MATLAB软件辅助高等数学教学的探讨

王 震

江苏大学数学科学学院 江苏镇江 212013

1 概述

高等数学作为一门高校非数学专业的公共基础课，其目的是培养学生的理解力和抽象思维能力。由于该课程具有内容抽象、逻辑性强、计算复杂等特点，在教学过程中学时受限，导致很多学生都觉得这门课程枯燥乏味，学习积极性不高。因此，在高等数学的教学过程中，如何能将抽象的内容可视化，复杂的计算简单化，激发学生的学习兴趣是每位高等数学教师必须面对和思考的问题。随着计算机的迅速发展及其在各学科领域的广泛应用，将MATLAB软件融入高等数学的教学，是一件有意义的尝试。此举不仅能将课本上的理论知识转化为实践，而且还可以提高教学的时效性。因为高等数学中涉及大量的计算，若运用手工演算不仅过程烦琐而且耗时大，结果的可信度也常常令人怀疑。而MATLAB软件具有强大的科学计算和数据处理功能，只需要调用里边的函数，问题便可迎刃而解。因此，在高等数学教学中辅以MATLAB数值计算，不仅给教学活动带来便利，而且激发了学生学习的兴趣和主动性，同时也培养了他们利用计算机解决实际问题的操作能力。

本文主要探讨如何将MATLAB软件与高等数学教学有机结合起来，调动学生的学习积极性，同时提高课堂效率，减轻任课教师的负担。

2 利用MATLAB软件进行辅助教学

本节通过一些教学案例来阐述MATLAB软件在函数极限、定积分以及空间解析几何这三个方面的应用。

2.1 MATLAB软件在函数极限中的应用

极限方法是在探求某些实际问题的精确解答过程中产生的，是高等数学中研究变量的一种基本方法。求函数极限的方法也是多种多样，如定义法、等价无穷小代换、两个重要的极限公式、洛必达法则等。但是对于有些复杂函数的极限，用推理的方法不容易求出，而借助于MATLAB软件可以轻松解决。

在MATLAB软件中编写如下程序：

syms x

f=sin(sin(x))*(sin(x)-sin(sin(x)))/(x^4)；

ans=limit(f，x，0)

运行结果为ans=1/6。

在MATLAB软件中编写如下程序：

syms x y

f=x^2*y^2/(x^2*y^2+(x-y)^2)；

ezmesh(f，[-1，1]，60)

grid on

title('$f=frac{x^2y^2}{x^2y^2+(x-y)^2}$'，'interpreter'，'latex')；

图1 函数的图像

当然，MATLAB软件也可以实现函数的单侧求极限，如有一道题目：

在MATLAB软件中编写如下程序：

syms x

A=limit(2/(2+3^(-1/x))，x，0，'left') %函数在变量趋于0时的左极限

B=limit(2/(2+3^(-1/x))，x，0，'right') %函数在变量趋于0时的右极限

运行结果为A=0，B=1。

2.2 MATLAB软件在定积分中的应用

在MATLAB软件中编写如下程序：

方法1：利用int函数求定积分，其中int函数的调用格式是f=int(fun，x，xmin，xmax)%求函数fun的定积分，x是自变量，xmin是积分下限，xmax是积分上限。

MATLAB程序代码如下：

syms x

fun=exp(-x.^2).*log(x).^2；

ans=vpa(int(fun，x，0，inf))

运行结果为ans=1.9475221803007815975843164106279。

方法2：利用integral函数求定积分，其中integral函数的调用格式是f=integral(fun，x，xmin，xmax)%求函数fun的定积分，x是自变量，xmin是积分下限，xmax是积分上限。

Matlab程序代码如下：

fun=@(x)exp(-x.^2).*log(x).^2；

ans=integral(fun，0，inf)

运行之后可以得到与方法1同样的结果。

由于上述积分中被积函数的原函数不是初等函数，故该变上限积分不能通过数学式子直接表示出来，利用MATLAB软件编写如下程序：

k=0；

for x=0：0.01：6；

k=k+1；

f=@(t)exp(-t.^2)；

c(k)=quad(f，0，x)；

end

plot(0：0.01：6，c)；

grid on

title('$int_0^x{{e^{-{t^3}}}}dt$'，'interpreter'，'latex')；

xlabel('x')；ylabel('y')；

图2 变上限积分的图像

ans=0.88622692545275801364908374167057

由此，可验证定理的合理性。

例6 计算阿基米德螺线=(>0)上变量从0变到2的一段弧与极轴所围图形的面积。

首先可以通过MATLAB软件绘制待求面积的图形，程序代码如下(假设=2)：

x=0：0.02：2*pi；

y=2*x；

polarplot(x，y)

得到如图3所示的函数图像。

图3 阿基米德螺线ρ=2θ在区间(0，π)上的图像

然后再利用极坐标计算面积的公式求出从0变到2的一段弧与极轴所围图形的面积，程序代码如下：

syms a positive

syms t

S=int(1/2*(a*t)^2，t，0，2*pi)

运行结果为：S=(4*a^2*pi^3)/3

2.3 MATLAB软件在空间解析几何中的应用

很多同学在做空间解析几何问题时感到困难，主要原因是空间想象力不够，不能准确画出题目所给的区域。即使有些图形可以通过手工绘制出来，但不是很直观，仍然无法顺利解题。如果用MATLAB软件作图，就能使问题简化，而且可以达到事半功倍的效果。

在MATLAB软件中编写如下程序：

[x，y]=meshgrid(-6：0.2：6)；

z=x.^2/6-y.^2/8；

mesh(x，y，z)；

xlabel('x')；

ylabel('y')；

title('$ z=frac{ x^2}{6}-frac{y^2}{8}$'，

'interpreter'，'latex')；

运行程序，得到如图4所示的结果。

图4 二元函数的图像

在MATLAB软件中编写如下程序：

[t，r]=meshgrid([0：0.02*pi：2*pi]，[0：0.02：sqrt(5)])；

x=r.*cos(t)；

y=r.*sin(t)；

Z1=sqrt(x.^2+y.^2)；

Z2=sqrt(abs(4-x.^2-y.^2))；

z1=Z1；

z2=Z2；

z1(Z1>Z2)=nan；

z2(Z1>Z2)=nan；

mesh(x，y，z1)

hold on

mesh(x，y，z2)

axis equal

xlabel('x')；

ylabel('y')；

zlabel('z')；

图5 曲面和x2+y2+z2=5所围立体

结语

让MATLAB软件走进高等数学的课堂教学，可以将一些抽象的、难以理解的内容，以数值或者图像的形式表达出来，在不占用过多课堂时间的条件下，不仅丰富了课堂教学内容，也有助于调动学生的学习积极性。希望通过这种授课模式提高课堂教学效率和水平，推动高等数学教学改革和课程建设的发展。