湍动能在激波/边界层干扰流动中的影响

张昊元，孙东，邱波，朱言旦,王安龄,*

1. 中国空气动力研究与发展中心 空气动力学国家重点实验室，绵阳 621000 2. 中国空气动力研究与发展中心 计算空气动力研究所，绵阳 621000

以高超声速在大气层内飞行是未来飞行器发展的一个重要方向，相关技术吸引了众多研究机构和学者的持续关注。激波/边界层干扰现象广泛存在于这一类飞行器的流场中，其通常发生在飞行器的不同组件之间，常常引起气动力/热等关键参数的显著改变。对激波/边界层干扰流动的准确预测，是整个飞行器气动设计中的重要一环。

为此，本文针对目前对湍动能在RANS方程中，特别是在涉及激波/边界层干扰的模拟中作用不清的现状，采用基于OpenFOAM平台开发的求解器，针对=7.05的柱-裙实验模型开展了数值模拟计算，对湍动能的影响规律进行了研究，并系统分析了造成这些影响的物理机制。

1 控制方程与湍动能项组合方式

对于非定常可压缩湍流，雷诺应力采用线性涡黏性模型计算时，质量平均下的平均质量、动量和能量方程分别为

(1)

(2)

(3)

从式(2)和式(3)可以发现，有3类与湍动能相关的项。其中A项是涡黏性模型雷诺应力定义式中的一部分，B项是平均总能量定义中的湍动能分量，C项是分子扩散与湍流输运项(采用简单梯度方法模化)。当A～C项都被省略后，就是引言中提到的CFL3D或rhoCentralFoam中处理RANS模拟时求解的方程平均量输运方程。这里值得指出的是，在CFL3D中采用非线性涡黏性模型进行计算时，求解的RANS方程中与采用线性涡黏性模型时是有所不同的，其中只有湍动能项B被忽略了，而湍动能项A和C都保留了。

为了系统研究湍动能项A、B和C对激波/边界层干扰流动的影响规律，提出了8种不同的湍动能相关项组合方式(其中有3种与文献[8]中相同)。具体组合信息由表1给出，其中CFL3D软件在处理线性模型时采用的就是“no-A_B_C”这一组合方式,而处理非线性模型时则变成了“no-B”这一种组合。由此可见，当上述湍动能项(一个或其中几个)对预测结果有显著影响时，采用含有不同湍动能相关项组合的RANS方程对不同湍流模型的性能与表现进行评价时，是缺乏相同的比较基础的(求解了不同形式的平均流场输运方程)，因此采用这种方式得出的结论也就包含了很大的不确定性。

表1 湍动能项组合方式Table 1 Combinations of turbulent kinetic energy terms

2 数值方法与算例设置

采用有限体积方法在三维多边形网格上对文中涉及到的所有控制方程进行离散求解，数值计算均在OpenFOAM开源平台上实现。基于OpenFOAM内置的rhoCentralFoam求解器开发了新的基于密度的求解器，并包含了表1中列出的全部湍动能项组合。数值计算中所有对流项(包括平均量和湍流变量的输运方程)都采用AUSMPW+格式离散，在交界面上原始变量的重构采用带有Van-Albada限制器的二阶TVD方法实现，而扩散项计算均采用中心差分格式，时间推进采用基于局部时间步长的一阶隐式欧拉方法，为了保证数值稳定性，所有计算的CFL数控制在5以内。湍流模型采用Menter提出的-SST模型，其中湍流变量在物面和来流的边界条件均按照文献[14]中的推荐值设置。

图1 压缩拐角实验模型示意图[15]Fig.1 Test model of compression corner experiment[15]

表2 压缩拐角算例无干扰边界层参数

为检验计算网格对数值计算结果的影响，我们采用了4套网格(具体信息如表3所示)对网格收敛性进行了分析。图3给出了使用4套网格采用包含全部3个湍动能项(All组合)的RANS方程计算得到的物面压力和摩阻结果(图中为沿流向的坐标，“0”点位于压缩拐角处)。从中可以看出，随着网格加密，流动分离区范围会逐渐增大直至收敛，其中由Grid_fine(300×300)给出的结果与Grid_extra fine(400×400)给出的结果几乎完全相同，说明数值计算达到了很高的网格收敛水平。因此，后续所有数值计算均采用Grid_Fine网格进行。

图2 压缩拐角算例网格示意图Fig.2 Grid for compression corner case

表3 网格信息Table 3 Grid information

图3 不同网格物面压力和摩阻对比Fig.3 Comparison of predicted wall pressure and skin friction by different grids

3 计算结果与分析

3.1 湍动能项的影响规律

这里将8种不同的湍动能项组合分成3类情况进行比较：任意一项被单独忽略、任意两项被同时忽略以及三项同时被忽略。分析的重点是对湍动能项被忽略后，物面参数与流场结构相较于不忽略时的变化特征。

