基于Sobol’法的机床关键几何误差元素辨识方法研究

荣茂林，胡腾，何郑曦，魏小建，吴昊荣

(1.西南石油大学机电工程学院，四川成都 610500；2.四川建筑职业技术学院，四川德阳 618000)

0 前言

数控机床受几何误差、热误差、装配误差等因素综合影响，直接影响工件的加工精度。其中，几何误差具有稳定性高、重复性好、占比大、易于补偿等特点，故误差补偿是提高机床加工性能最直接、经济的方法。但机床误差元素较多，空间误差模型复杂，关键几何误差元素的筛选仍是误差模型简化中亟待解决的关键问题。

针对几何误差元素灵敏度分析问题，国内外学者进行了大量研究，使用的方法包括逐步回归法、标准化回归系数法和标准化秩相关系数法等。LI等以矩阵偏微分方程为基础，根据五轴立式加工中心敏感性分析结果对机床进行改进，提高了机床加工精度。尹明和陈廷兵以局部灵敏度系数为基础，提出一种新的全局灵敏度系数计算方法并应用于机床关键几何误差元素辨识。YAO等通过局部灵敏度分析，辨识出8项关键几何误差项，并通过实验验证了筛选结果的准确性。SOBOL提出了基于方差的全局灵敏度分析方法，辨识出机床的关键几何误差元素。上述方法通常只适用于对输入与输出呈线性相关的模型进行灵敏度分析，对于非线性复杂模型具有较大的局限性。

针对上述问题，以某三轴卧式加工中心为研究对象，提出了一套较完善的关键几何误差元素筛选方法技术体系。首先，分析机床运动链构成，以螺旋理论为基础，建立包含21个误差项的机床运动学模型(完备模型)；其次，使用Sobol’全局灵敏度分析法计算各误差项对模型输出的灵敏度值，从21个误差项中筛选出关键几何误差元素；最后，利用所筛选的关键几何误差元素重新构建空间误差模型(简化模型)并与完备模型进行比较，验证筛选结果的正确性。

1 卧式加工中心空间误差模型

某卧式加工中心拓扑结构如图1所示，机床坐标系固连于床身，原点为。记刀尖点和工件切削点在MCS下的初始位置分别为(、、)和(、、)。

图1 机床拓扑结构

根据ISO230-7的定义，每个平动轴在空间中有6项误差元素，分别是1项定位误差、2项直线度误差、3项角度误差，即俯仰、偏摆和滚转误差，故三轴卧式加工中心有18项几何误差。除上述18项与位置相关的几何误差元素(Position-dependent Geometric Errors, PDGEs)外，3个平动轴还有3项与位置无关的几何误差元素(Position-independent Geometric Errors, PIGEs)，即轴与轴之间的垂直度误差，故三轴机床共计21项几何误差元素，见表 1。

表1 三轴机床几何误差元素

机床的每一个名义运动都可以看做是机床在做刚体运动，误差运动可看做机床刚体的微运动与微转动。运动轴(=,,)的名义运动()与误差运动()可根据螺旋理论表示为

(1)

(2)

垂直度的螺旋表达为

(3)

刀具链和工件链均在机床坐标系下表达，而空间误差定义为刀尖点在工件坐标系下实际位置与理论位置之间的偏差，故需将工件链转化为在工件坐标系下的表达，然后与刀具链进行耦合，从而得到机床整体运动链。由机床空间几何误差的螺旋表达形式可知，三轴卧式机床的空间误差完备模型可由螺旋矩阵表示为

=((),(),())=(()·()···)·(()·()··()·()·)-

(()·)·(()·()·)=

(4)

2 Sobol’全局灵敏度分析方法

Sobol’全局灵敏度分析法基于方差分解而形成，其核心思想是对目标函数进行分解，利用各输入量对应函数值的方差与模型总方差之比作为相应输入量的灵敏度评价标准，通过方差之比可计算出各输入量所对应的一阶及高阶灵敏度系数。其中一阶灵敏度系数通常反映了某输入量对模型输出的单独影响；高阶灵敏度系数表示各输入量之间的耦合作用对模型输出的综合影响。

针对空间误差模型，假设目标函数为=()的形式，其中表示模型输出,表示关于误差元素的可积函数，=(,,…，)为维输入参数。将目标函数根据Sobol方法分解为2项递增阶数之和的形式为

(5)

其中：为根据输入量计算得到的目标函数模型的期望值，且当输入确定时也随之确定；表示第个误差项所对应的函数值；表示第个与第个误差项共同作用所对应的函数值。式中各子项之间满足相互正交的关系，因此满足如下关系

我院正常参考值范围PTH为16～65 ng/L，血钙为2.1～2.6 mmol/L，将甲状旁腺素<16 ng/L定义为甲状旁腺功能减退，血钙<2.1 mmol/L且有伴发症状者诊断为低钙血症；术后6个月内PTH及血钙恢复正常定义为暂时性甲状旁腺功能减退；>6个月仍未恢复正常且需持续补钙者定义为永久性甲状旁腺功能减退。

(6)

其中：=1,2,…,。由此可得

=()

(7)

=-(|)-()

(8)

=-(|,)---()

(9)

其中:为第个输入，-表示除以外的所有输入，-表示除和以外的所有输入。将模型输入量看做连续随机性变量并计算函数方差，可得输入函数的总方差为

(10)

分别对单个误差项和与其耦合的误差项进行求方差可得

=()=[-(|)]

(11)

=()=[-(|,)]-

[-(|)]-[-(|)]

