着力方法探究 促进思维进阶——一道中考几何作图题的解法探索与思考

杨牛扣 (江苏省泰州市姜堰区第四中学 225500)

2022年泰州市中考数学第25题第(2)小题是一道尺规作图题，题目虽小，但很精辟，起点低、入口宽，在原有知识基础上考出了新高度.该题融入了多个知识点，蕴含着多种数学思想方法，要求学生有一定的分析推理、逻辑思维能力，体现了从考查知识到考查能力和素养的转变，可以深挖，扩大教学价值．

1 试题呈现

(2022年江苏省泰州市中考第25题)已知在△ABC中，D为BC边上的一点．

(1)如图1，过点D作DE∥AB交AC边于点E．若AB=5，BD=9，DC=6，求DE的长．

图1 图2 图3

(2)在图2中，用无刻度的直尺和圆规在AC边上作点F，使∠DFA=∠A．(保留作图痕迹，不要求写作法)

(3)如图3，点F在AC边上，连结BF,DF．

本文主要研究第(2)题尺规作图．

2 新课标视角下的几何作图题解读

2.1 以生为本，递进式构建问题链

本题是试卷的倒数第二题，应该有一定的难度，但该题从学生的角度出发，设置了三个梯度明显的问题，递进式引导学生分步解决，减轻了学生的恐惧心理，提升了信心．第(1)题是起点低的基础题，由DE∥AB，得到△DEC∽△ABC，从而直接可得DE=2；第(2)题尺规作图，有多种解法；第(3)题考查直线与圆的位置关系，需借鉴第(2)题的思路分析，利用面积关系和平行关联出相似，进而进一步求解．所以第(2)题是解决本题的关键，承上启下．第(2)题的基本思路是作一个角等于已知角，平时的画法是先画一条射线，以射线的端点为待定角的顶点，再作出与已知角相等的角．而本题考出了新花样，角的顶点是待确定的点，直接用尺规作图显然难以完成．因此，必须要转移，但怎么转移、依据什么方法转移，是本题思维进阶的精彩之处．

2.2 基于课标，动静中凸显素养观

《义务教育数学课程标准(2022年版)》提高了尺规作图的教学要求：让学生在经历尺规作图的过程中，增强动手能力的同时，更加注重作图原理的探寻、空间观念和逻辑思维的发展．本题以尺规作图为背景，关注方法探究，设置思维生长路径．从第(2)题开始，为学生的思考留白，聚焦初中数学相似、等腰三角形、直角三角形、圆等核心知识，将知识、方法和能力以及数学的素养融为一体，有较好的区分度、信度和效度，要求学生动手画(草图与尺规作图相结合)和动脑想(直观思考与逻辑推理相结合)，在数形结合、动(画图)静(思考)交替中凸显数学核心素养的培养．

3 解法赏析

五种基本作图是尺规作图的精华，是解决复杂尺规作图问题的基础[1]．面对相对复杂的几何作图问题，找到作图的思路是难点，常用的方法是“画一画、试一试、证一证”，即以结论推条件，先假设已作好，画出草图，然后借助几何直观进行逻辑分析，探索出作图方法，最后通过演绎推理再加以验证．

思路1构造平行和等腰三角形(梯形)转移角．

画法1 如图4，以D为顶点，作∠CDE=∠B，交AC边于点E，则有DE∥AB；再以点D为圆心、DE长为半径画弧，交AC边于点F，进而得到∠DFA=∠A．所以点F即为所求．

图4 图5

画法2 如图5，以点B为圆心、BA长为半径画弧，交CA的延长线于点E，则有∠BEA=∠BAE；再以D为顶点，作∠CDF=∠EBC，交AC边于点F，则有DF∥BE，进而得到∠DFA=∠BAC．所以点F即为所求．

评析平行线和等腰三角形是几何题中转移角最常见的模型.画法1依据第(1)题顺势而得，是最直接的思路，先依据确定的顶点D，作出一个等角，构造平行的特殊位置关系，将∠A“平行”转移至以E为顶点的角，再利用等腰三角形，将∠A“方向”转移，进而求解．画法2与画法1的思维路径一致，只是转移顺序相反．

画法3 如图6，以点D为顶点，作∠BDE=∠C，交AB边于点E，则有DE∥AC；再以D为顶点，作∠EDF=∠AED，交AC边于点F，进而得到∠DFA=∠A．所以点F即为所求．

