面向工程教育的土木工程专业有限元课程探索

李培振，郑博文

（同济大学土木工程学院结构防灾减灾工程系，上海 200092）

随着我国基础建设的发展，以经验为主的设计、施工操作已经不能满足当下土木工程需求，取而代之的是基于计算机的数值模拟方法，运用理论，辅以强大的计算能力，对复杂条件下的工况进行模拟计算。作为20 世纪发展起来解决工程计算的方法——有限元，已广泛应用到多个研究领域，成为科研工作者、工程师解决实际问题的有力工具。作为新时代的土木工程从业人员，掌握一定的有限元理论，熟练使用有限元软件，已经成为一项必备的能力，同时学习有限元的相关知识也是当代土木从业人员加强自身竞争力和自我提升的有效途径之一。但目前在有限元的教学过程中，教师存在忽略理论，以软件操作为主的问题，这样的教学方式导致学生在有限元分析过程中，分析思路模糊，更甚者所建模型与实际情况差距过大，分析结果可信度下降。对此，本文将进行面向工程教育的土木工程有限元课程探索，提出以有限元常见单元讲解介绍为主，从一维杆单元到三维高次单元，从离散单元位移模式的假定，推导得到单元刚度矩阵，对整个有限元分析流程进行细致讲解的教学方法。教学过程中采用课后作业、课堂案例演示等多种方法，加深学生对有限元计算理论的理解，为之后学习有限元软件打下坚实的基础，提升学生运用有限元解决实际问题的能力。

6.2 淮海经济区的中心城市建设、商业中心度必然需要快速发展商业经济。徐州应该打造属于自己的整体商业品牌，真正地成为淮海经济区的商业中心，增强商业综合体对周边区域的辐射力，带动周边地区的经济发展。但徐州市中心城区的商业圈未形成一个整体，城市地区之间向心性偏弱，分布不均衡，集聚区域过于集中，老城片区整体商业综合体已处于饱和，集聚密度高，可以选择在城市西部和北部建设商业综合体。同时，徐州市正在修建地铁，公共交通建设将逐渐完善，交通便利度在商业综合体空间布局众多影响因子中的影响力越来越强，建议商业综合体的选址在地铁站附近，地铁站人流量大、可以带动商业综合体的发展。

1 课程重点

课程以有限元单元介绍为主，从二维到三维，逐步深入。有限元法分析步骤分为：建立有限元模型，形成总体刚度矩阵，施加荷载引入边界条件，求解节点位移单元应力分量等。有限元模型是有限元分析的基础。有限元分析中要选择合理的单元类型，对结构进行离散化，用单元来模拟分析对象，单元之间通过节点连接，因此单元的选择会影响有限元法的计算精度、计算效率及计算收敛性。分析过程中，能够用合理的单元对分析对象进行模拟，是建立在对单元基本特性充分理解的基础上。因此，在本课程中以面向工程为目的的有限元课程教学过程中，将对有限元中常用的单元进行讲解。目前有限元多数是以结点位移为未知量，从单元位移形函数的建立入手，推导得到单元的刚度矩阵，讲解等效节点荷载向量的建立，单元刚度矩阵集成到总体刚度矩阵，有限元方程的求解及后处理，让学生充分了解不同类型的单元，对有限元计算模拟流程有比较明确的了解与认知。

结合辖区范围内畜牧养殖产业发展现状，积极推广先进的畜牧养殖技术，切实做好暖棚养畜、优化牧草种植结构、牛羊舍饲半舍饲养殖、牛羊集约化规模化养殖、畜产品安全生产等先进技术的推广应用工作。逐步改变牧区长期依靠放牧养殖草食动物的习惯，缩短放牧周期，由春、夏、秋、冬四季放牧转变为夏秋放牧，冬春季节舍饲养殖，切实挖掘牲畜的生产能力。同时还应进一步加强科学技术研发能力，及时将研发出的最新成果转化为生产力，依靠基层地区技术推广队伍，将实用性的畜牧养殖技术送到千家万户，进而在较短时间内培养一批懂技术、会经营、善管理的新型养殖户群体，使其成为先进畜牧养殖技术、草原生态保护技术的应用主体。

