面向大振幅低频振动的重力倒摆式准零刚度隔振器研究

陈文华， 黄伟稀， 郝夏影， 何 涛， 梁 赟

(中国船舶科学研究中心 船舶振动噪声重点实验室，江苏 无锡 214082)

Alabuzhev等[1]首先全面论述了准零刚度隔振系统理论，并提出了多种准零刚度实现方式。准零刚度设计中最为经典的是Carrella等[2-3]提出的三弹簧式结构，之后基于该形式国内外学者进行了广泛的研究。Gatti等[4-5]设计准零刚度隔振系统，并进行静态动态分析；赵权等[6]采用三弹簧式准零刚度结构设计车载隔振系统，经验证取得了较好的低频隔振效果；赵含等[7]利用三弹簧式准零刚度隔振器对船舶推进轴系振动进行控制；康冰冰等[8]对三弹簧式准零刚度隔振器超载情况下的次谐波响应进行了研究。此外，借鉴该设计形式还出现了屈曲梁[9-10]、欧拉梁[11]、凸轮-滚珠-梁[12-13]等负刚度结构。但这些结构形式的准零刚度区间较小，当振动幅值较大偏离相应位移区间后，等效刚度值迅速升高，不能发挥准零刚度隔振的优势。且现有研究大多针对单方向的振动控制，很少涉及多自由度的隔振研究，不便于实际应用。

本文着眼于大振幅低频振动的隔振问题，首先分析两种典型的三弹簧式准零刚度结构的刚度特性，选取准零刚度位移区更大的结构形式进行隔振器设计。然后提出一种利用重力作用实现负刚度的倒摆结构，该设计能够拓宽准零刚度位移区，适用于大振幅振动的低频隔振。最后结合三弹簧和倒摆结构，完成多向准零刚度隔振器设计，并通过仿真分析验证了该隔振器的低频隔振效果。

1 三弹簧式结构准零刚度特性分析

准零刚度结构大多为三弹簧式正负刚度并联的形式，由两个预压缩的线性弹簧水平放置构成负刚度结构，与竖直放置的正刚度弹簧一起构成准零刚度系统。其布置形式按照水平弹簧是否转动分为两种，模型一添加水平约束不可转动，如图1所示，弹簧只能水平移动，弹簧与承载平台之间通过连杆相连；模型二水平弹簧可转动，弹簧直接与承载平台相连接，如图2所示。

图1 水平弹簧不可转动结构Fig.1 Horizontal spring non-rotatable structure

图2 水平弹簧可转动结构Fig.2 Horizontal spring rotatable structure

分析两种结构形式的准零刚度特性，首先采用拉格朗日方程计算图1所示结构的刚度特性。当O点受到不平衡激励时，结构偏离平衡位置受到两连杆在竖直方向的作用力分量，成为准零刚度结构。假设O点向下的位移为x，水平弹簧刚度为kH，竖直弹簧刚度为kV，连杆长度为L，水平弹簧的预压缩量为ΔL，则系统振动时的势能为

(1)

系统势能为力F在位移x上做的功，对位移求导可得到作用力F。

(2)

(3)

(4)

(5)

式(5)即为图1所示结构的准零刚度实现条件。通过分析可以发现，负刚度是通过附加在运动方向上额外的作用力实现的，因此竖直方向上的作用力大小是关系刚度特性的核心因素。图1所示结构是通过连杆将预压缩弹簧的力作用至竖直方向上，对其进行受力分析，如图3所示。由图3可以看到，连杆方向的力为弹簧水平力f的一个分量f1，这对于构建负刚度结构是不利的，该分力大小为

图3 模型1受力分析图Fig.3 Stress analysis diagram of model 1

(6)

图2所示结构的水平弹簧可转动，这种结构可以充分利用预压缩弹簧的作用力。对其进行受力分析，可得到预压缩弹簧作用到竖直方向的作用力为

(7)

式中：a为弹簧处于水平位置时长度；x为竖直方向的振动位移。由此得到整个隔振系统在竖直方向的合力为

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

将式(12)代入式(11)得到

(13)

图4 两种结构无量纲化位移-刚度特性对比Fig.4 Comparison of dimensionless displacement-stiffness characteristics of two models

从图4还可以看到，参数α对刚度特性有一定影响，以“零刚度”区更大的可转动式结构为研究对象，分析配置参数对刚度特性的影响。不同参数值下的“位移-刚度”特征，如图5所示，由图5可以看出，随着刚度比值的增加，尤其当α>2后刚度特性曲线逐渐变陡，即大位移下的等效刚度增长速度提高。因此，图2结构的刚度比取值范围应为0<α≤2。

图5 图2结构位移-刚度特性Fig.5 Dimensionless displacement-stiffness characteristic of Fig.2

观察α的建议取值范围内不同参数下的具体刚度特性，如图6所示。由图6可以看到，当刚度比值较小时(如图6中α=0.1和α=0.2的曲线)，偏离平衡位置后的小位移区间内存在刚度突变特征，等效刚度迅速升高，“零刚度”区间较窄，随着偏离距离的增大曲线逐渐趋于平坦；当刚度比值较大时(α>0.5)，曲线不存在突变特征，但刚度值随位移的增大迅速增加。综合来看，α=0.5为最优选择，此时刚度特性曲线没有突变现象且随着位移的增加等效刚度的增长速度较慢。

