横向视野进行探究.既然是中线的交点，有中点存在，可以延伸出哪些性质？培养学生感知、猜想和证明的能力.

环节5课堂小结

问题5请你带着下面的问题对本节课进行小结.

(1)几何法和向量法各有哪些特点？

(2)解决向量问题的步骤有哪些？

(3)用向量法解决问题的关键点在哪里？

师生活动:给学生时间思考、梳理和回顾，小组内部先进行交流，然后小组派代表发言，在学生发言的基础上，教师进行点评和总结.

设计意图：通过问题引导学生对知识、方法和思想进行结构化梳理，反思解决问题的方法和策略，体会问题本身蕴含的数学思想，不仅有助于提升学生对问题本质的认识，也有助于学生养成善于反思、勤于反思的习惯.

环节6课外课题研究

问题6请你在课后围绕下面几个问题从向量的角度加以研究，并撰写小论文.

(1)三角形的外心怎么定义？有哪些性质？

(2)三角形的内心怎么定义？有哪些性质？

(3)三角形的垂心怎么定义？有哪些性质？

(4)三角形的旁心怎么定义？有哪些性质？

(5)对于三角形，你还能发现哪些性质？

设计意图：问题是课堂教学的心脏，让学生带着问题走进课堂，在问题的解决中体会数学探究的策略和方法，并将课堂中掌握的解决问题方法应用于课堂外新的问题解决中.课堂教学的核心在于培养学生独立思考和研究问题的策略，提升研究问题的能力，培养学生的数学核心素养.

六、 教学设计说明和思考

(一)数学探究活动应凸显单元整体设计

“用向量研究三角形的性质”是数学探究课，共三个课时.需要对这三个课时进行整体的教学设计，不能将其割裂开来，要凸显知识的一致性和思想的连贯性，通过数学知识发生、发展过程和学生思维过程两方面的融合来构建.从知识方法的层面来说，重点强化向量法解决几何问题；从思想层面来说，凸显几何问题如何转为合适的向量问题，如何进行课题研究.数学探究活动不仅是一次课题形式的学习，更重要的是培养学生独立研究问题的能力.

(二)单元课时设计时应凸显问题链设计主线

章建跃博士指出，教学设计要以“问题链”的形式呈现，“问题链”构成课时的教学主线[3].“问题链”的设计要具有适切性，能对学生理解概念、形成技能和领悟思想有推动作用，要能够激发学生探究的热情，推动学生主动进行研究.

本课时设计从重心的定义(为何三角形三条中线交于一点)出发，让学生的思维回到研究的起点(这样定义重心可行吗),自然着手解决三条中线交于一点的问题，然后抛出环环相扣的问题.你能从几何角度进行研究吗？有几种方法？能用向量法证明吗？用向量法解决的步骤是什么？有几种方法？向量法和几何法各有什么特点？这些问题层层深入，一步一步地激发学生的探究欲望，学生在解决问题过程中体验探究的思路和方法，为接下来的研究搭建平台.“三角形外心等如何定义？有哪些性质？”“请从向量法的角度研究，并撰写小论文，后期进行交流汇报”引导学生以小组为单位进行课后研究，真正形成大课堂的理念，培养学生独立进行研究的能力.

(三)教学设计应凸显数学育人的价值理念

整个教学设计过程中，学生的主体地位要凸显出来[4].考虑到教学的实际情况，教师要适当参与和设计一些问题，让学生避免走过多的冤枉路，以便有更多精力进行小组合作，选择研究手段和方法，体验研究新问题的思路和方法，让学生经历知识发生、发展和形成的过程.重心存在问题的顺利解决也提升了学生的深度学习能力，促使学生在批判中思维，在思维中成长.在完整体验向量解决问题的一般过程后，学生再独立地进行深层次(重心的其他性质)和更广范围(外心等)的研究，改变了教学过程中教师主导课堂的局面，使学生真正成为探究的主体，凸显育人的教学理念.