扭曲多高斯光束在梯度折射率光纤中的传输特性

张雅凯，郭苗军，李晋红，徐 翔，钱仙妹，朱文越，王 静*

(1.太原科技大学 应用科学学院，太原 030024；2.中国科学院 合肥物质科学研究院 安徽光学精密机械研究所 大气光学重点实验室，合肥 230031)

引 言

在实际激光产生中，由于设备的原因会出现光束像散和扭曲，且一般是不可控的。为了描述这类光束，1993年，SIMON和MUKUNDA构造了一种部分相干轴对称高斯-谢尔模光束[1]，在其结构中引入了扭曲相位，被称为扭曲高斯-谢尔模(twisted Gaussian-Schell model,TGSM)光束。扭曲相位具有固定的手性或旋向性[2]，且携带有轨道角动量(orbital angular momentum,OAM)[3]，使得光斑在传输过程中绕轴旋转，这一新颖的特性引起了科研人员对TGSM光束的研究兴趣。1994年,FRIBERG在利用两组柱透镜组成的光学系统实验产生了TGSM光束[4]，并证明了这种典型的扭曲光束可分解为互不相关的椭圆高斯光束的叠加[5]。此后，科研人员长期致力于研究扭曲光束在鬼成像[6]、粒子捕获[7]、自由空间光通信[8]、照明光源[9]等方面的应用价值。

相干和相位是光波的基本特性，它们之间是相互影响的。过去很长一段时间对扭曲相位的研究局限在了TGSM光束这一种模型，这是由于扭曲相位是用一个与光场横截面两点位置相关的相位因子描述，新型扭曲光束的产生依赖于对光场横截面两点位置相干结构的精确调控。得益于GORI在2007年提出的构造特殊关联部分相干光束的方法[10]，空间关联结构光束的调控及产生的研究因此迎来爆发式增长，许多具有特殊关联结构的光束模型被提出，例如多高斯-谢尔模(muti-Gaussian-Schell model,MGSM)光束[11]，余弦高斯关联谢(cosine-Gaussian-Schell model,CGCSM)光束[12]，拉盖尔-高斯关联谢尔模光束(Laguerre-Gaussian correlation Schell model,LGCSM)光束等[13]，其中，MGSM光束以其在远场的平顶特性引起了广泛的关注，研究者对其在大气湍流[14]、随机介质[15]、海洋湍流[16]中的传输特性进行了研究，其对抑制光束在大气湍流中的闪烁[17-18]和粒子捕获[19]等方面也有重要作用。近年来，得益于BORGHI等人提出的轴对称谢尔模光束是否可携带扭曲相位的判断条件[20]，以及GORI等人提出的一种构建无对称约束扭曲光束的方法[21]，新型扭曲光束不断地被提出并进行了研究[22-30]，如径向偏振扭曲光束[22-24]、扭曲阵列光束[25-27]、扭曲涡旋高斯-谢尔模光束[28]、扭曲拉盖尔-高斯-谢尔模光束[29]，以及扭曲椭圆多高斯-谢尔模光束[30]。

随着移动互联网、物联网和云计算等技术的高速发展，人们对于通信容量和速率的要求越来越高。扭曲光束携带有轨道角动量，为高速光纤通信提供了新的信息调制维度，将极大地提升系统的信道容量和频谱利用率。基于模式分解理论，部分相干光可看作多模式相干光的非相干叠加，多模光纤可用于传输多种模式的光束，常见的多模光纤为阶跃折射率和梯度折射率(gradient index ,GRIN)光纤。梯度折射率光纤具有自聚焦特性，脉冲色散低于阶跃折射率光纤，在光学制造[31]、自成像[32]、光束整形[33]等领域有广阔的应用前景。近些年来，研究者分别对电磁高斯-谢尔模光束[34-35]、电磁多高斯-谢尔模光束[36]、部分相干涡旋光束[37]、拉盖尔-高斯光束[38]在梯度折射率光纤中的传输特性进行了研究。然而，作为一种新型光束，扭曲多高斯光束在梯度折射率光纤中的传输特性鲜被研究。本文中基于Mercer展开理论[39]和交叉谱密度函数的非负性原则，证明了多高斯-谢尔模关联结构可携带扭曲相位，得到了一种椭圆扭曲多高斯-谢尔模光束，推导了其通过ABCD光学系统后交叉谱密度函数的解析式，并详细研究了其在梯度折射率光纤中传输时光强和相干度的演化特性。

1 理论模型

部分相干光束的2阶统计特性可用交叉谱密度函数来表示，多高斯-谢尔模光束在源平面上的交叉谱密度函数(cross-spectral density,CSD)可以表示为[11]:

(1)

式中,S(r)表征强度轮廓分布函数，r1≡(x1,y1)，r2≡(x2,y2)是源平面上的任意两点的空间位置坐标，η(r1,r2)表征光束相干结构，多高斯-谢尔模关联结构可表示为:

(2)

BORGHI等人证明了光束是否能携带扭曲相位只与相干结构有关，而与光束的振幅无关[20]。因此，为了便于分析，可将(1)式携带扭曲相位，并忽略掉强度可表示为：

(3)