图6 图7

画法4 如图7，以点D为顶点，作∠BDE=∠C，交AB边于点E，则有DE∥AC；再作线段DE的垂直平分线交BA的延长线于点P，连结DP交AC边于点F，进而得到∠DFA=∠BAC．所以点F即为所求．

评析抓住∠DFA=∠A具有公共边的特点，在画法1、2的基础上，转换角度，构造以公共边为一边的对应外角，依据等角的补角相等，自然形成画法3，只不过，此种画法要求学生要对等腰梯形的性质有所了解；若对上述性质不了解，可再利用平行转移角，由相等的角关联到相等的边，从而形成作线段DE中垂线的思路(画法4)．

思路2构造相似三角形转移角．

画法5 如图8，以点C为顶点，作∠ACE=∠ACB，交BA的延长线于点E；再以点D为顶点，作∠CDF=∠CEA，交AC边于点F，进而得到∠DFA=∠BAC．所以点F即为所求．

图8 图9

画法6 如图9，以点A为顶点，作∠BAE=∠C，交BC边于点E；再以点D为顶点，作∠CDF=∠CAE，交AC边于点F，进而得到∠DFA=∠BAC．所以点F即为所求．

评析受思路1的启发，继续以寻找相等的角为突破口，不难关联出∠DFA的另一个外角∠DFC，画出草图，由不确定到确定，自然联想到相似三角形的对应角相等.画法5是向外作相等的角，画法6是向内作相等的角，分解∠A．

思路3构造直角三角形转移角．

画法7 如图10，过B,D两点分别作AC边及所在直线的垂线，垂足分别为M,N；再以D为顶点，作∠NDF=∠MBA，交AC边于点F，进而可得∠DFA=∠BAC．所以点F即为所求．

图10 图11

画法8 如图11，以点B为顶点，作∠CBQ=∠C，则有BQ∥AC；分别过A,D两点作射线BQ的垂线，垂足分别为M,N；再过点D作∠NDE=∠BAM，交BQ于点E，延长ED交AC于点F，进而可得∠DFA=∠BAC．所以点F即为所求．

评析依据最近发展区理论，在思路2相似三角形转移角的思路启发下，可以多点开花，构造特殊三角形(直角三角形)转移角．画法8只是极少部分学生的画法，其实质是画法7的延伸，换了一个作垂直的方式，但体现了灵活的思路和扎实的基本功，以及良好的解题素养．

4 教学导向

4.1 关注新课标，正确引导几何作图的教与学

新课标的新要求是我们教学的内容和方向．细化到平时的尺规作图教学中，既要夯实基础，强调五种基本作图的画法，更要注重基本图形和几何直观的重要性，引导学生探索作图的方法，培养学生的探索性思维(包括直接思维、发散思维、联想思维)和直观想象力、逻辑推理能力[2]．

本题的精彩之处在于一环套一环，先由基础的相似求线段长，再以作一个角等于已知角的基本作图为切入点，最后关联应用．尽管第(3)问有些难度，但整个题目的灵魂在第(2)问，借助于尺规作图，要求学生利用几何知识加以解决，这是教学中引导学生探究几何作图的常用路径．

4.2 聚焦生长性，深入探究尺规作图的本质特征

如何确定点F是本题的突破点，如果只是简单地从尺规作图的角度去思考，就会很难找．解决尺规作图问题的基本思路是“倒过来想”，面对“∠DFA=∠A”的原始问题，先假设这一点已存在，然后画草图分析，用几何的知识分析推理；有了思路，再细化分解成若干基本作图.这就要求学生能跳出尺规作图看尺规作图，不能仅单纯地记住尺规作图的画法，要善于寻找条件知识与结论知识之间的逻辑关系或转化轨迹[3]．这样的思考体现了数学解题过程与结果的统一，其实质就是彰显了数学教学的生长性．学生通过画草图分析推理，在画中思、在思中画，实现“怎么想”“怎么想得到”层层递进的深入思考，形成数学思维的生长链，在几何作图中享受数学思维生长的全过程，这一过程正是新课标下尺规作图本质特征的体现．

“教育的本质就是一棵树摇动另一棵树，一朵云推动另一朵云，一个灵魂召唤另一个灵魂．”平时的教学中，我们要注重提炼几何图形的特征，引导学生追根溯源，关注知识链生成，积极探索作图方法，尝试一题多解、一题多图，让学生在动手实践和推理分析中积累经验，生长思维．