基于TMD的连续多跨曲线人行桥减振设计研究

陈杰， 艾辉林， 王声云

(上海应用技术大学 城市建设与安全工程学院， 上海市 201418)

连续多跨曲线人行桥造型轻巧灵动，但低频、低阻尼的自身特点使其易在人行荷载作用下产生过度振动，严重影响行人的舒适性[1]。而且，该类人行桥各桥跨之间存在相互作用，致使响应情况复杂，因而有必要采取合理的减振措施，以防发生不利的人致振动。人行桥常用的减振措施主要有两种：频率调整法和阻尼减振[2]。频率调整法是指让结构的固有频率避开人行激励的频率敏感范围，通常需要提高结构刚度，这会显著增加结构质量，无法满足外观要求，且增加不必要的成本。调谐质量阻尼器(Tuned Mass Damper, TMD)是附加阻尼方法中的一种消能减振装置，已广泛应用于实际工程。Den Hartog[3]最先研究TMD在无阻尼系统上的应用，并给出了求解TMD最优参数设计公式；孙利民等[4-6]研究表明：TMD系统能显著提高人行桥的舒适性；樊健生和邹卓等[7-8]研究了TMD设计参数对减振效果的影响。对于连续多跨曲线人行桥，TMD的安装策略对减振效果起着重要作用，已有研究多集中在TMD设计参数同减振效果的关系，而关于如何确定TMD的布置位置和数量的研究工作还不多，基于此，该文以文献[9]中的人行天桥为背景，着重研究连续多跨曲线人行桥分别采用单跨布置TMD和多跨布置TMD时二者减振效果的联系和差异。

1 人致振动分析

1.1 桥梁概况

此人行桥位于某金融中心的一个交叉路口，主桥跨径布置为(30+24+40+44+44+40) m，主梁为钢桁架结构，呈梭子形状，通过斜拉索与杯形桥塔相连，总体上形成多个桥塔悬挂多个梭形单元的“飘带”形态，如图1所示，与湛江世贸人行天桥[10]有异曲同工之妙。各钢桁梁通过不同交角连接而成，桁架间轴线最大交角为160°，最小交角为124°，钢桁梁总高2.0 m，最大宽度5.15 m。桁架片之间采用月牙形立面过渡平台，总宽3.15 m，与主桥桁架平面斜交。主桥基础采用1.6 m直径钻孔灌注桩基础。该人行桥地下管线复杂，且临近地铁线，应保证其有足够的安全性并能提供行人良好的舒适性。

图1 人行桥示意图

1.2 结构动力特性分析

基于该桥设计资料，利用Ansys软件建立三维有限元模型，其中主梁、主塔和桥墩均采用Beam4空间三维梁单元模拟；拉索采用Link10单元，桥面采用Shell63单元，二期恒载采用Mass21单元模拟，并附加在主梁单元节点上。主缆与横梁连接采用约束方程处理，其预张力通过单元的初应变调整。边界条件为：塔墩下端固结，主缆和抗风缆在锚固处铰接。成桥状态的有限元模型见图2，从桥头至桥尾按顺序为各桥跨编号。

图2 成桥状态有限元模型

对成桥状态下的有限元模型进行动力特性分析，采用Block Lanczos方法求解，该方法是经典Lanczos的改进，用于求解大型系统的特征值问题，经计算得到该桥主要振型参数如表1所示，图3为对应的振型图。由表1可知：结构侧弯频率首先出现，且仅有0.601 Hz，中部4跨(2号、3号、4号和5号桥跨)在人行荷载作用下易发生侧向振动；1阶竖弯频率也只有1.571 Hz，天桥的后4跨(3号、4号、5号和6号桥跨)易出现竖向人致振动。该桥主要自振频率接近或落入行人步频的敏感范围(竖向为1.6～2.4 Hz，侧向为0.8～1.2 Hz)，易在人群激励下发生不利振动，有必要对上述提取的全部模态进行人致振动分析论证。

