提高大学数学学习的实用性：大学数学教学改革的突破口

杜红珍

宝鸡文理学院数学与信息科学学院，陕西 宝鸡 721013

大学数学是大学理工科学生不可或缺的一门专业基础课，是他们在大学阶段建构其专业知识体系的基石。但是从历年相关专业学情调查情况看，高校学生大学数学学习的现状很不乐观。近年来，关于大学数学教学，各级各类学校进行了一系列的改革，比如加强数学史、数学文化的教学，强化数学美的熏陶，但其效果却往往不尽如人意。大学数学教学到底应该怎样改革才能改变现状呢？实际上对于这个问题，我们可以转换一个角度发问：学习数学到底有什么价值？只有回归到大学数学学习的出发点，我们才能找到解决问题的突破口。

一、学习数学有何价值

有人说数学是“科学的皇后”，是指数学以其抽象的形式，追求高度精确、可靠的知识，成为人类思维方法的典范，并日益渗透到其他知识领域。一个人，不管他将来从事什么职业，思维能力可以说是无形的财富，而数学正是以其缜密的思维影响着人们。从事数学相关工作的人需要数学思维，从事物理、天文、生物、经济甚至历史、文学、政治等学科的研究和工作也需要数学思维。数学思维可以浓缩为两个字即“证”和“算”。“证”就是逻辑推理和演绎证明，“算”就是算法构造和计算。欧几里得几何原本以几条为数不多的公设或公理作为全书推理的出发点，构成了人类历史上第一个数学公理体系。

除了理工科里有数学知识，历史学、政治学、经济学、社会学中也有数学的影子。学过美国历史的人可能都记得《独立宣言》开头的那句话：“我们认为下述真理是不言而喻的：人人生而平等……”既然“人人生而平等”，英国国王违背了这条真理，人民自然就有权反抗他。把大家认为“简单而不可争辩的原则”和“不言而喻的真理”作为出发点，用数学的语言来说就是从公理出发。所以数学体现出的是严谨、求实、可靠、客观公正。关于数学的这种品质，爱因斯坦曾说过这样一段话：为什么数学比其他一切学科都受到特殊尊重，一个理由就是它的命题和结论是绝对可靠的和无可争辩的。牛津大学法律系课程中之所以有数学，他们看重的就是数学的这种客观公正的品质。培根名言“数学使人周密”也揭示了数学的这个作用。

数学除了具有严谨、求实、可靠以及客观公正的特征，还有个最大的特征就是它作为工具的实用性。与数学相关的名言除了“数学是科学的皇后”还有“数学是科学的仆人”，就是说一切科学都需要借助数学这个手段才能最终完成它在人类发展史上的重大使命。可以说，人类的发展史就是数学运用的发展史。恩格斯著名的《反杜林论》对于数学的产生是这样论述的：“数学是从人的需要中产生的；是从丈量土地和测量容积，从计算时间和制造器皿中产生的。”所以我们说，一切科学产生于实践，尤其是数学。伽利略认为宇宙就是一本用数学写成的大书，如果不掌握数学，怎么能揭示宇宙埋藏的秘密？物理学，从经典物理学到现代物理学，每一步的发展都离不开数学的作用。当伽罗瓦用“群”的概念来解释什么样的方程才能用根式来求解这个问题时，物理学家惊喜地发现，“群”正是他们需要用来描述一般对称性的精确语言。所以，有很多物理规律是在物理学家研究物理现象时借助数学而发现的，但也有很多像对称性的描述一样，是在数学家发现的规律的基础上形成的，这就是为什么有很多物理学家本身也是数学家的一个原因。实际上，在大自然和我们的生活中，可以说数学是无处不在、无时不在的：计算机、超音速飞机、CT、股市、信息安全以及精美的绘画艺术等等，都离不开数学。一句话，作为最古老的知识领域之一，在人类文明的发展进程中，数学发挥着巨大的作用。