2 课程内容设置

有限元法是一种基于数学和力学原理，以计算机为工具的数值计算方法。涉及微积分、线性代数、泛函分析、偏微分方程、张量分析、数值计算、理论力学、材料力学、结构力学、弹性力学等课程的知识。因此合理的课程安排对教学过程有着重要的意义，以下将对本课程的课程内容进行说明。

第六章等参单元，针对工程中一些结构的形状是比较复杂的，介绍了具有曲面形状的等参单元，介绍了等参单元在局部坐标向整体坐标转换的雅可比矩阵。在求解刚度矩阵和等效节点力积分运算所采用的数值计算方法——高斯求积法，之后介绍了有限元求解之后对应力计算结果的整理，采用的是单元平均或结点、总体应力磨平法等方法。

第四章平面高次单元，分析了三角形单元的优缺点，进而描述了平面分析中常用的矩形单元，介绍矩形单元的形函数，推导了四结点矩形单元的单元刚度矩阵以及单元等效节点荷载矩阵，讲述了更高次三角形单元形函数的构造方法。

第三章平面三角形单元，在上节课的基础上，对一般力学问题的求解方法进行说明，引出有限元是一种有效的求解工程实际问题的数值方法，对有限元求解的步骤进行简单说明，并以弹性力学的平面问题为例，介绍了三角形单元的构造过程，详细推导了单元刚度矩阵。并介绍了二维单元多项式位移构造模式及其需满足的基本条件。同时讲解了如何通过单元刚度矩阵集成到总体刚度矩阵、等效节点荷载向量的求解，以及如何引入边界条件。

第二章弹性力学的基本问题，对弹性力学的基本方程进行介绍，有限单元法这门课程及内容非常广泛，不可能都一一加以介绍学习，本课程的基本出发点是土木工程中如何应用有限单元法去解决结构设计中的力学分析问题，重点是掌握弹性力学有限单元法的基本原理和基本方法。对此简单回顾和介绍弹性力学中的一些基本方程和基本问题，弹性力学有限单元法是基于这些基本方程产生相应的计算格式。通过力学当中简单弹性力学问题的引入过渡到有限元数值方法的讲解。

第九章有限元法中的动力学问题和非线性问题，本章节主要介绍有限元在结构动力分析非线性问题方面的应用，对有限元分析中的自由振动分析和动力响应分析的计算理论进行了介绍。其次，介绍了常见的非线性问题、几种求解非线性问题的方法，直接迭代法、牛顿—拉裴逊（Newton—Raphson）法、荷载增量法。

第七章杆单元和梁单元，主要介绍了在结构力学分析中常用的两种单元，杆单元和梁单元，对各自的位移形函数进行了讲解，推导了单元刚度矩阵及等效节点荷载向量，并通过一定的实例进行了详细阐述。

第一章概述，对有限元的基本定义和思想方法进行介绍，概述有限元发展的历史，有限元分析主要的应用领域，常见有限元软件的介绍，不同软件的对比，有限元相较其他数值计算方法的优缺点，以及本课程中用到的参考书，使学生对有限元有初步的了解。

第五章空间单元，实际工程中，一般说来都属于空间问题，极少数问题可以简化为平面问题。因此本章将介绍弹性力学一般空间问题的有限元法的基本概念，结合四面体单元、六面体单元进行说明，分别介绍了四面体单元、六面体单元的位移形函数，推导了四面体单元、六面体单元的刚度矩阵以及各自的等效节点荷载向量。

第八章板壳单元，板壳结构在实际工程中也有着广泛的应用，因此需要对板壳单元进行简单介绍。首先界