岩石迭代损伤与膨胀演化规律研究

乔建永，刘冬桥，郭允朋

(1.中国矿业大学(北京)深部岩土力学与地下工程国家重点实验室，北京 100083；2.北京邮电大学理学院，北京 100876)

0 引 言

自21世纪以来，随着我国在能源、交通、国防等领域重大基础设施建设的大规模推进，涌现出一批典型岩石工程，如三峡水电站、葛洲坝水电站、锦屏水电站等大型水电水利工程，青藏铁路、川藏铁路等铁路工程[1]。深入研究各类岩石非线性变形力学特性对这些岩体工程的灾害预测及防控起到至关重要的作用，而岩石本构关系不仅是描述各类岩石非线性变形特征的关键，也是岩石力学与工程的基石。

岩石本构关系从早期的线性本构关系研究开始，即假定岩石应力-应变关系为一条或几条理想的直线段，线性本构关系主要包括线弹性模型[2]、双线性模型[3-6]、三线性模型[7-8]、四线性模型[9-11]和五线性模型[12]等，如图1所示，其中双线性模型包括脆性跌落[3](AB段)、应变软化[4](AC段)、理想塑性[5](AD段)或应变硬化[6](AE段)，三线性模型包括理想弹脆塑性[7](ABD段)或非理想弹脆塑性[8](ACD段)，四线性模型包括线弹性-双线性软化-残余理想塑性[9]、双线弹性-线性软化-残余理想塑性[10](BDE段)或双线弹性-脆性跌落-残余理想塑性[11](BCE段)。这些模型针对不同试验结果具有较好的适用性，且线性本构关系形式简单，求解方便，但也存在诸多局限，这些模型假定的理想应力-应变曲线具有较大主观性，它们多将岩石应力-应变曲线划分为多个阶段，分别研究其各阶段变形力学机制和本构关系，而忽略了岩石压缩变形破坏是一个完整过程，故分段式线性本构关系不能实现对应力-应变全过程简单而统一的描述。实际上，由于岩石自身非连续、非均质、各向异性等特征导致其变形力学行为表现出强烈的非线性特征，这也促进丰富了岩石非线性本构关系的研究，主要成果有双曲线模型[13]、Loland模型[14]、Mazars模型[15]、Sidoroff模型[16]、Weibull分布模型[17]以及其他分段式曲线模型[18-20]等，如图2所示。非线性本构关系相对线性本构关系能够较准确地描述岩石材料受荷过程中的变形响应，但依然多采用分段方式进行描述，无法对岩石变形全过程实现统一完整描述，基于损伤统计的本构模型虽然能够实现全过程的统一，但不能解释线弹性现象，且岩石微元强度为何服从Weibull分布也并不清楚。此外，这些模型大都参数较多、形式复杂，给后续推广或工程应用带来了极大不便。

图1 线性本构关系Fig.1 Linear stress-strain relations

图2 非线性本构关系Fig.2 Nonlinear stress-strain relations

岩石作为一种天然地质材料，内部随机分布着大量多尺度初始裂纹、孔隙，其在荷载作用下的变形破坏是一个具有明显非线性特征的复杂动态过程。究其原因，岩石在外荷载作用下的变形过程是前一时刻状态向后一时刻状态的转变，或者说后一时刻状态与前一时刻状态存在某种关系，而该过程可视为一个不断迭代的过程。因此，从迭代角度出发，建立能够描述岩石压缩变形全过程的损伤演化模型及其本构关系，将有助于解释岩石破坏过程中会出现混沌现象的原因。此外，近年来基于扫描电镜的岩石力学实验研究也取得一系列积极进展，观察到各种岩石的大量微观结构[21-24]。本文以此为基础，借助统计力学理论，建立解释岩石尤其是软岩迭代膨胀的力学模型，深入研究其物理化学效应引起的膨胀现象。

1 岩石损伤本构模型

岩石由于其复杂的成岩过程，内部都含有或多或少的天然原生缺陷或微裂纹，这些初始缺陷对岩石力学性能产生了强烈的影响，如应力-应变曲线初始非线性变形、峰值强度及有效弹性模量降低、各向异性性质增强等[25]。岩石在外荷载(如静载或动载)和环境(如温度、风化作用、水岩作用等)的耦合作用下力学性能逐渐劣化，损伤不可逆累积。受力变形的过程中，初始缺陷或张开性微裂纹首先被压缩闭合，随荷载增加新的微裂纹开始萌生发育并扩展演化形成宏观裂缝直至岩石完全破坏，因此，从损伤演变的角度研究岩石受力变形规律更符合客观实际。