数学的精密和严格常常让人产生联想。1976年，美国普林斯顿大学的库恩教授竟然是这样求次复系数方程z+az+…az+a=0的：他准备了一个培养皿和一个立体的大篱笆，这篱笆越往上越密。然后他把要解的方程的信息“告诉”培养皿，皿内吐出几个新芽，芽变成藤，飞快地攀上篱笆，一层一层往上爬。最后，每根藤恰好指向方程的一个根，于是方程的n 个根便被找出来了。与会者看得目瞪口呆，但这实实在在利用的还是数学上的方法，这就是拓扑学著名的“不动点理论”。数学所体现出的这种美千百年来让人着迷。著名的斐波那契数列产生于兔子的繁殖问题，但是也许连斐波那契都没有料到的是，随后人们在自然界中发现由该问题导致的数列是如此普遍地存在着，譬如向日葵上方向相反的两簇等角螺线的数目竟然是斐波那契数列的两个相邻项。还有菊花、牵牛花、马蹄莲、万代兰、大戟等等都体现出这一特征。就连蜜蜂中的各代雄蜂、雌蜂以及雌雄蜂总数也构成了斐波那契数列。当然，数学所体现出的符号、公式、概念的简洁性、和谐性、整体性和对称性更是美不胜收，让人陶醉其中。所以古希腊数学家普洛克拉斯曾说：“哪里有数学，哪里就有美。”哲学家罗素也发出这样的感叹：“数学，如果你正确地看它，不但拥有真理，而且也具有至高的美。”

综上所述，学习数学，让人体会到的是其广泛的应用价值、严密的逻辑推理和无处不在的美学价值。

二、大学生对数学学习不感兴趣的原因分析

数学一直贯穿小学、中学和大学教育阶段，理工类、经管类学科的研究生教育也离不开数学。数学的重要性不言而喻，有不少教师甚至认为得数学者得天下。既然数学具有如此重要的作用，为什么有很多大学生对数学不感兴趣呢？笔者试着从学生接受数学教育的两个阶段来分析。首先，在基础教育阶段，数学是小升初、中考和高考的必考科目，学校和教师都十分重视，往往把数学课安排在上午的黄金时段。家长也非常重视孩子的数学成绩，除了要求孩子认真完成学校布置的数学学习任务，还要给孩子购买数学教辅书和试题，在周末或寒暑假给孩子报线下或线上辅导班来提高孩子的数学成绩。“双减”政策出台后，部分家长还会在课余时间送孩子到培训机构补数学。然而，不少教师和家长发现，学校、家长的努力却常常事倍功半，学生偏科，对数学的学习兴趣不浓厚，认为数学枯燥乏味或者难懂难学，到最后甚至出现抵触数学老师的现象。为什么会有这样的结果呢？笔者认为主要问题在于部分数学教师的课堂教学模式没有与时俱进，没有认真考虑21 世纪“互联网+”时代背景下学生们的学习特点和心理特点。在过于追求升学率心理的支配下，部分数学教师简化了引导学生对知识点进行观察、发现、思考、领悟和应用的过程，忽视了培养学生对数学的求知欲、探索精神和应用乐趣，不深究数学理论及应用的讲解，只求记住知识点、会做题以及在考试中获得高分即可。比如高中数学有一节课的内容是等差数列的前n 项和，教师如果在讲解时引入高斯等差数列求和的典故，启发学生，让其推导等差数列求和公式，激励学生学习高斯对数学的研究探索精神，就能收到比较好的教学效果。然而，在教学实践中，有些教师是在黑板上写下等差数列求和公式，再列举几道例题让学生思考怎么用公式，讲完例题后布置几个练习题就结束了。学生们往往是先把老师讲的内容抄下来再记住，随后通过做作业巩固这个知识点。长此以往，学生在数学课上有时只接触到抽象的定义、冰冷的公式和烦琐的计算，感觉数学除了用来考试就没有什么用途了，至于数学的美和数学的乐趣早已感受不到。其次，在大学高等教育阶段，高等数学、线性代数、概率论与数理统计等大学数学课程都是理工类、经管类专业的专业基础课，这些课程对大学生计算能力、逻辑思维能力、空间想象能力和应用创新能力的培养至关重要。然而，不少学生在基础教育阶段没有培养起对数学学习的浓厚兴趣，加之大学数学比中小学数学难度大，涉及大量抽象、复杂的概念和定理，如果还是不求甚解，靠死记硬背可能连定义是什么都搞不懂，更不要说理解和应用定理。比如，高等数学课程中的数列极限，大学生一般都会计算该极限值，但是如果让其描述和解释该极限的定义，很多学生就答不上了，更不要说对其加以应用。还有，部分学生跨进大学的门槛后，没有了升学的压力，往往会片面地认为学习数学纯粹是为了获得学分，考前突击复习一下即可，而且认为数学对于当下专业学习或以后的职场用处不大，所以对数学的学习缺乏足够的动力和兴趣，导致其学习效果欠佳。