表1 结构动力特性参数

图3 人行桥振型图

1.3 舒适度评价

文献[11]认为结构竖向加速度达到0.55 m/s2便会使行人感到不安，影响行人的舒适性。行人对竖向振动和侧向振动的敏感程度并不一样，对侧向振动的敏感性更强，故结构竖向和侧向加速度的限值应分开考虑。德国人行桥设计指南EN 03(2008)[12]依据行人承受的竖向和侧向峰值加速度将舒适度划分成不同等级，如表2所示。

表2 EN 03(2008)规定的舒适度等级

德国EN 03(2008)采用的行人脚步荷载模型为：

p(t)=Pcos(2πfst)×n′×ψ

(1)

式中：P为步频fs时对应的单人步行荷载幅值；n′为加载面积为S时的等效行人密度，计算公式见式(2)；ψ为折减系数，该文偏保守考虑取1.0。

(2)

式中：ξ为结构阻尼比，该文取0.5%；d为人群密度。

根据德国EN 03(2008)对不同交通级别的人群密度划分，在分析全桥人群均布作用时，偏安全考虑，取最大人群密度d1=1.5 人/m2，即此时交通异常繁忙，记为工况1。由于该人行桥具有多个桥跨，各桥跨上的人流量在实际中不会完全相同，某一桥跨可能会因欣赏景色较佳而出现人群聚集现象，此时这一桥跨的人群密度可能会远大于其他桥跨，为防止发生严重的人致振动，需要对这种人群非均布作用的情况进行分析。通过对各桥跨设置不同的人群密度来模拟天桥上的非均布人群，将人流量大的桥跨取人群密度d1=1.5 人/m2，人流量小的桥跨取d2=0.5 人/m2，限于篇幅，该文仅取侧弯和竖弯振型比较显著的第3号桥跨为人群聚集桥跨，即该桥跨的人群密度为d1=1.5人/m2，其余桥跨的人群密度均为d2=0.5 人/m2，记为工况2。将各桥跨上对应的等效均布荷载按结构振动最不利方向加载到相应结构单元上，计算人群共振荷载作用下工况1、2中各桥跨的最大加速度响应，结果见表3。

表3 各桥跨加速度响应

由表3可得：侧弯基频(0.601 Hz)下，无论是工况1人群均布作用还是工况2非均布作用，中部4跨的侧向加速度均超过0.1 m/s2，属于中等舒适性。第3阶和第5阶频率下，工况1中的竖向加速度响应均小于0.5 m/s2，舒适性最好；但是在工况2人群非均布作用下，部分桥跨的竖向加速度响应超过0.5 m/s2，如第3阶频率中的4号、5号桥跨，以及第5阶频率中天桥的后4跨，其中5号桥跨甚至达到1.012 m/s2，舒适性差。可见人群非均布作用会显著增加人行桥的竖向加速度响应，对行人的舒适性造成严重影响，因此，连续多跨曲线人行桥在减振设计时应对人群聚集现象给予重视。

2 TMD减振

根据Den Hartog理论，当以加速度最小为优化目标时，TMD参数设计公式如式(3)～(8)所示：

(3)

kd=(2πfd)2×md

(4)

cd=2md×2πfd×ξopt

(5)

fd=αopt×fs

(6)

(7)

(8)

2.1 侧向振动

根据表3得知：侧弯基频下，在工况1，即人群均布作用时的加速度响应最大，所以应对工况1的1阶侧弯模态进行TMD减振设计。由于天桥的中部4跨加速度响应较大，舒适性为中等，故着重考虑在这4个桥跨布置TMD。以质量比0.005计算所得的TMD参数为初始值，结合实际情况进行优化，最终取TMD总质量为2 200 kg，TMD总刚度为31 200 N/m，总阻尼为720 N·s/m。各桥跨最多在跨中布置1个TMD抑制横桥向振动(该文不讨论1个桥跨布置多个TMD的情形)。当仅在1个桥跨布置TMD时，则该TMD质量取总质量2 200 kg(若在多个桥跨布置TMD，则各桥跨上TMD的质量初步按总质量除以TMD数量进行平均分配)，TMD的具体布置位置如表4所示，计算附加TMD后各桥跨加速度响应及各TMD布置方案对应的减振率亦示于表4中。

