与丛管子相关的代数的刚性模

龙婷，谢云丽

（西南交通大学 数学学院，四川 成都 611756）

与丛管子相关的代数的刚性模

龙婷，谢云丽*

（西南交通大学 数学学院，四川 成都 611756）

设是丛管子，是中的极大刚性对象，是T对应的自同态代数，由函子诱导的的某个满子范畴的商范畴等价于有限生成-模范畴，基于此，通过中的对象刻画了的不可分解刚性模，并给出一个当且仅当的条件。

丛管子；极大刚性对象；刚性模

0 引言

2001年，FOMIN等［1］提出了丛代数概念，并对丛变量有限的丛代数进行了分类［2］，将有限型丛代数分为反对称的，，，，型和可反对称化的，，，型。此后，利用代数表示论中丰富的范畴结构研究丛代数成为热点，如BUAN等［3］利用丛范畴和丛倾斜对象将，，，，型丛代数范畴化；BUAN等［4］、ZHOU等［5］、FU等［6］利用丛管子中的极大刚性对象及其自同态代数将，型丛代数范畴化。丛管子最早被看作管子（某种特殊的遗传阿贝尔范畴）的丛范畴。与一般的丛范畴不同，丛管子中没有丛倾斜对象［7］，BUAN等［4］证明了丛管子具有丛结构，其中的极大刚性对象与丛代数中相应的丛对应。IYAMA等［8］证明了存在丛管子的某个满子范畴，其商范畴等价于极大刚性对象的自同态代数的有限生成模范畴。文献［9-10］证明了在丛管子中极大刚性对象的自同态代数的支撑-倾斜模与极大刚性对象对应。

在上述研究基础上，本文研究丛管子中极大刚性对象的自同态代数的刚性表示。结构如下：第1节介绍丛管子和丛管子中极大刚性对象的自同态代数，第2节利用Iyama-Yoshino等价刻画丛管子中极大刚性对象的自同态代数的刚性模。

1 丛管子及其极大刚性对象的基本性质

图1 秩为的管子的-箭图Fig.1 The -quiver of a tube of rank

引理1［12］设是中的对象，的长度为。若态射在的-箭图中对应的路含有不少于个向下的箭头，则。

引理2［12］（1）当时，；

记

定义1设是丛管子中的对象，

关于丛管子和丛管子中的极大刚性对象，有［4，6］

引理3设是中的不可分解对象，则

引理4设是中的不可分解对象且。若，则。

引理5（1）是中的不可分解刚性对象当且仅当；

关于丛管子中极大刚性对象的自同态代数，给出以下具体例子。

例1设是秩为4的丛管子，对象在丛管子中的具体位置如图2所示。

图2 在丛管子中的具体位置Fig.2 The specific position of in cluster tube

图3 代数的Gabriel箭图Fig.3 The Gabriel quiver of algebra

2 丛管子中极大刚性对象的自同态代数的刚性模

定义2设是一个-模，

引理6设为丛管子中的对象，为对应的-模，则为刚性的充分必要条件是

为方便叙述，引入记号：

注1由丛管子中不可分解刚性对象、和3个集合组成，且3个集合两两互不相交。文献［15］中定理4.8指出，函子给出了与由不可分解-模组成的集合一一对应。文献［12］中命题3.7证明了对中不可分解对象而言，如果态射在的-箭图中对应的是从出发，经过个向下的箭头映至，再合成个向上的箭头指向的路，则通过分解的充分必要条件是

引理7当时，是刚性-模。

可得长正合列：

所以满射

有

引理8当时，不是刚性-模。

所以

综上，可得

定理1设是秩为的丛管子，是的极大刚性对象，是对应的自同态代数。若是中不属于的不可分解对象，为对应的-模，则为刚性-模的充分必要条件是满足：

例2延续例1，的刚性模如图4所示，其中，○表示中的不可分解模，⊗表示映至中的是刚性模而不是-刚性模，●表示-刚性模，表示-箭图中的间隙。

图4 中的刚性模Fig.4 The rigid modules of

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Rigid modules of the algebras arising from cluster tubes

LONG Ting, XIE Yunli

（School of Mathematics，Southwest Jiaotong University，Chengdu611756，China）

Letbe a cluster tube,be a maximal rigid object of,be the endomorphism algebra of.induces an equivalence between some quotient category and the category of finitely generated-modules. This note uses this equivalence to characterize the indecomposable rigid modules over,and gives an if and only if condition for this indecomposable rigid modules.

cluster tube; maximal rigid object; rigid module

O 154.1

A

1008⁃9497（2022）05⁃527⁃05

2021⁃05⁃25.

国家自然科学基金资助项目（12171397）.

龙婷（1996—），ORCID：https：//orcid.org/0000-0003-4905-8329，女，硕士研究生，主要从事代数表示论的研究.

通信作者，ORCID：https：//orcid.org/0000-0003-1514-7403，E-mail：xieyunli@swjtu.edu.cn.

10.3785/j.issn.1008-9497.2022.05.002