式中,μ表示扭曲因子。根据部分相干光束模式叠加理论，将(3)式用Mercer展开表示为[39]:

(4)

其特征函数Φj,l为正交，Φj,l*表示特征函数的复共轭，特征值Λj+l为非负，当部分相干光束携带扭曲相位后，其特征函数形式可为拉盖尔-高斯型[39]:

(5)

(6)

式中,r=r2-r1，Ls表示角向指数为0、径向指数为s的拉盖尔多项式，将(2)式代入(6)式计算得到:

(7)

最终积分得到特征值序列表达式为:

(8)

对(8)式分析后可知，当μ≤1/mδ2时，该特征值为非负实数，此时椭圆多高斯-谢尔模光束可以携带扭曲相位。为便于之后的分析，将强度轮廓函数写为椭圆高斯函数，就得到了一类新型椭圆扭曲多高斯-谢尔模(twisted multi-Gaussian-Schell model,TMGSM)光束，其交叉谱密度函数可以表示为:

(9)

式中,r1x，r1y，r2x，r2y分别为r1，r2在x，y方向上的分量;σx，σy表示x，y方向上的束腰宽度。在傍轴近似下利用Collins公式，椭圆TMGSM光束在像散ABCD光学系统中的传输公式可表示为:

(10)

式中,ρ1=(ρ1x,ρ1y)和ρ2=(ρ2x,ρ2y)是输出平面上任意两个位置向量;A,B,C,D为光学系统传递矩阵的元素;λ为光束波长，k=2π/λ是波数。将(9)式代入(10)式，经过积分，就得到了输出平面的交叉谱密度函数解析式:

(11)

其中，使用了一系列参数替换：

(12)

接下来，本文中将研究椭圆TMGSM光束在梯度折射率光纤中的传输特性。梯度折射率光纤的折射率分布可由下式表示:

(13)

其中,

(14)

式中，R0为纤芯半径，ρ为空间任意点距纤芯中心的距离，β为梯度折射率系数，n0为光纤中心折射率，n1为光纤包层折射率，梯度折射率光纤的ABCD传输矩阵可表示为:

(15)

在这里用一种特定的梯度折射率光纤，纤芯为掺杂锗的二氧化硅(掺杂质量分数为0.079的氧化锗)，包层为二氧化硅制成，折射率由塞米尔方程计算:

(16)

式中，ωp=2πc/λp，Bp，λp均为特定材料下的塞米尔系数，c为光速，ω为λ=632.8nm时对应的角频率。对纯二氧化硅，塞米尔系数B1=0.6961663,B2=0.4079426,B3=0.8974794，λ1=0.0684043μm,λ2=0.1162414μm,λ3=9.896161μm。对掺杂质量分数为0.079锗的二氧化硅，其塞米尔系数B1=0.7136824,B2=0.4254807,B3=0.8964226，λ1=0.0617167μm,λ2=0.1270814μm，λ3=9.896161μm。取光纤纤芯半径为25μm，通过(13)式、(14)式和(16)式可以得到n0=1.46977,n1=1.45702,β=5.25726mm-1，从而确定ABCD传输矩阵的具体参数。部分相干光束的光强和相干度可由交叉光谱密度函数表示为：

S(ρ)=W(ρ,ρ)

(17)

(18)

2 数值模拟与分析

本节中，将对椭圆TMGSM光束在梯度折射率光纤中传输的光强和相干度(degree of coherence,DOC)进行模拟和分析，除特殊说明外，初始参数设定为：λ=632.8nm，k=2π/λ，n0=1.46977，n1=1.45702，σx=100/k，σy=25/k，δ=50/k,β=5.25726mm-1，μ=4×10-5k2，M=5，L=π/β=597.5722μm。图1a和图1b是椭圆TMGSM光束在梯度折射率光纤中传输时的x-z归一化光强剖面图和y-z归一化光强剖面图。结果表明，初始的椭圆光斑在传输过程中发生周期为L的变化，在z=0处σx>σy，而在z=0.5tL(t=1,3,5…)的焦。

Fig.1 Normalized intensity distribution of elliptically twisted multi-Gaussian-Schell model beams propagating in a gradient index fibera—z-x profile b—z-y profile

平面处σx<σy，这种现象是由梯度折射率光纤的自聚焦特性决定的。在图1b中可以清楚地看到反常规的聚焦现象，即y方向的光斑宽度在聚焦过程中逐渐增大，这是由于光斑旋转造成的。此外，当光束传输到焦平面时，光强分布呈平顶分布，这种现象是由于多高斯关联结构造成的[11]。

图2是不同多高斯模数的椭圆TMGSM光束在梯度折射率光纤中传输不同距离的归一化光强密度图。除M外，其它取值与初始参数一致。当M=1时，椭圆TMGSM光束转化为TGSM光束。从图中可以发现，光束光斑随传输距离的增加发生顺时针旋转，传输到焦平面z=0.5L处刚好转过π/2。同时，光斑的椭圆度也在传输过程中不断降低。观察图2f、图2l和图2r，发现随M的增加不会影响光斑的旋转速度，但光斑在焦平面处的平顶分布区域增大，同时光束发散也随之增大，在焦平面处得到了较大的聚焦平顶光斑。