由表4可得：① 除在4号桥跨布置TMD方案外，其余方案均能使各桥跨侧向加速度降至0.1 m/s2以下，舒适度达到最好等级，可见在连续多跨曲线人行桥上布置TMD是一种有效的减振措施；② 在同一种TMD安装方案里，由于桥跨之间的耦合作用，各桥跨的减振率相差5%左右，差异不是十分明显；但不同的TMD布置方案产生的减振效果差别很大，如仅在3号桥跨布置TMD时，减振率在65%以上，而在4号桥跨布置TMD时，减振率只有28%左右，减少了37%；

表4 附加TMD后各桥跨侧向加速度响应及减振率

③ 多跨布置TMD与单跨布置TMD之间的减振率存在关联，如在3号和4号桥跨同时布置TMD时，其减振率处于3号、4号桥跨仅单跨布置TMD的减振率之间；3号和5号桥跨同时布置TMD时，其减振率处于3号、5号桥跨仅单跨布置TMD的减振率之间，即多跨布置TMD的减振率是相应桥跨单跨布置TMD减振率的组合。再如4号和5号桥跨同时布置TMD的减振率低于3号和5号桥跨同时布置TMD的减振率。因为3号桥跨单跨布置TMD的减振率要高于4号桥跨单跨布置TMD的减振率。同理可以解释2号、3号和4号桥跨同时布置TMD时，减振率高于2号和4号桥跨同时布置TMD，以及2号、3号、4号和5号桥跨同时布置的减振率高于2号、4号和5号桥跨同时布置TMD，因为它们都将一部分TMD性能用于减振率最高的3号桥跨布置TMD。因此，对于连续多跨曲线人行桥，依据单跨布置TMD的减振率进行组合，可预估多跨布置TMD的减振率，为多跨TMD的布置位置提供参考。

根据上述分析可推断，TMD总质量、总刚度及总阻尼相等时，TMD的最大减振率应在单跨布置TMD时得以实现。因为单跨布置TMD会将所有TMD性能用于减振率最高的某一桥跨，此时减振效果最好；多跨布置TMD时，则将一部分TMD性能用于减振率较低的桥跨，影响减振效果。表中的计算结果也验证了这一结论。

通过自振分析发现：该人行桥侧弯振动时，各桥跨的运动方向主要有两种：横桥跨方向和顺桥跨方向，曲线造型使处于同一侧弯振型下的不同桥跨在这两方向的运动程度有较大差异，例如侧弯基频下，2号桥跨主要沿横桥向运动，3号桥跨在横桥向和顺桥向运动大致各占一半，4号桥跨主要沿顺桥向运动。因而4号桥跨上的TMD并不适合像2号和3号桥跨那样沿横桥向布置，应改为在跨中沿顺桥跨方向安装，此时若仅4号桥跨布置TMD，则各桥跨的加速度响应如图4所示。显而易见，4号桥跨顺桥向布置TMD时，各桥跨的加速度响应远低于横桥向布置TMD的结果，TMD的减振率已达72%，较之前的28%提高了44%，可见TMD的布置方向对减振效果有重要影响。所以，对于类似的曲线人行桥，即使是同一阶侧弯频率，也应按照各桥跨的具体振型和振动响应情况选择TMD的布置方向，以充分发挥TMD的减振性能。

图4 4号跨沿不同方向布置TMD后的加速度响应

2.2 竖向振动

由表3可知：在人群非均布作用时，桥跨的竖向加速度响应较大，如第5阶频率，1～6号桥跨在人群非均布作用下的加速度较人群均布作用分别提高135%、293%、283%、328%、315%、287%，且天桥后4跨的加速度均超过0.5 m/s2，应降低这些桥跨的振动响应，提高舒适性。针对第5阶模态设计TMD，取TMD总质量为2 400 kg，若多跨布置则平均分配质量，仍然按各桥跨最多布置1个TMD，且布置在跨中。分别计算3号、4号、5号和6号桥跨仅单跨布置TMD时各桥跨的最大加速度响应结果(如表5所示)。由表5可知：仅6号桥跨单跨布置TMD时有部分桥跨的加速度仍在0.5 m/s2以上，其余3种布置方案均使各桥跨的加速度降至0.5 m/s2以下。