三、提高大学数学学习的实用性是促进大学数学教学质量提升的关键

针对大学数学教学的这种现状，一线的教师们尝试过各种各样的方法，比如分层次教学法。这种教学方法是教师在考虑到学生知识基础、智力因素和非智力因素存在明显差异的情况下，有针对性地实施分层教学，从而达到不同层次的教学目标。这种方法看起来做到了因材施教，有很强的针对性，但是它提供给学生的依旧是一套抽象的概念、符号和形式，学生得到的依旧只是形式化的公理化教学。教学追求的或者是效率，或者是学分、通过率，但没有数学的体验、理解和价值感，这种教学方法也不是能解决当前大学数学教学所存在问题的最优解。

还有一种观点，主张学生要像数学家那样，对这种知识形成过程，以及数学家做数学的理解、感悟和遭遇的直接体验和感受需要学生经历；数学研究和数学学习，是一个思想实验或“准实验”，要有投入者的亲身实践或体验。实际上，虽然我们知道数学是在假设、尝试、证明、接受反驳、调整等一系列复杂的有实践意义的过程中建立起来的，它经历了从不全面到全面、从不严格到严格、从不合理到合理的过程，也不是铁板一块，它需要尝试、修订和完善，但对于人类几千年来积累起来的文化知识，我们只需系统地批判、学习和接受，并不需要我们重走数学家经过的道路。

素质教育热兴起以后，在结合数学史、数学文化开展数学教育教学的基础上，还有人倡导数学返璞归真教学、数学语言教学、合情推理教学、逻辑推理教学、一般解题方法教学以及数学美育、数学发现法教育、数学家品格教育、数学史志教育，认为它们是全面且有效提高学生素质的教育方式。作为对数学文化知识的普及，这一提法无可厚非，也不无可取之处，但是在大学教学时间压缩的情况下如何取舍值得探索。

数学是在实践中产生并在实践中发展和逐步完善的。因为结绳记事，所以产生了数；因为对兔子生殖问题感兴趣，所以有了灵光一现的斐波那契数列；因为要建神庙，所以有了各种各样的测量工具；因为要解决光学问题、曲线运动的速度问题、曲线的夹角问题，结果产生了微积分；因为要解决“赌金分配问题”，所以有了当代科学的重要数学基础之一,而且还是当代社会和人类日常生活最必需的知识之一——概率论；因为要表现三维空间的真实场景，所以透视几何应运而生；等等。可以说，数学的每一个分支、每一次发展都起源于人类的生产生活实践，而数学对人类的生产生活实践又产生了巨大的影响。马克思说：“一门科学只有当它达到了能够成功地运用数学时，才算真正发展了。”学习数学，不是为了做题拿高分，不是为了考试过关，而是要解决现实生活当中存在的问题。当代大学生要摆脱数学学习的困境，最好的办法就是推动大学生利用数学工具解决人类社会面临的各种各样的问题。这种办法叫作问题驱动教学法。这里所说的问题，不是因为学习数学而产生的知识问题，而是生产生活中遇到的现实问题。那么我们还要不要教学生数学知识？答案是肯定的。但是和以往只注重数学理论和解题技巧讲解而缺少应用型问题解决引导，从而使学生只会解题不会应用的做法不同，在现代教育技术发展日新月异的今天，我们完全可以依托互联网，利用慕课资源开展翻转课堂教学、线上线下混合式教学等等，充分发挥师生的主观能动性，使双方围绕着问题展开教学。教师可以给出建议、辅导或答疑解惑，开展小班教学或个别指导。某个问题有可能用到的只是统计分析方法、线性规划方法、SWOT分析方法、AHP决策分析方法，也可能是模糊数学方法、分形理论、系统动力学方法、人工神经网络方法等，使学生掌握更多的数学方法并且能够解决实际问题，从而使学生不用教师督促也会自觉地投入到数学学习中。当然，这样做的前提是学生已经掌握了必要的数学知识和数学学习方法。

四、结语

数学是一门应用广泛的基础学科。随着信息技术和计算机科学的发展，与数学有关的一大批交叉学科应运而生，社会对大学生数学应用能力的要求也越来越高，重视培养具有良好数学基础和数学素质的大学毕业生越来越重要。但受我国数学教学传统模式的影响，大学生只会解题不会解决实际问题的现象仍然在一定程度上存在，特别是功利性的数学教学和题海训练，扼杀了学生数学学习的积极主动性、创造性。其改进的方向，就是在夯实数学思想教育基础的前提下，借助现代教育技术，不断创新大学数学的教学模式，构建线上线下混合式课程教学模式，并根据社会需求，让学生带着解决问题的目的有选择性地学习，让教师有针对性地讲授，不断提高大学生的数学素质和数学知识应用水平。