利用损伤理论研究岩石变形破坏过程的前提是合理定义损伤变量，在此基础上建立损伤本构方程，并探讨损伤演化规律。任建喜等[26]、张全胜等[27]较早地借助CT检测技术实时监测岩石受荷损伤过程，并基于CT数建立了损伤变量，对应力-应变全过程进行分段，分别给出了本构关系。不少学者考虑到岩石本身存在的微缺陷具有随机性的特征，假定岩石由无数个微单元组成，并假设这些微单元物理性能服从某种分布函数，如Weibull分布[28-30]、对数正态分布[31]和正态分布[32]等，进而建立了损伤演化模型及适用于不同条件的损伤统计本构模型。还有通过岩石宏观力学试验，选取试验过程中某种宏观易获取的动态参量如变形模量衰减[33]、波速变化[34]、裂纹体积应变[35-36]、AE特征参数[37]和能量耗散[38-39]等来定义损伤变量，这其中基于Lemaitre应变等效性假说[40]的弹性模量法应用最为广泛，也是研究岩石材料损伤演化规律的重要理论基础。

1.1 损伤变量

图3 应变等效性假设示意图Fig.3 Illustration of strain equivalence hypothesis

对于一维问题，可表示为式(1)。

(1)

根据损伤变量D以及有效应力的定义[41-42]，可得到式(2)。

(2)

将式(2)代入式(1)，得到基于应变等效性假说的一维受损材料的本构方程，见式(3)。

σ=(1-D)Eε

(3)

由式(3)可知，得到岩石材料本构方程的关键是获得其损伤变量演化过程的表达式，岩石损伤变量表达式的建立过程如下所述。

1.2 岩石迭代损伤演化模型及本构方程

基于唯象的宏观统计损伤力学，按照单元破坏、无损的二元假设，把宏观破坏现象看作是许多微观单元破坏的平均效应，不均质的微细观破坏用正态分布或Weibull分布来描述，从宏观的唯象角度出发定义损伤变量，建立了能够反映单轴压缩、三轴压缩下的岩石损伤统计本构模型[29-32]，但定义的损伤变量没有与损伤的物理机制相联系。所以，本节在破坏、无损的二元假设基础上，建立了一种新的损伤演化模型，引入如下假设。

1) 假设岩石由无数单元组成，单元总数为k(k→+∞)，且单元仅包括无损单元和破坏单元2种类型，如图4所示。白色部分表示无损单元，记其数量为u，阴影部分表示破坏单元，记其数量为v，则k=u+v。

图4 岩石微单元结构示意图Fig.4 Structure diagram of rock micro units

2) 破坏单元不能承受荷载，无损单元在一定条件下都可以转化为破坏单元，破坏单元不可以转化为无损单元。

3) 无损单元和破坏单元的面积相等，记为A0。

4) 无损单元为弹性体，满足胡克定律，弹性模量相等，记为E0。

5) 岩石受载破坏过程满足应变等效性假说。

6) 不考虑时间效应，即无损单元向破坏单元转化的过程是瞬间完成的。

根据RABOTNOV[42]提出的损伤变量定义，则损伤变量可表示为式(4)。

(4)

式中，0≤v≤k，所以损伤变量D∈[0，1]。

已有研究表明，岩石变形破坏是一个从局部开始、渐进演化的过程，最弱处首先产生缺陷，并不断衍生新缺陷,最终导致岩石破坏[26]，也就是说新缺陷由已存在缺陷和外界条件共同作用产生。因此，可以将岩石变形破坏的损伤演化过程看作是无损单元不断向破坏单元转换的过程。结合上述假设及分析，可以将破坏单元看成生物学中的某个单种种群，而岩石变形破坏的损伤演化过程相当于该种群(破坏单元)的增长过程。假设破坏单元增长是无界的，即破坏单元在无限的环境中增长，岩石变形发展不受空间环境等条件的限制，则破坏单元的增长值将和上一时刻的基数成正比[43]，设比值为p，即vn+1-vn=pvn，也就是说岩石内部第n+1时刻的损伤状态(破坏单元数量)与第n时刻的损伤状态存在某一函数关系，见式(5)和式(6)。