图6 不同刚度比值下的位移-刚度特性曲线Fig.6 Dimensionless displacement-stiffness characteristic curve at different stiffness ratios

2 重力倒摆式准零刚度结构

根据第1章分析，实现准零刚度的关键在于提供支撑方向的反作用力，使等效刚度变小。水平预压缩弹簧的作用力会随着振动位移的增大而变小，也就是说当振动位移幅值较大时预压缩弹簧便失去了作用。理想情况是反作用力不随振动位移的增大而减小，为此本文提出重力倒摆式准零刚度结构。

倒摆的受力分析，如图7所示。整体上看倒摆呈现“头重脚轻”的形态，重心位于头部。初始状态下倒摆在竖直方向上平衡，受到扰动激励后在重力的作用下倒向一侧，由于其重心位于头部，因此重力力矩随着倾斜角度的增大而增大，这对于拓宽“零刚度”位移区间是有益的。利用倒摆的这种特性，结合弹性卷簧可构成准零刚度结构，卷簧位于原点O处，提供倒摆回复到竖直平衡位置的正作用力矩，与倒摆的重力力矩一起，实现准零刚度。

图7 倒摆受力分析图Fig.7 Force analysis diagram of inverted pendulum

假设倒摆向一侧偏转的角度为θ(单位：rad)，则重心在水平方向偏移的距离为d=R×sin(θ)，此时重力产生的力矩大小为

M2=d·G=R·sin(θ)·G

(14)

设卷簧的刚度为M1，则转角为θ时系统的受力为

T=M1·θ-R·G·sin(θ)

(15)

设由于转动而产生的弧长为位移x，又由于转角θ与弧长x之间存在关系x=R·θ，因此式(15)可改写为

(16)

(17)

(18)

(19)

图8 倒摆无量纲化位移-刚度特性曲线Fig.8 Dimensionless displacement-stiffness characteristic curve of inverted pendulum

3 准零刚度隔振器设计与验证

根据第2章的分析，构建一种可隔离多向大振幅低频振动的准零刚度隔振器，其结构如图9所示。该隔振器可分别对水平方向和竖直方向振动进行进行隔离，其中水平方向采用重力倒摆式准零刚度结构，竖直方向采用可转动弹簧式准零刚度结构。

图9 隔振器结构设计图Fig.9 Structural design drawing of vibration isolator

倒摆部分局部细节，如图10所示。倒摆头部曲面为圆弧，以保证摆动时上部承载平台始终位于同一水平面上。承载平台与箱体之间设置有导向槽，防止运动偏移。

图10 倒摆部分局部细节图Fig.10 Partial detail drawing of inverted pendulum

根据隔振器设计进行动力学仿真分析，对比添加负刚度构成准零刚度振动系统前后的隔振性能，以验证隔振器的低频隔振优势。其中，倒摆式准零刚度的实现是将倒摆的重心按实际情况设置在头部，与之对比的情况是将重心设置在圆心位置。设置重力场方向为竖直向下，部件之间根据设计要求添加运动约束。根据分析，三弹簧式准零刚度结构选取刚度比值α=0.5。

在上部承载平台上添加水平和竖直两个方向的激励，在隔振器底部拾取振动响应，进行频域振动分析。仿真得到的各方向振动传递特性如图11、图12所示，由图11、图12可以发现：添加负刚度构成准零刚度结构后，能够明显降低隔振器减振频率，尤其是重力倒摆式准零刚度结构可降低隔振频率15Hz以上，如表1所示，大大提高了低频隔振效果。

图11 水平方向振动传递特性Fig.11 Vibration transmission characteristics in horizontal direction

图12 竖直方向振动传递特性Fig.12 Vibration transmission characteristics in vertical direction

表1 隔振频率汇总表Tab.1 Summary of vibration isolation frequency

4 结 论

本文针对大振幅低频振动的隔振问题，开展准零刚度隔振器的分析研究，创新提出新型重力倒摆式准零刚度结构，结合典型的三弹簧式准零刚度结构完成了可隔离多向振动的准零刚度隔振器设计，并通过仿真验证了隔振器的低频隔振优势。主要结论如下：

(1)典型的三弹簧式准零刚度结构中，水平弹簧可转动的结构形式具有更宽的准零刚度范围，适用于具有大振幅特征的振动隔离。分析了配置参数对等效刚度特性的影响，发现当弹簧刚度比值α=0.5时为最优配置，此时刚度特性曲线没有突变现象，且随着位移的增加等效刚度的增长速度较小。

(2)创新提出利用重力作用实现准零刚度的倒摆结构，分析其等效刚度并与三弹簧式结构准零刚度特性进行对比，结果显示倒摆结构的等效刚度在偏离平衡位置后仍保持较低数值，且随位移的增加刚度变化不大，具有更宽的准零刚度范围，相比三弹簧式结构具有显著优势。

(3)将倒摆结构与三弹簧结构进行组合，设计可隔离多向振动的准零刚度隔振器。仿真结果验证了隔振器的多向隔振有效性，可有效降低隔振频率，其中重力倒摆式准零刚度结构可降低隔振频率15 Hz以上。