基于热力耦合变形的机床主轴公差建模方法研究

梁健伟,黄美发,2,唐哲敏,苟国秋

(1.桂林电子科技大学机电工程学院，广西桂林 541004；2.广西制造系统与先进制造技术重点实验室，广西桂林 541004)

0 前言

公差模型反映的是理想零件与实际零件的几何差异，机床主轴作为机床系统最重要的零件，根据公差模型进行公差设计是其生产制造过程中必不可少的步骤。传统的公差建模通常把零件视为刚性体，忽视零件因实际工况引起的微小变形对其功能要求的影响。实际上，机床主轴在工作过程中，不仅会受到轴承转动摩擦引起的温升变形，还会受到加工过程中由切削力引起的微小变形，最终导致机床主轴的工作性能无法满足要求。

目前，基于零件刚性体的定义，杨将新等提出了基于装配定位约束的公差规范设计，但分析的定位类型和定位信息有限。在此基础上，QIN等提出了基于本体案例推理的计算机辅助公差规范设计方法，但这类研究均未考虑零件变形对公差设计的影响。为了使公差设计更符合工程实际，张为民等在利用Jacobian-Torsor(雅可比旋量)进行实际工况的建模时，考虑了静力载荷的影响。BENICHOU、JEANG等研究了热载荷引起的零件变形对公差分析的影响，分析了不同温度场对零件局部变形与公差设计的关系。在此基础上，JAYAPRAKASH等提出了考虑热冲击影响的机械产品的最佳公差设计方法。为了进一步研究，ZENG和RAO研究了机械产品实际工况的装配偏差模型，应用ANSYS分析了零件因温升引起的局部变形，通过Jacobian-Torsor建立了考虑变形的装配偏差模型。

综上所述，目前的研究大多只考虑了零件受热变形的影响，忽视了机械负载的影响，或只考虑了静力载荷的影响而忽略了工作温度的影响。然而，机床主轴在工作过程中，同时受到温度变化和机械负载的影响是典型工况。因此，研究一种基于热力耦合变形的机床主轴公差建模方法。首先，根据主轴的实际工况，运用小位移旋量理论表达特征的几何变动，并建立主轴原始几何误差的Jacobian-Torsor公差模型；其次，根据几何变动修正Jacobian-Torsor公差模型，增加典型配合特征的公差变动表示模型；然后，利用ANSYS计算主轴在切削力与摩擦热耦合作用下的变形量；最后，将结果引入修正的Jacobian-Torsor模型中，得到热力耦合变形下的机床主轴公差模型。

1 主轴工况与变动表达

1.1 机床主轴的工况分析

根据ISO230—2标准，超精密机床与普通机床的主要区别是机械产品的加工精度不同。生产者对机床加工精度的影响因素不重视，难以保证精密机床的加工精度，导致机械产品的功能要求无法得到满足。

本文作者主要针对型号为VMC850E的立式加工中心的主轴进行研究，如图1所示。

图1 VMC850E机床主轴

在主轴工作过程中，主轴前后轴承的摩擦热会导致主轴温升产生热变形。主轴系统的主要热源为轴承转动的摩擦热，同时，各零件装配之间的接触区域会产生热传导，导致与空气接触的零件表面产生热对流。主轴在切削力、重力等作用下产生的局部微小变形即为力变形。刀具在加工时会产生主切削力和背向力及进给力，计算合力得到刀具承受的切削力为，最终通过力的传导，使主轴受到切削力的作用。刀具受力分析如图2所示。

图2 刀具受力分析

主轴的温升和机械负载对机床的加工精度影响最大，占机床加工误差的70%或以上，这些误差将直接影响机械产品的功能要求与质量。

1.2 特征变动的数学表示

如第1.1节所述，在实际工作过程中，由于工作环境的影响，最终会引起机床主轴产生变形，如何描述这些由环境因素引起的几何变动，是热力耦合变形下机床主轴公差建模的关键。

机床主轴的总体误差经过与之装配零件的几何误差传递与累积之后逐渐增大，最终影响功能要求与装配要求。零部件的特征表面由点、线、面三要素组成，零件的变形可以认为是要素的位置、形状和尺寸在三维空间中6个自由度的几何变动造成的。用矩阵描述特征的变动，如式(1)所示：

(1)

式中:、、分别表示理想特征的坐标系沿着空间坐标系的、、轴的平移量；、、分别表示理想特征的坐标系绕着空间坐标系的、、轴的转动量。考虑主轴实际工况的影响时，主轴系统发生微小变形如图3所示，几何特征的小位移变动用Δ表示。

图3 刀具局部变形

一般来说，机床主轴在尺寸、位置和形状上的变动是由实际工况中的摩擦热和切削力引起的，对于切削力引起的几何变动而言，变动的大小和方向是确定的，可用相应的旋量来表示由负载引起的偏差。由摩擦热引起特征的几何变动沿圆周成比例收缩或膨胀，可用空间六自由度非独立的旋量表示该几何偏差。