Dn+1=f(Dn)=(1+p)Dn

(5)

Dn=D0(1+p)n

(6)

式中：Dn=vn/k；p为破坏单元的增长率。式(5)和式(6)表示的缺陷增长形式是呈几何级数式增长或指数式增长，增长率p与岩石内部破坏单元密度无关。

如果把岩石变形过程中的应变值抽象为该种群(破坏单元)增长模型中的时间，外加荷载抽象为该种群(破坏单元)增长所需的食物，岩石微单元总数量即为该种群(破坏单元)的环境容纳量。将岩石变形破坏的损伤演化过程看作无损单元不断转化为破坏单元的过程，如果每隔应变间隔Δε测量一次破坏单元的数量，用vn表示第n次的破坏单元数量，则可得式(7)。

(7)

然而自然界中岩石内部微缺陷受环境空间因素制约，不可能无限制地增长，即破坏单元总数量v不会超过最大环境容纳量k，且随着破坏单元数量不断增加到接近最大环境容纳量k时，破坏单元的增长速度由于环境容量等限制因素将逐渐减缓，直至停止增长，因此破坏单元增长率p不再为常数，而是与破坏单元总数量v和剩余可供转化为破坏单元的无损单元总数量(k-v)呈某一函数关系。借助生物学一种简单的、随种群大小而变化的连续增长模型，即逻辑斯蒂模型(Logistic model)，也称为阻滞增长模型[44]，可知破坏单元数量随着应变增加的关系见式(8)。

(8)

式(8)转化为连续变量的形式见式(9)。

(9)

结合损伤变量的定义(式(4))，式(9)可进一步转化为式(10)。

(10)

式中，r=kp为损伤变量的内禀增长率。

对式(10)进行积分，可得到损伤变量的表达式，见式(11)。

(11)

式中：a=ln(k/v0-1)反映了初始损伤程度；v0为初始时刻破坏单元的数量。

式(11)即为基于Logistic方程建立的岩石迭代损伤演化模型。根据上述假定及描述，破坏单元在有限环境空间下的增长呈现为“S”型，如图5所示。“S”型增长曲线具备两个特点[44]：①“S”型曲线有一个上渐近线，即“S”增长曲线最终会渐近于k值，但不会超过最大值水平；②“S”型曲线呈逐渐、平滑的变化趋势，从曲线斜率来看，起初增长速率较慢，随后逐渐加快，到曲线中心处存在一拐点，此时增长速率最快，以后又逐渐变慢，直至最终停止增长。

图5 Logistic增长模型Fig.5 Growth model of Logistic

进一步将损伤变量表达式(式(11))代入一维受损材料的本构方程(式(3))中，即可得到岩石迭代损伤本构方程表达式，见式(12)。

(12)

1.3 模型验证

(13)

图6 新坐标系下应力-应变曲线Fig.6 Stress-strain curve in a new coordinate system

根据图6并结合上述分析可知，新坐标系下岩石迭代损伤本构方程表达式(式(12))可变化为式(14)。

(14)

式中，E0为基准弹性模量，可根据应力-应变曲线弹性段斜率确定。

新坐标系与原坐标系之间存在关系见式(15)，将式(15)代入式(14)，可进一步得到岩石在原坐标系下的迭代损伤本构方程表达式为式(16)。

(15)

σ=(1-D)E0(ε-εcc)=

(16)

至此完全建立了岩石单轴压缩迭代损伤本构方程。 损伤本构方程中各参数确定方法与步骤如下所述。

1) 根据应力-应变曲线弹性段斜率确定基准弹性模量E0。

2) 将线性段反向延长至与应变轴相交(图6)，交点即为岩石裂纹闭合应变εcc。

5) 将式(11)进行对数变换可得ln(1/D-1)=a-rε，按该式进行线性拟合即可得到参数a和r的值。

6) 将各参数值代入式(16)，即可得到基于应变等效性假说和Logistic函数的迭代损伤本构方程。

根据砂岩单轴压缩试验结果[45]，按照上述步骤计算得到所有参数值为：E0=28.41 GPa，裂纹闭合应变εcc=0.09%，参数a和r分别为12.15和17.92，进而得到砂岩迭代损伤演化模型及其迭代损伤本构方程见式(17)和式(18)。

(17)

(18)