(12)

使用同样的方法可以计算出其他高阶项的方差。对式(5)进行求方差计算，可得到

(13)

基于方差的灵敏度分析定义为输入量所对应方差与模型总方差的比值，故将式(13)的等号两端同时除以函数总方差进行正交化，变换后可得

(14)

其中:

(15)

=={[-(|,)]-[-(|)]-[-(|)]}

(16)

为了衡量误差项对空间误差模型输出量总方差的影响程度，将一阶方差比值称作误差项 的一阶敏感性系数，一阶敏感性系数的大小直接反映该误差项对模型输出的影响程度大小。为了衡量误差项与耦合后对模型输出的影响程度，将二阶方差比值称为二阶敏感性系数，值越大说明误差项和之间的耦合作用越明显。 其他高阶项具有类似的含义。一般来说，误差元素之间存在多元素相互耦合，且耦合效果不可忽略，为了能够更加准确地描述误差元素对模型输出的总体影响，引入总体敏感系数。的计算方式为

(17)

可简单看作是的一阶敏感性系数和所有与有耦合作用的高阶敏感性系数之和。

3 蒙特卡洛估算

Sobol’全局灵敏度分析方法相较于传统的蒙特卡洛采样法具有更好的准确性与收敛性，其实质是使用低差异性序列的准蒙特卡洛方法。在进行灵敏度分析计算之前，需确定误差项的变化范围，然后使用Sobol’法根据元素范围对误差项进行准蒙特卡洛采样，得到两个误差矩阵和，矩阵和矩阵相互独立、互不影响。在此基础上，以矩阵为矩阵的主体，利用矩阵的第列替换矩阵中的第列，其余项保持不变，得到矩阵()。()的产生过程如下

(18)

由公式(11)—(18)可知，一阶灵敏度和总灵敏度的估算可分别表达为

(19)

(20)

4 模拟仿真

为探究三轴卧式加工中心几何误差元素对机床空间误差的影响程度及简化空间误差模型，验证所提关键误差元素筛选方法的有效性，以图1所示三轴卧式加工中心为研究对象，进行仿真计算。机床的工作空间为700 mm×600 mm×500 mm，根据机床空间误差模型，其变量为21项几何误差元素，输出为机床在刀尖点处空间误差在、、方向的分量。依据数控机床出厂几何精度检验标准可定义几何误差元素数值范围。为提升机床精度、满足设计需要，机床设计过程中需采用控制压缩系数来保证机床设计精度，因此仿真时几何误差的取值为标准值的2倍。21项误差服从均匀分布，-变化范围如表 2所示。

表2 机床几何误差元素范围

利用Sobol’法基于低差异性序列的准蒙特卡洛法对输入参数的空间域进行采样，便于提高仿真计算的收敛性、稳定性以及准确性。根据误差元素范围对误差元素进行抽样，获得误差元素的Sobol低差异性序列，设定采样的样本量=10 000，采用Sobol’法对机床3个方向的空间误差分量()、()、()进行分析，计算出各误差元素分别对于()、()、()的一阶灵敏度及总灵敏度，如图 2—图 4所示。

可以看出:各误差元素对于空间误差分量的影响程度不同。为了在保证模型预测精度的同时，又要尽可能筛选出关键几何误差元素，所以以灵敏度占比90%为界限，划分关键几何误差元素与非关键几何误差元素。即将所计算的灵敏度值降序排列，灵敏度值大的几项进行求和记为sum(1-)()，当sum(1-)()/sum()>0.9时，定义总灵敏度值大的前几项为关键几何误差元素，结果如表3所示。

图2 (x)E灵敏度分析结果

图3 (y)E灵敏度分析结果

图4 (z)E灵敏度分析结果

表3 关键几何误差元素

为了验证关键几何误差元素筛选结果，利用关键几何误差元素重新建立空间误差预测模型(简化模型)。将上面使用的样本中所有非关键几何误差元素值全部置零，通过简化模型计算获得机床刀尖点位置误差分量，与完备模型预测值进行对比，如图5—图7所示。

图5 (x)E预测对比分析

图6 (y)E预测对比分析

图7 (z)E预测对比分析

通过对比结果可以看出：完备模型误差分量预测值的范围为(-0.3，0.35)mm，简化模型预测值与完备模型预测值的残差为(-0.05,0.05)mm。不难看出，当不考虑非关键几何误差元素对模型的影响时，对模型的预测性能影响较小，简化后的误差预测模型仍保持较高准确度，元素简化率为48%，残差保持在20%以内，说明该方法能够准确剔除机床空间误差模型中非关键几何误差元素，保留关键几何误差元素。

5 结论

(1)分析了机床拓扑结构，运用螺旋理论建立了机床运动误差模型。所有误差元素均在机床坐标系下表述，无需建立繁杂的局部坐标系，简化了建模过程，提高了建模效率。

(2)分析了Sobol’全局灵敏度分析方法的原理及灵敏度值的计算，解析了蒙特卡洛估计法的采样矩阵生成方法。

(3)利用Sobol’全局灵敏度分析方法对机床空间误差建模进行计算，通过仿真计算分析，从21项几何误差元素中筛选出12项关键几何误差元素，误差元素项简化率为48%；使用关键几何误差元素建立的机床空间误差模型仍具有较高的预测准确性，残差保持在±0.05 mm以内，说明作者所提出建模方法与关键几何误差元素筛选方法是准确、有效的，为空间误差模型简化、误差元素辨识以及误差补偿提供理论支撑。