2 主轴的几何变动数学模型

2.1 基于加工误差的Jacobian-Torsor公差建模

公差建模的本质就是将公差域的边界完整、准确地表述，其中包括公差的累积与公差的表示。利用Jacobian-Torsor理论建立的公差模型，是将小位移旋量与雅可比矩阵充分结合的几何模型。Jacobian-Torsor能将零件层的功能要素FE(Functional Elements)与装配层的功能要求FR(Functional Requirement)通过数学方法相互关联。因此，将Jacobian-Torsor理论应用于公差领域，如式(2)所示：

=

(2)

以雅可比矩阵表示与之间的几何关系：

=·…FE,-1·FE,

式中：代表装配体中传递公差的配合特征个数；矩阵的表达式如式(3)所示：

(3)

(4)

(5)

式中：表示理想特征FE的旋量矩阵。文献[10]建立了单一恒定类特征的公差旋量矩阵，以及特征变动域的约束，在此基础上，增加一些典型配合特征的公差旋量矩阵，如表1所示。

表1 单一恒定类特征的公差旋量矩阵T

2.2 考虑实际工况的修正公差模型

主轴在实际加工过程中不断受到切削力和摩擦热的耦合作用，引起主轴产生微小变形，导致理想状态下的公差模型无法反映主轴的真实情况。

为得到机床主轴在实际工况下相对真实的加工误差，将实际工况引起的变形引入雅可比旋量公差建模。基于雅可比旋量的公差模型修正主要分为两部分:将特征的理想坐标系修正为′；对影响整个机械产品的装配功能要求进行修正。考虑主轴变形后，FE的形状、位置和尺寸也随之变化，如图4所示，具体变动量在第3节中采用ANSYS进行计算。

图4 特征变动后FE的变化

与雅可比矩阵相关的量也会产生相应的变化，如式(6)所示：

(6)

式中：、和分别表示几何特征绕着理想坐标系的、、轴转动的转换矩阵。根据机器人运动学，可求得、和如式(7)所示，其中Δ、Δ、Δ分别表示几何特征绕着、、轴的微小转动角度。

(7)

投影矩阵的逆矩阵修正如式(8)所示：

(8)

(9)

(10)

将式(6)和式(9)代入式(3)即可获得修正的雅可比旋量矩阵，最后将与式(10)所示的FE,′相乘，即可获得热力耦合变形下的雅可比旋量公差模型。

3 实例验证

3.1 原始几何误差的主轴公差模型

以Jacobian-Torsor理论为基础，建立主轴原始几何误差的公差模型。图5所示为VMC850E加工中心的主轴初始公差规范。主轴是精密零件，对形位公差精度要求较高，现初步采用IT5的轴和IT6的孔。根据主轴与轴承的装配要求及其工作时的回转精度要求，结合标准GB/T 1184—1996，初步确定了主轴的圆柱度误差和同轴度误差，其他次要公差文中不作研究。

图5 主轴系统初始公差规范

图6中包含主轴、前轴承和后轴承3个零件，三者之间除了要保证主轴与轴承的装配间隙，还要保证主轴的回转精度。图6中确定了主轴与轴承之间的接触面，即主轴与轴承的和相关的，给出了各特征FE的坐标系；构造了装配连接图，便于建立围绕FR的尺寸链；设(,)和(,)为接触对，(,)为内部对，内部对与同轴度误差有关，接触对与尺寸公差和圆柱度误差有关。是介于(，)之间的功能要求，即保证前轴承与后轴承公共轴线的径向旋转误差。

图6 功能表面和功能要求及fFE,i虚拟坐标系

令参考坐标系原点、、、均位于公差或接触不确定性区域的中心，于是有(0,0,0)、(0,0,30)、(0,0,147)、(0,0,105)。根据Jacobian-Torsor理论，计算雅可比矩阵FE，如式(11)所示：

(11)

将式(11)中的FE，和FE,代入式(2)得到式(12)：

(12)

根据运动对所对应的特征，从表1中选取对应的小位移旋量矩阵，代入式(5)得到与功能要素微小变动相关的小位移旋量FE,，如表2所示。

表2 旋量相关信息

将相关矩阵代入式(12)，计算得到理想状况下的装配误差如式(13)所示：

(13)

由式(13)可知，D2沿径向方向的配合间隙变动范围为[-0.092,0.092]mm，沿向的间隙变动范围为[-0.122,0.122]mm，沿着径向的转动范围为[-0.001 8,0.001 8]mm。在未考虑热力耦合变形的影响时，主轴沿轴线方向的变动为0。