根据式(17)和式(18)计算得到理论损伤演化曲线、本构关系曲线与试验数据对比结果如图7所示。从图7(a)可以看出，本文所建迭代损伤演化模型与基于变形模量衰减法计算得到的试验结果吻合良好，且根据该模型可以较清晰地将岩石损伤演化过程划分为损伤保持、损伤开始、损伤加速、损伤减缓及损伤终止5个阶段，这与以往研究结果相符。从图7(b)可以看出，本文建立的迭代损伤本构方程与试验数据吻合良好，应力-应变曲线峰前和峰后两部分都得到了较好的描述，特别是峰前的非线性特征和峰后的应力突降现象，都通过本模型较好地体现了出来。唯一的不足是还不能很好地描述岩石单轴压缩条件下初始压密阶段的非线性变形特征。但对于工程实际来说，工程岩体大多已经被压密，所以在研究岩石单轴压缩条件下变形特性时，很少考虑岩石压密阶段部分。因此，本文建立的岩石损伤迭代本构模型合理，可以用于描述岩石单轴压缩条件下的应力-应变关系。

图7 试验数据与拟合曲线比较Fig.7 Comparison between test data and fitting curves

2 损伤演化模型的混沌特征

岩石的变形破坏与其内部微裂纹的萌生和演化存在密切联系，具有显著的复杂性、模糊性、非线性和不确定性等特征，而混沌理论为研究岩石力学行为的非线性特征提供了新的方法和思路。郑颖人等[46]通过研究也认为岩石的变形、损伤和破坏是一类非平衡、非线性的动态演化过程，其破坏结果对初始损伤及结构分布具有敏感依赖性，从细观上讲，建立非线性动力学演化模型来描述损伤演化导致失稳破坏的过程才能反映该过程的本质特征。因此，从损伤角度对岩石变形破坏过程的混沌特征进行研究具有合理性。

2.1 损伤演化离散模型

倍周期分岔可用来判别混沌现象，倍周期分岔是指随着控制参数的增加，将依次经历1-周期点、2-周期点、4-周期点……的周期加倍的分岔现象，也称为倍周期分支。1978年，FEIGENBAUM[47-48]发现了由倍周期分岔进入混沌的途径，而某些条件下的Logistic方程具有典型的倍周期分岔现象[49]，如图8所示。

图8 Logistic方程倍周期分岔现象Fig.8 Periodic bifurcation of Logistic equation

标准的Logistic离散方程见式(19)。

xn+1=Fμ(xn)=μxn(1-xn)

(19)

对于区间I=[0，1]，μ>0，当xn∈I时，随着μ的增加，Logistic离散方程的解将经历倍周期分岔进入混沌。此时，从任一点邻域，都可以找到这样的点，它的轨道能进入其他任一点邻域。在I=[0，1]中有这样的不可数点集，其中任意两点在映射Fμ的作用下，可以一再地任意靠近，又一再地拉开距离，出现类似于随机过程的状态。

对损伤变量演化方程(式(11))进行离散化处理，可以得到单位应变下损伤变量演化的离散模型，见式(20)。

(20)

若每隔应变间隔Δε测量D值一次，用Dn表示第n次的D值，则原来的连续变量D(ε)和ε就变为离散变量(D0，D1，D2，…)和(n=0，1，2，…)，连续微分方程(式(20))就相应地变为式(21)所示的离散差分方程。

(21)

(22)

2.2 损伤演化混沌过程

以1.3节中砂岩单轴压缩变形破坏过程为例，详细描述岩石损伤演化的混沌特征，其损伤演化方程见式(23)。

(23)

进一步求导，可得损伤演化方程的微分形式，见式(24)。

(24)

由式(21)可知损伤演化微分方程的离散差分方程为式(25)。

(25)

(26)

1) 当0<Δε<0.111 6时，有1<μ<3，其广义损伤演化过程如图9所示，其损伤演化终值都将趋于0.5，并保持稳定。

图9 广义损伤演化过程(Δε=0.055 8)Fig.9 The generalized damage evolution process(Δε=0.055 8)

2) 当0.111 6≤Δε≤0.143 4时，有3≤μ<3.569 9，其广义损伤演化过程将随着Δε的增大出现倍周期分岔现象，图10(a)和图10(b)分别为2-周期和4-周期分岔现象。

图10 广义损伤演化过程(0.111 6≤Δε≤0.143 4)Fig.10 The generalized damage evolution process(0.111 6≤Δε≤0.143 4)

