线上线下混合式教学改革——以计算方法课程为例

张 进，杨 震，陈青全，罗亚中，梁彦刚

（国防科技大学 空天科学学院，长沙 410073）

理论研究、科学实验和科学计算是现代科学研究的三大支柱。计算方法作为科学计算的基础，研究计算机处理各种问题的数值计算理论与方法。计算方法课程在工科专业广泛开设，在国防科技大学空天科学学院作为学科基础课，主要面向航空航天类专业大二本科生开设，每年约5～6 个班次。课程在高等数学、线性代数和计算机程序设计等公共基础课之上，融合数学与编程实践，能为专业课的课程实践打下良好基础。

在培养目标方面：知识上主要使学生掌握数值计算的基础原理和方法，包括解线性方程组的直接法、插值法与最小二乘法、数值积分与微分、常微分方程数值解法和逐次逼近法等；能力上着重培养学生数值建模、开展航空航天工程应用的素养和能力；价值上塑造学生严谨细致的科学思维，追求精确与工程近似的辩证思维，以及志在空天、追求卓越的内在品质。

一、课程面临的教学难题

（一）实践内容简单，与空天工程领域结合不紧密

计算方法需要将数学理论与编程应用进行紧密联系，编程实践非常重要，学生必须学会将公式转换为程序。传统实验内容大多为数值求解简单数学表达式，缺乏空天问题引导，与工程领域结合不紧密，导致学生缺乏兴趣，实践效果较差。

（二）教学内容分支多，知识体系构建与综合运用难

由图1 可知，课程主要内容包括5 大类30 余种具体方法，分支较多，学生很难理顺课程知识体系内在逻辑关系和算法相互依托关系，更难开展综合运用。

图1 课程教学内容分支

（三）课时紧张，理论与实践难平衡

在改革开展前后，课程均为32 学时。改革后，新加入4 个实验与1 个综合研讨，使得原本并不宽裕的理论讲授课时被大大压缩，但仍然需要讲授如此多的方法，课内学时更加捉襟见肘。

二、线上线下混合式教学改革

线上线下混合式教学为解决上述难题提供了新的思路。为实现“高效教、主动学”的效果，针对三大重点难题，课程通过竞赛性实验与在线测试激发学生兴趣，促使学生追求优秀；通过多维度全过程考核体系激励学生开展实践、开展自学；基于异步SPOC（Small Private Online Course）搭建线上课堂，课内强调重难点，课外拓展知识面，提高效率；建设贯穿全程的航天案例体系，帮助构建知识体系，贯彻学以致用。总体可概括为“基础理论线下学，实践能力线上练，知识延展线上研，航天案例穿针线”，如图2 所示。

图2 混合式教学改革总体思路

在线上线下内容与课时分配方面，核心章节理论部分22 学时，主要以线下课堂讲授为主，线上SPOC 等为辅；实验及综合研讨10 学时，以线上实验为主，线下引导为辅。

（一）线上教学环境构建

基于东北大学的国家精品MOOC 数值分析，构建SPOC 线上课堂，老师专门分配部分易学或拓展知识点作为自学内容，学生基于MOOC 视频、课件和在线习题开展自主学习，部分缓解课内教学课时有限的问题；并利用雨课堂开展前测、后测与课堂互动，进行作业发布与批改、平时成绩统计等；利用腾讯会议、QQ 群课堂进行在线教学、集体答疑与研讨教学，利用微信群分享课程资料，全天候辅导答疑，打破学生与老师交流的时空限制。

（二）线下教学改革

线下教学改革重点是帮助学生建立知识体系架构，理顺知识点内在逻辑。围绕交会对接任务不同阶段涉及的数值计算需求，针对课程内容设计贯穿课程主要知识点的案例体系，如图3 所示：火箭上升与初始轨道确定需要用到插值与最小二乘，远距离轨道机动计算需要求解非线性方程，近距离轨道机动计算需要求解线性方程组，组合体轨道外推需要求解常微分方程组，机动参数的优化计算中需要用到数值微分。

图3 贯穿主要知识点的案例体系

课程思政方面，从我国数学家推动计算方法发展及Euler、Kepler 等相关著名科学家励志故事入手，引导学生发现数学之美、程序之美及对立统一思想等，激励学生志在空天、追求卓越。例如：讲线性方程组求解的直接法时，通过《九章算术》中“上禾三秉”相关内容引入，激发学生兴趣与民族自豪感；讲解常微分方程求解的Euler 法时，介绍Euler 膝上抱着孩子推公式的故事及失明后仍然发表数百篇论文的故事，激励学生排除干扰、刻苦学习；讲解非线性方程的迭代解法时，以航天领域的Kepler 方程为例题，并介绍Kepler 虽然视力不佳但通过对老师Tycho Brahe 观测数据的分析提出行星运动三大定律的故事，引导学生不畏艰难，找到适合自己的发展道路。

