最大熵原理在润滑油光谱数据界限值确定方法中的应用

郑远春

(92571部队，海南 三亚 572021)

随着设备现代管理要求的日益提高，运用多种技术手段，跟踪设备运行状态，及时发现故障隐患，实施基于状态的维修策略，是当今设备管理的通行做法。对于具有摩擦副的油液润滑设备而言，油液分析技术是十分有效的手段。原子发射光谱作为最常用的油液分析技术，能直观准确地获得润滑油中所含各种金属磨损产物的化学成分和含量，应用范围十分广泛。

原子发射光谱技术用于监测设备磨损状态时，首先需要确定各磨损元素的界限值。界限值的确定常用经典的三线值法，这是一种基于统计学原理进行数据处理的方法，它假定观测数据服从正态分布，以数据的统计特征来表征机械设备的磨损状态，认为设备磨损状态的危险程度与数据偏离一阶矩值的大小成正比，据此确定数据分析的参考准则。对数据样本量小、先验概率分布未知的情况，以三线值法确定润滑油光谱检测数据的界限值，用来评价的机器设备磨损状态将不准确。最大熵概率分布估计作为一种优秀的统计理论工具，能求出给定信息条件下数据最无偏、最一致的概率分布，具有广阔的应用前景。本文将最大熵理论应用到油液光谱数据处理中，通过求解磨损元素质量分数的概率密度函数，分析数据的统计规律，将制定的最大熵诊断准则应用于某型船用轴系支点轴承润滑油的光谱检测数据分析，以铁元素为例求出界限值。

1 基于最大熵原理的界限值确定

1.1 最大熵原理

最大信息熵原理就是在给定所有满足约束条件的概率密度函数中，将信息熵最大的概率密度函数为最佳的概率密度函数。在概率论中，熵的定义为：

(1)

式中，S为熵；f(x)为概率密度函数。

若x为一个连续型随机变量，其概率密度函数f(x)满足以下条件：

(2)

(3)

式中，Mi为x的i阶原点矩，经样本计算得到。

最大熵法转化为在式(2)、式(3)约束下求式(1)最大值问题，其中z0(x)、zi(x)为约束条件中间变量。构造拉格朗日函数L(x)，如式(4)、式(5)所示:

(4)

(5)

式中，β0，β1，β2，…，βn为拉格朗日乘子。

(6)

最大熵概率密度函数求解问题转化为求拉格朗日乘子βi(i=0，1，2，…，n)。

建立残差模型如式(7)。

(7)

1.2 数据分析模型

油液光谱数据分析的数学模型主要有质量分数模型、梯度模型。质量分数模型是根据检测元素的质量分数对设备磨损状态进行评价；梯度模型是依据单位时间的油液中检测元素质量分数的增长量来反映设备磨损程度和变化趋势。

在机械设备的使用过程中，润滑油因油品变质或磨粒过多，必然采取换油措施，使得油液中各元素的质量分数大幅度下降，与此同时，换油使得磨粒质量分数梯度变成负值，而无实际意义，需要以换油时间点为起点重新计算磨损元素的梯度值。因此，在对光谱检测数据进行分析的时候，应该尽可能用几种模型分别确定界限值，发现任何模型的界限值超标，就应该发出警报，采取相应的响应措施。

1.3 界限值确定方法

用最大熵概率密度法确定未知分布规律的观测数据界限值具有实用性。在制定数据概率划分准则的时候，无论数据处于何种分布，与异常事件相对应的状态异常概率划分准则与三线值法相同，数据的正常、警告和危险界限值控制区间所对应的发生概率也保持一致。借鉴三线值法中的状态划分方法，建立适用于任意概率分布的最大熵准则。设y为检测数据测量值，f(x)为经过最大熵原理求解得到的概率密度函数，由光谱数据非负性x≥0，得出数据落在区间[0,y]的概率p(y)为：

(8)

对已经求解出来的概率密度函数f(x)，进行数值积分，结合状态分级评价准则可求得正常、警告和危险3个状态分界点，分成4个状态区间[2]，状态评价区间见表1。

表1 状态评价区间

p(y)≤0.841 3时，y小于正常界限值，机械设备磨损处于正常状态；0.841 30.998 7时，y大于危险界限值，机械设备磨损处于危险状态。

2 最大熵方法应用

在制定油液光谱数据界限值的时候，要考虑到有梯度正常而质量分数异常、质量分数正常而梯度异常、质量分数和梯度同时异常的几种可能情况出现，因此，本文以某型船舶轴系支点轴承润滑油近两年的铁元素光谱数据为分析对象，应用最大熵概率密度法，针对质量分数模型、梯度模型求出铁元素的概率密度函数，分别确定2种模型的正常、警告和危险状态界限值。其他光谱元素质量分数和梯度界限值用相同方法计算确定。

应用matlab分析软件编写最大熵概率密度函数求解程序，分别求出四阶矩约束条件下铁元素质量分数的概率密度函数为：

f(x)=exp(-3.585 3+14.528 7x-32.113 2x2+13.913 9x3+3.012 5x4) 。

(9)

铁元素质量分数梯度的概率密度函数为：

f(x)=exp(-0.070 5+3.766 9x-9.151 3x2+0.486 8x3+2.151 7x4)。

(10)

根据前面介绍的界限值求解方法，分别确定铁元素质量分数和梯度的正常分界点、警告分界点、危险分界点，油液光谱铁元素质量分数和梯度分界点见表2。铁元素质量分数最大熵概率密度函数和概率分布如图1、图2所示，铁元素质量分数梯度的最大熵概率密度函数和概率分布图分别如图3、图4所示。

表2 油液光谱铁元素质量分数和梯度分界点

图1 铁元素质量分数最大熵概率密度函数图

图2 铁元素质量分数概率分布图

图3 铁元素质量分数梯度最大熵概率密度函数图

图4 铁元素质量分数梯度概率分布图

机械设备摩擦副的磨损是渐进性变化的过程，当通过界限值发现异常征兆时，需要缩短时间间隔进行一次加密取样，对异常状态进行确认，若数据降到正常范围，设备保持继续运行，加强跟踪监测。反之，如果加密取样分析后，确认了异常状态，则要立即停机检查，进行视情维修。在确定油液光谱数据界限值的时候，需要注意几个方面的问题。①不同设备的油液样本应该基于不同元素建立光谱数据界限值；②在数据样本足够的情况下，不同工况的同型设备的油液光谱各个元素界限值要根据各自样本数据分别确定；③在设备使用过程中，随着检测数据的不断积累，应及时将相应的界限值进行修正。

3 结束语

1)通过最大熵方法确定的光谱分析元素质量分数模型、梯度模型界限值，能够用于判断机械设备的磨损状态，后续需要用其他方法加以验证。

2)应用最大熵原理确定的油液光谱数据判断准则可适用于其他元素的界限值确定。