Fig.2 Normalized light intensity diagrams of elliptically twisted multi-Gaussian-Schell model beams propagating at different distances in gradient index fibers with different Ma～f—M=1 g～l—M=5 m～r—M=10

图3是不同扭曲因子影响下，椭圆TMGSM光束在梯度折射率光纤中传输不同距离时的归一化光强密度图。除扭曲因子μ以外，其它参数均取初始参数，且扭曲因子取值满足μ≤1/(mδ2)的条件限制。结果表明:当μ=0时，光束退化为MGSM光束，光斑在传输过程中只存在聚焦过程，不会发生旋转;当μ>0时，光斑发生旋转，但旋转速度并不均匀，在刚开始传输时，随着扭曲因子增大，光斑的旋转速度加快，而传输到接近焦平面时，扭曲因子小的反而旋转速度更快，在焦点z=0.5L处，无论扭曲因子取何值，光斑总是刚好旋转了π/2。此外，观察图3e、图3k和图3q发现，在接近焦平面处，光斑的椭圆度也随着扭曲因子的增大而增大。

Fig.3 Normalized light intensity diagrams of elliptically twisted multi-Gaussian-Schell model beams propagating at different distances in gradient index fibers under different twist factors μa～f—μ=0 g～l—μ=4×10-5k2 m～r—μ=8×10-5k2

接下来研究了椭圆TMGSM光束在梯度折射率光纤中传输时相干度的演化特性。图4a和图4b是椭圆TMGSM光束在梯度折射率光纤中传输时的x-z相干度剖面图和y-z相干度剖面图,其它参数与图1一致。图4显示，在梯度折射率光纤中传输时，相干度也会发生周期为L的变化。初始的相干度分布相同的情况下，由于光束强度的各向异性对相干性的影响，在传输过程中将导致相干度逐步呈现各向异性，由圆形高斯分布演化为椭圆高斯分布。

Fig.4 Degree of coherence distribution of elliptically elliptically twisted multi-Gaussian-Schell model beams propagating in a gradient index fibera—z-x profile b—z-y profile

图5是不同模数M下的椭圆TMGSM光束在梯度折射率光纤中传输不同距离的相干度密度图,其它参数与图2一致。从图中可发现，随着传输距离的增加，光束相干度分布由圆形高斯分布演化为椭圆高斯分布，椭圆度逐渐增大，且相干度分布逐渐逆时针旋转，传输到焦平面z=0.5L处刚好转过π/2。观察图5a～图5c得出，随着M的增加，相干度分布轮廓变小，周围开始出现暗环。与光强变化规律类似，增大M不会影响相干度分布的旋转速度。图6是椭圆TMGSM光束在梯度折射率光纤中传输不同距离时在不同扭曲因子μ影响下的相干度密度图，参数同图3。观察图6a、图6g和图6m可得出扭曲因子的大小对初始相干度分布没有影响。图6表明，当μ=0时，随着传输距离的增加，相干度分布不发生旋转;当μ>0时，相干度分布发生旋转，但旋转速度并不均匀，与光强相反，在刚开始传输时，随着扭曲因子增大，相干度分布的旋转速度变慢，而传输到接近焦平面时，旋转速度加快，在焦平面z=0.5L处，无论扭曲因子取何值，相干度分布也是刚好旋转了π/2。

Fig.5 Degree of coherence density diagrams of elliptically twisted multi-Gaussian-Schell model beams propagating at different distances in gradient index fiber under different Ma—M=1 b—M=5 c—M=10

Fig.6 Degree of coherence density diagrams of elliptically twisted multi-Gaussian-Schell model beams propagating at different distances in gradient index fiber under different twist factors μa～f—μ=0 g～l—μ=4×10-5k2 m～r—μ=8×10-5k2

3 结 论

本文中基于Mercer模式展开理论和交叉谱密度函数的非负性原则，严格证明了当扭曲因子满足μ≤1/(mδ2)时，多高斯-谢尔模关联结构可携带扭曲相位，得到了一种椭圆TMGSM光束，推导了其通过ABCD光学系统时交叉谱密度函数的解析式，并研究了其在梯度折射率光纤中传输时模数、扭曲因子对光强和相干度变化特性的影响。结果表明:椭圆TMGSM光束在梯度折射率光纤中传输时光强和相干度均呈现周期性变化；光强分布呈现为由椭圆高斯分布到平顶分布再恢复为椭圆高斯分布的周期性变化，模数M越大，光强分布的平顶区域越大，相干度分布轮廓越小；由于扭曲相位的存在，光强和相干度分布均在传输过程中发生旋转，同时，旋转速度是非线性的并与扭曲因子的大小有关，且旋转角度在焦平面处限定为π/2。本文中的研究结果在光纤通信、聚焦成像、光学捕获等方面具有潜在的应用前景。