概念表征视角下的高三“平面向量”复习课教学

韩聪

表征是用某一种形式，将事物或想法重新表现出来，以达到交流的目的[1]．信息加工理论认为，表征就是以一物代替另一物．美国学者Lesh认为数学概念表征具有五种形式，即实际情境、图象、实物操作（模型）、口头语言和文字符号．Lesh强调各种表征之内和表征之间的转换，认为学生必须具备以下条件才算真正理解一个概念：（1）能将概念放入不同表征系统中；（2）在给定的表征系统内，能弹性处理这个概念；（3）能将概念在不同表征系统中进行灵活转换[1]．

不同表征将导致不同的思维方式，合理选择表征形式可以降低解题难度[2，3]．教师在教学过程中应引导帮助学生在问题解决过程中学会合理选择、使用以及转化各种数学表征，并能在不同表征中建立联系．

1 概念表征视角下的平面向量复习课教学设计

1.1教材分析

平面向量是高中数学的基本概念之一，是中学数学知识的一个交汇点，常与三角函数、解析几何等知识相结合，是沟通代数与几何的桥梁，在教学中占有重要地位．平面向量知识包括向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标表示、数量积及其应用三部分内容，考查重点往往是基础知识、基本技能和数形结合的思想方法，考查中将几何知识与代数知识有机结合，体现思维的灵活性．从表征的角度，平面向量主要有几何表征、坐标表征、符号表征三种表征形式[4]．

1.2学情分析

学生在高一已学过平面向量内容，已基本掌握平面向量的基本概念及相关运算，但在多种表征相互转化时常缺乏灵活性，尚不能解决平面向量较难问题．因此本节复习课的重点及难点是帮助学生建立平面向量多种表征之间的联系，能在不同表征间相互转化以解决问题．

2教学案例分析

2.1提高符号表征理解能力

向量是既有大小又有方向的量，这是它区别于数量的本质特征．教学中发现，学生往往忽视或不理解向量具有方向这一特征，教师应在教学中帮助学生提高符号表征理解能力，

设计意图 本题考查a．b=|a||b|cosθ在解题中的逆用，具有一定的技巧性，需要借助向量加减法的运算及其几何意义进行适当变形，在分析两个向量夹角时，注意必须使两个向量起点重合，此类题目需要学生根据题设建立几何图形与向量之间的对应关系，根据向量共线定理表示向量并进行有效的向量运算，进而解决问题．

2.3巧用坐标表征解决复杂问题

在解决圆、直角三角形、矩形等特殊图形中的向量问题时，可以建立适当的平面直角坐标系，将几何问题代数化，能快速打开思路，此类问题往往考查平面向量的坐标表示及坐标运算，在向量的坐标运算中涉及多个未知数据以此来考查学生的数据处理能力、数学运算及数据分析等核心素养．

问题4已知直角梯形ABCD中，AD／/BC，∠ADC= 90°，AD=2，BC=1，点P是腰DC上的动点，则| PA+3PB|的最小值为____．

师：此类问题如果按照平面向量的线性运算方法是很难求解的，因为题中有明显的垂直关系，所以建立平面直角坐标系，借助向量的坐标运算后，难度就降低很多．本题我们应该怎样建坐标系呢？

生：以D为坐标原点，线段OA，OC所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，如图2．

师：建立直角坐标系后，就将复杂的几何问题转化为代数问题，难度就降低很多．我们在解题时如果遇到具有明显垂直关系如圆、等边三角形、直角三角形、矩形等图形时，可以利用现有的垂直关系建立坐标系，简化计算．

设计意图题中有垂直关系时，往往可以通过建坐标系借助坐标运算来求解，用坐标表示向量后，向量的运算完全代数化，将数与形有机结合，充分体现了方程思想在向量中的应用，通过此类题目的求解，让学生再次体会几何表征与坐标表征相结合在解决向量难题时的优势．

3 教学反思

基于对平面向量概念的深度理解，在概念表征視角下设计平面向量高三复习课的教学．教学过程中应注重学生对概念的理解和运用，有助于学生理解平面向量概念表征的多种形式，提高学生问题表征能力及多种表征间相互转换的能力．

4 结束语

数学概念具有多种表征形式．不同的表征形式反映概念表征中不同的逻辑水平，学生从一种表征到另一种表征的转换不仅是概念逻辑水平的转变，同时也是思维水平的转变[5]．这种转变代表着概念理解方面质的飞跃，这种质的飞跃往往需要较长时间，有些学生甚至长期无法完成，教学过程中教师应重视数学概念的建构过程，帮助学生深度理解数学概念，

参考文献

[1]鲍建生，周超．数学学习的心理基础与过程[M]．上海：上海教育出版社，2009

[2]石翠娟．基于多元表征的初中函数问题解决的研究[D]．扬州：扬州大学，2018

[3]韩茜铃．小学生分数表征能力的现状研究[D].上海：上海师范大学，2020

[4]陈影，基于表征视角高中生向量知识认知的调查研究[D].哈尔滨：哈尔滨师范大学，2017

[5]李善良．关于数学概念表征层次的研究[J]．数学教育学报，2005，14 （4）：35-37