表5 单跨布置TMD的减振率

根据前述结论，由单跨布置TMD的减振率先预估多跨布置TMD的减振率，再通过计算验证。第5号桥跨竖向加速度响应超过1.0 m/s2，舒适性差，需重点考虑该桥跨减振情况，故以5号桥跨上各单跨布置TMD的减振率为依据，预估多跨布置TMD时5号桥跨的减振率。可以预判的是：4号和5号两个桥跨同时布置TMD比其余任意两跨同时布置TMD的减振效果要好，且减振率为52.32%～54.38%；3号、4号和5号3个桥跨同时布置TMD比3号和4号两个桥跨同时布置TMD的减振效果好，同时也优于3号、4号、5号和6号4个桥跨同时布置TMD。限于篇幅，仅对以上预测进行验证，结果如图5所示。

由图5可以看出计算结果与预测基本吻合。对于多跨布置TMD，若需更准确的预测结果，则可从多角度进行评估，比如3号、4号和5号桥跨同时布置TMD，其减振效果不仅可以依据3、4号两跨布置和5号单跨布置减振率的组合，也可以是3、5号两跨布置和4号单跨布置组合以及4、5号两跨布置和3号单跨布置组合，当然最后仍需进行计算验证。

图5 多跨布置TMD时5号桥跨的减振率

从表5可以看出：在不同桥跨上单跨布置TMD时减振效果存在差别，如分别在3号和6号桥跨布置TMD时，二者在4号桥跨上的减振率相差近10%。由表3加速度计算结果可得：6号桥跨的加速度响应比4号桥跨高4%，然而单跨布置TMD时的减振效果却低了约10%，由此可知：采用多桥跨布置TMD方案，若按加速度响应分配TMD质量或者平均分配TMD质量可能略有不足。该文建议按照单跨布置TMD的减振率分配各桥跨上TMD的质量，以天桥的后4跨同时布置TMD为例，TMD总质量仍为2 400 kg，若以5号桥跨上各单跨布置TMD的减振率为依据分配TMD质量，则3号、4号、5号和6号桥跨的TMD质量分别为620 kg、629 kg、645 kg、506 kg；若按这些桥跨的最大加速度响应分配TMD质量，则所得质量分别为602 kg、563 kg、649 kg、586 kg；若平均分配质量，则各TMD质量均为600 kg。计算这3种不同TMD质量分配方案下各桥跨的最大加速度响应，得到不同方案的减振率如图6所示。

图6 不同TMD质量分配下的减振率

由图6可见：按单跨布置TMD的减振率分配TMD质量比平均分配TMD质量或者按加速度响应分配TMD质量的减振效果略好。因而多跨布置TMD时，根据单跨布置TMD的减振率分配TMD质量不失为一种有效方案。

3 结论

以某连续多跨曲线人行桥为例，分别计算了该桥在人群均布作用和非均布作用下的人致振动响应，研究了布置TMD后的减振效果，得出以下主要结论：

(1) 对于连续多跨曲线人行桥，TMD安装位置和数量的不同带来的减振效果存在明显差异，但在同一种TMD安装方案中，因桥跨之间相互耦合，各桥跨的减振率总体上相差不大。

(2) 根据单跨布置TMD的减振率可预估多跨布置TMD的减振效果，方便确定安装TMD的位置，且从多角度分析多跨布置TMD的减振率可提高评估的准确性，不过最后仍应通过计算进行验证确保安全。

(3) 由于桥梁曲线造型不同，同一阶侧弯频率下各桥跨在顺桥向和横桥向运动的参与程度不同，因而TMD在两个方向上的减振效果会有差别，针对侧向振动减振设计时应注意各桥跨上TMD的布置方向。

(4) 对于连续多跨曲线人行桥，TMD总参数值相等时，仅在某一桥跨上布置TMD可获得最好的减振效果；若采用多跨布置TMD，建议按单跨布置TMD的减振率分配各桥跨上TMD的质量。