3) 当0.143 4≤Δε<0.167 4时，有3.569 9≤μ<4，其广义损伤演化混沌过程如图11所示，随着迭代的进行，广义损伤变量可以跑遍区间(0，1)之间的所有状态，看似随机实则有序。

图11 广义损伤演化过程(Δε=0.15)Fig.11 The generalized damage evolution process(Δε=0.15)

3 岩石损伤膨胀迭代模型

岩石压缩变形过程中，损伤不断增加，其体积呈现先压缩后膨胀的特性，该膨胀过程也可视为迭代演化的过程。岩石是由不同矿物颗粒组成的非均质连续体，不同矿物颗粒具有不同的膨胀系数，因此，矿物颗粒会产生不协调变形形成局部应力集中，导致岩石体积发生膨胀，当这种膨胀应力超过或者达到矿物颗粒之间黏结强度时，就会破坏掉矿物颗粒之间的连接，进而形成微裂纹。因此，岩石的膨胀特性对于理解岩石破坏有着重要意义。如软岩膨胀机理被认为是世界性难题[50]，虽然近几十年围绕岩石膨胀研究比较丰富，但一直缺少同实验观察吻合的有效理论模型。扫描电镜观察到的软岩微观结构组合元件包括粉砂质颗粒元件和黏土矿物层元件，粉砂质颗粒元件起骨架作用，黏土矿物层元件起胶结的作用，这一微观结构具有明显的自相似性，是一种层级结构[21-24]。在研究其膨胀效应时，作为统计力学系统，这种结构同下述金刚石型等级晶格等效。

3.1 金刚石型等级晶格模型及迭代动力系统

金刚石型等级晶格[51]由下述规则迭代生成：首先，设有1个由2个点和1条棱构成的晶格，称为1-级结构；然后，用每个分支含有2条棱的2个分支的结构取代上面的1-级结构，从而形成2-级结构；接着，用2-级结构代替这一结构中的每一条棱，得到3-级结构。重复上述迭代构造过程，直至无穷多次，最终形成金刚石型等级晶格，如图12所示。在软岩微观结构中，点代表粉砂质颗粒的位置，棱代表黏土矿物的位置。

图12 金刚石型等级晶格Fig.12 The diamond hierarchical lattice

对于上述金刚石型等级晶格体每个格点放置一个粒子σi，每个粒子具有λ种状态，σi可取1，2，…，λ。将其配分函数记为Z，便得到统计力学中的Potts模型。在软岩微观动力学研究中，λ是粉砂质颗粒σi的膨胀、收缩等可能状态，不同的状态通过黏土矿物的胶结而产生相互作用。

在统计力学中，通常相变问题的主要任务是研究配分函数零点的分布问题，这往往十分困难。按照杨振宁和李政道的相变理论[52-53]，把exp(J/kT)记为自变量z(其中，J是相互作用常数，k是Boltzmann常数，T是温度)，如果把z开拓到复数域，则配分函数自然解析开拓为一个复变函数，它在复数域上的零点称为Yang-Lee零点，配分函数零点的极限集与实轴的交点即为相变点的考察对象。

为了深入分析粒子之间的相互作用和统计平均效应，统计力学提出把多粒子问题转化为少粒子问题的研究思想，即重整化群方法的“粗粒化”思想，其关键是寻找一个称为重整化变换[49]的映照，使这一过程实现。在二维情况，重整化变换往往是有理映照或整函数映照。20世纪80年代初，物理学家们发现[49,54]，重整化变换的复动力系统的混沌集(Julia集)对应上述物理模型中Yang-Lee零点的极限集。

复动力系统理论考虑复解析映照R的迭代序列的收敛性问题。记R的k次迭代为Rk。为了使得迭代能够延续下去，要求R的定义域和值域是一致的。粗略而言，如果序列{Rk}在某一点z的局部邻域内的收敛一致性比较好，则称这个点z为稳定点，全体稳定点组成的集合F(R)称为Fatou集，其余集J(R)称为Julia集。F(R)为开集，J(R)为闭集。进一步把Fatou集的每个连通分支称为Fatou分支，从而把R的定义域按序列{Rk}收敛的稳定性进行了二元划分：Fatou集和Julia集。Fatou集称为稳定集，Julia集总是非空集；Fatou集是完全不变集，即F(R)在R映照下的前像和后像仍然是F(R)，这是设计计算机程序绘制Julia集图像的基本依据。淹没点是指Julia集上那些不在任一Fatou分支边界上的点，由此可见，淹没点的存在性反映出是Julia集的拓扑结构的复杂性[55]。 另外，{Rk}在J(R)上具有周期点的稠密性、拓扑传递性、对初始值的敏感依赖性，这三条性质说明R的迭代动力系统在J(R)上呈现混沌状态[49]，故Julia集称为动力系统的混沌集。