（三）线上实践训练

建设了由纯数学渐入航空航天工程实践的4 组15个实验案例，每组实验都有案例源自空天工程。解线性方程组实验引入了交会对接近距离导引机动计算的线性方程组求解案例；插值与最小二乘实验引入了火箭上升段大气密度插值计算案例与小行星轨道确定案例；数值积分实验引入了航天器轨道椭圆积分案例；常微分方程组数值解实验引入了二体轨道步进求解案例等。上述案例分别与空天飞行力学、空气动力学等专业课相关，夯实数值计算基础的同时，建立了高等数学、计算机程序设计等基础课知识与专业课内容间的联系。

参考团队获得世界冠军的国际空间轨道竞赛模式，开发在线实验平台（图4），对学生程序进行自动验证，并基于正确性、提交时间和运行效率进行排名，并向所有学生实时发布，提高教师审核效率，激励学生争创优秀；基于SPOC 对在线实验中遇到的理论知识进行回顾与加强；基于微信群实时分享最新问题、编程错误、结果，实现实验中同学间、师生间实时充分交流。

图4 竞赛性在线数值实验平台

（四）考核方式改革

课程考核采用“形成性考核+期末闭卷考试”模式，形成性考核占比30%，包括SPOC 学习记录、数值实验在线排名、数值实验报告和综合性大作业报告等过程数据，激励学生主动开展在线学习、数值实验、追求卓越。

教学实践中，由于实时在线排名的压力，原本只在上课时才看实验内容的学生，开始注重课前预习；原本课后一周还不能完全完成的数值程序实验，一小半学生课内就能完成，剩下的大部分学生课后当天晚上就能完成。

由于采用开放式大作业命题，学生们没有受困于题目本身，充分发挥了各自的聪明才智：有的同学用插值来估计疫情的发展趋势，有的用拟合来完善化学反应方程式，有的采用外插方法预测房价，有的用拟合来分析导弹轨迹，还有的用简单迭代法解出了平时解不出来的复杂非线性方程。为了完成好大作业汇报，学生之间分工协作，尝试以更恰当的方式展示自己的成果。综合性大作业既锻炼了学生的实践能力、交流表达能力，也帮助学生从老师角度换位思考，有益于后续课程的学习。

为了避免学生形成理论考试与编程实践是完全分割的错误观点，在近年的闭卷考试中坚持保留程序填空类题型，如图5 所示。

图5 数值计算程序填空题示例

三、改革成效

一年多来，团队将混合式教学改革逐步推行至航空航天类专业全部教学班次，参与学生超过300 人，取得了显著成效。学生对课程满意度明显上升，课程负责人近年教学班次学生评教平均98.7 分；调查问卷中87%的学生反馈编程实践能力明显增强；为学生学习空天飞行力学、飞行器总体设计等专业课程提供了更好的实践基础，真正架设了基础课与专业课的桥梁。助力学生获国际空间轨道设计大赛冠军、国际数模竞赛特等奖、载人月面着陆飞行器设计大赛特等奖和中国国际飞行器设计挑战赛一等奖等。计算方法课程被评为2021 年湖南省线上线下混合式一流课程。

四、结论

针对计算方法课程课时紧张、教学内容分支多及实践内容与航空航天工程领域结合不紧密等问题，课程教学团队开展了线上线下混合式教学改革。通过竞赛性实验与在线测试激发学生兴趣，促使学生追求优秀；通过多维度全过程考核体系激励学生开展实践与自学；搭建SPOC 线上课堂，课内强调重点与难点，课外拓展知识面，提高效率；建设贯穿全程的航天案例体系，帮助学生构建知识体系，贯彻学以致用。总体可概括为“基础理论线下学，实践能力线上练，知识延展线上研，航天案例穿针线”，在已完成的300 多名学生的教学中取得了良好的教学效果，可为相关课程的线上线下教学改革提供参考。

①https：//www.icourse163.org/learn/NEU-1002089009?tid=1450247479#/learn/announce.

②https：//www.icourse163.org/spoc/course/NUDT-1462396166.

③http：//202.197.9.198：8081/index.php.