3.2 热力耦合变形的计算

根据ANSYS精确计算主轴在切削力与摩擦热耦合作用下的变形量，以获得机床主轴实际工况下的公差模型。采用文献[8]中的主轴模型(图1)及对应的温度变化，得主轴转速为6 000 r/min，连续工作4 h内的温度变化如表3所示。

表3 主轴系统温度变化

此外，计算了6 000 r/min时主轴承受的切削力，根据主轴转速计算切削速度，再根据文献[11]的切削力计算模型，得主轴转速为6 000 r/min时，切削力随时间变化如表4所示。

表4 主轴承受的切削力

在ANSYS分析环境中，选用直接耦合的方式；在建模过程中，采用布尔运算的GULE(粘贴)命令，确保主轴的每个面和体都有各自的边界且相互独立。主轴系统的材料属性根据表5进行定义，主轴和轴承采用的材料为40Cr，主轴端盖、轴套、法兰、防松螺母等采用45钢。设置初始参考温度为25 ℃，将主轴沿轴线方向的位移设为0。

表5 材料物理属性

根据文献[9]所述及文中仿真结果可知，热变形误差在机床主轴总误差中占比最大，即温度越高引起的主轴变形量越大。为了方便表示，图6中用D1—D5定义了主轴的各个轴段。据表3可知，主轴工作到第150 min时，主轴承受的温度最高，此时，主轴前轴承温度为46.2 ℃、后轴承温度为44.5 ℃，主轴承受的对应切削力为1 305.87 N。分析得到主轴的总变形量及主轴径向和轴向的总变形量，如图7所示，其他时间节点的主轴变形结果如图8所示。

图8 主轴变形量随工作时间变化

由图7(a)可知：主轴的温升变形主要集中在轴承装配的摩擦区域及轴肩等应力集中处，主轴的最大变形为0.137 mm，未产生摩擦温升区域的变形量可忽略不计。由图7(b)可知：整个主轴沿径向轴的总变形量为0.081 6 mm，由图7(c)可知：主轴沿轴方向的总变形量为0.012 8 mm，主轴前端面沿轴线方向的位移限制为0，因此轴方向最大应变发生在前后轴段。

图7 主轴变形云图

由图8可知：主轴系统在0～60 min工作时间内，主轴摩擦温升区域的径向变形量逐渐增大；在60 min后，主轴径向变形量在0.006 mm～0.008 mm之间，趋于稳定。在主轴工作第150 min时，主轴的总变形以及径向方向的变形为最大值。在主轴的回转过程中，相较于轴向变形而言径向变形量更大，对于回转体而言，特征沿着径向的变动几乎是一致的，故建模时只考虑主轴沿着径向轴的变形量即可。

目前对主轴加工误差的研究大多只考虑主轴的热误差，现以第150 min时的主轴工况为例，只考虑摩擦温升而忽略切削力的影响时，主轴的总变形量为0.126 mm，与考虑热力耦合影响的总变形量相比减少了0.011 mm。实际上，考虑主轴的切削力与摩擦热耦合变形更符合实际工况。

3.3 热力耦合变形的修正公差模型

根据第3.1节得到主轴原始几何误差的公差模型，引入第3.2节中主轴连续工作第150 min时的主轴热力耦合变形量，得到修正的主轴Jacobian-Torsor公差模型。由于轴承和主轴是回转体，主轴与轴承的转动与变形均具有一致性，且主轴的径向最大变形发生在摩擦区域D2和D4处。由图8可知:局部坐标系、的径向变形量Δ=0.007 91 mm，轴向变形量Δ=0.001 31 mm；局部坐标、的径向变形量Δ=0.006 82 mm,方向的变形量Δ=0.002 14 mm。由于前轴承与D2的配合和后轴承与D4的配合具有一致性，只针对前轴承与D2的配合进行研究。

为保证实际工况下主轴与轴承安装的径向误差，将上述主轴变形量引入理想公差模型中，对FE1和FE3进行修正，修正结果如式(14)所示：

(14)

(15)

在考虑热力耦合变形的影响后，前轴承与D2沿着方向的配合间隙变动范围为[-0.062 4,0.062 4]mm，沿着方向的变动范围为[-0.112 9,0.112 9]mm，沿着径向的转动范围为[-0.001,0.001]。考虑主轴的热力耦合变形时，主轴沿着轴线方向发生膨胀，变动范围为[-0.003 5,0.003 5]mm。

4 结论

以Jacobian-Torsor理论为基础，研究了一种基于热力耦合变形的机床主轴公差建模方法，建立了机床主轴的原始几何误差Jacobian-Torsor模型，增加了典型配合特征的公差变动表示模型，得到了基于热力耦合工况下的主轴公差模型。

采用ANSYS计算热力耦合变形量，验证了主轴原始几何误差模型和考虑热力耦合变形的主轴公差模型，结果表明：考虑实际工况的主轴公差模型更符合工程实际。