3.2 淹没点、玻璃态转变和软岩膨胀

2020年，JIANG等[56]构建了长程作用下的广义金刚石型等级晶格上的Potts模型，这是一种铁磁作用和反铁磁作用竞争的金刚石Potts模型。具体构造过程：在上述金刚石型等级晶格的构造过程中，每一次总是“去除”一条棱，而“替代”为金刚石型结构，这次保留原来的棱(如图12所示用虚线表示的棱)，在上述Potts模型的基础上，在保留的棱(虚线)上加一个长程作用τ，这个模型的重整化变换U为一个带双参数τ和λ的四次有理映照族[56](其中参数τ代表长程作用)。

通过这族重整化变换迭代动力学的研究，可以发现：在铁磁作用和反铁磁作用竞争的广义金刚石Potts模型中，形成铁磁链和反铁磁链的逐级竞争，该族重整化变换的Julia集里，存在实参数τ以及某个自然数参数λ，使得Julia集上有淹没点位于正实轴上的情况出现。从Yang-Lee零点的物理意义可见，这种淹没点的出现对应玻璃态转变现象。玻璃态转变是物理学和材料科学中的前沿科学难题，它是2005年国际期刊《Science》公布的125个人类面临的最具挑战性的科学前沿问题的第47个问题。

近年来，玻璃态转变的研究一直在不断发展。从20世纪50年代出现的自由体积理论到现在还在不断完善的模态耦合理论以及其他众多理论，都只能解释玻璃态转变中的一部分现象，完备的玻璃态转变理论远未建立。在众多玻璃态转变的理论模型中，几乎没有同基础数学具体前沿成果紧密相关的模型[56]。本文的模型建立了上述软岩Potts模型、玻璃态转变与复动力系统的淹没点概念之间的联系。

综合以上讨论，取λ=2，即软岩微观颗粒取膨胀和收缩两种状态，就可以给出软岩自由膨胀的相变分类：有限次相变、无穷次相变以及玻璃态转变[57]。图13所描绘的Julia集就是在不同长程作用下(对应于不同的τ值)，上述软岩Potts模型Yang-Lee零点的极限集。

图13 不同参数τ对应的重整化变换U的Julia集Fig.13 The Julia sets for different parameters

上述分类说明，软岩膨胀的物理化学效应既可能引起有限次物理相变，也可能引起无穷次物理相变，甚至使软岩体进入异常复杂的玻璃态转变状态，这同软岩膨胀机理的复杂性高度契合。

4 结 论

本文基于应变等效性假说的变形模量损伤衰减理论，通过分析岩石压缩变形过程中迭代的演化特征，得出了岩石损伤演化规律，并从迭代角度建立了模拟该损伤演化规律的方法，在此基础上推导了一种新的岩石损伤本构模型，进而分析了损伤演化过程的混沌特征；基于扫描电镜观察到的软岩微观结构，建立了统计力学模型，分析了软岩膨胀的物理化学效应，主要得出以下结论。

1) 基于微缺陷迭代生长提出的损伤演化模型，实现了对岩石压缩变形全过程损伤演化规律统一、完整的描述，且损伤表达式清楚、物理意义明确。

2) 借助应变等效理论，从损伤迭代的角度，得到了岩石应变软化的本构方程表达形式，该本构方程仅用一个简单函数就描述了岩石压缩应力-应变全过程曲线，通过与试验数据对比，模拟结果吻合度高。

3) 对提出的损伤演化模型进行适当变换后，广义损伤可以表示为离散的方程，分析了其分岔及混沌特征，表明岩石在外载荷作用下的变形破坏过程是一个具有混沌特征的损伤演化过程，从而解释了岩石变形破坏过程具有混沌特征的原因。

4) 软岩膨胀的物理化学效应既可能引起有限次物理相变，也可能引起无穷次物理相变，甚至使软岩体进入异常复杂的玻璃态转变状态，这同软岩膨胀机理的复杂性高度契合。