3.1.1 单项影响规律

图4给出了采用no-A、no-B和no-C组合(忽略任意一个湍动能项)与采用All组合计算得到的物面压力、热流和摩阻结果。从图4中可以看到，当湍动能项A被单独忽略后，干扰区压力峰值变化不大，但热流峰值有一个较为明显的增加(大约20%)；另一个更为显著的影响则是流动分离区，在A项被忽略后，同All组合相比，其范围缩小了近60%。当湍动能项B被单独忽略时，压力和热流峰值的变化均较小，但是流动分离区也同样发生了非常明显的变化；忽略了平均总能量定义中的B项会大大加速流动分离的发生(与A项被忽略的情形刚好相反)，此时整个分离区比All组合大了近30%。而当湍动能项C被单独忽略时，与B项被单独忽略时变化情况相似：物面压力峰值和热流峰值都几乎不受影响，但分离区范围有所增大。不过从分离区范围的变化情况可知，C项对流动分离带来的影响要明显小于B项。

图4 忽略单个湍动能项与包含全部湍动能项计算得到的物面压力、热流和摩阻对比Fig.4 Comparison of predicted wall pressure, heat flux and skin friction between case with a single TKE term neglected and that with all TKE terms included

3.1.2 双项影响规律

图5给出了忽略任意两个湍动能相关项后(no-A_B、no-A_C和no-B_C组合)计算得到的物面压力、热流和摩阻与包含全部3个湍动能项时的对比情况。可以看到，4种情况得到的压力峰值基本相同，而干扰区热流峰值在A项被忽略的条件下，不论B项或C项哪一个被同时忽略，热流峰值都会相较于完整包含3个湍动能项时有所升高(15%左右)，这与A项被单独忽略时规律相似；在B项和C项被同时忽略时，热流峰值会有所下降(10%左右)。从物面摩阻系数的分布来看，流动分离区受A项的影响最大：当这一项被忽略后(不管其他两项哪一个被一同忽略)，分离区范围都会缩小，只是在包含B项时(no-A_C组合)分离区减小的程度相对弱一些。当B项和C项被同时忽略时，分离区的变化情况与B项或C项被单独忽略时的规律相同，不过分离区范围产生了更大幅度的增大。

图5 忽略两个湍动能项与包含全部湍动能项计算得到的物面压力、热流和摩阻对比Fig.5 Comparison of predicted wall pressure, heat flux and skin friction between case with double TKE terms neglected and that with all TKE terms included

3.1.3 三项影响规律

图6给出了采用3个湍动能相关项都被忽略的方程(no-A_B_C组合)与All组合计算所得到的物面压力、热流和摩阻的对比情况。不难发现，当3个湍动能都被忽略时，干扰区压力峰值基本不受影响，这说明了这3个湍动能项对物面压力峰值的影响非常小。而干扰区热流峰值有所上升(12%左右)，分离区范围则与包含3个湍动能项时相比依旧呈显著减小的趋势。对比B项和C项同时被忽略时(no-B_C组合)流动分离区的变化情况(显著增大)，可以发现A项对流动分离的影响比B项和C项同时作用的影响还要大。

图6 忽略3个湍动能项与包含全部湍动能项计算得到的物面压力、热流和摩阻对比Fig.6 Comparison of predicted wall pressure, heat flux and skin friction between case with triple TKE terms neglected and that with all TKE terms included

从上述物面参数(压力、热流和摩阻)的变化规律可以看出，忽略部分或者全部的湍动能项(本文中列出的3个)对物面压力峰值的影响很小，相应的计算结果与包含全部3个湍动能项时基本一致。干扰区热流峰值受湍动能的影响相较于压力峰值的变化要更明显得多，尤其是当湍动能项A被忽略时，热流峰值会上升12%～20%。受湍动能项影响最明显是流动分离，表4列出了8种不同湍动能组合条件下，分离点、再附点和分离区范围。从表4中可以看出，只要湍动能项A被忽略，同包含全部3个湍动能项相比，流动分离都会滞后发生；这种影响在A项被单独忽略时最为明显，整个分离区的范围可以比不省略时小近60%。当包含A项时(完整的平均动量方程)，忽略湍动能项B或C都会加速流动分离的发生，但是C项单独作用的影响相对较小，分离区范围与不省略时增加8%左右。同时忽略B项和C项，对流动分离的加速效果最为显著，其分离区范围可以达到不忽略时(包含全部3个湍动能项)的近1.4倍。

表4 不同湍动能组合分离区长度对比

鉴于湍动能项对流动预测结果十分显著的影响，分析并掌握湍动能相关项的作用机理，就十分必要了。但是在此之前，值得指出的是，从上述8种组合的计算结果与实验结果的对比情况来看，SST模型可以较为准确地给出物面压力峰值的预测结果，但是给出的热流峰值预测结果则严重高于实验值，这与其他学者采用这一模型得到的规律相同。与此同时，对于分离区的预测，仅从这一个算例来看，采用no-A_B和no-A_B_C组合计算结果反而与测得的分离点位置符合得最好，而采用包含了全部湍动能项(All组合)时，分离区明显大于实验值。从已有的一些研究中可以发现，SST模型在二维/柱裙压缩拐角类激波/边界层干扰流动中，(由于Bradshaw数的原因)通常预测的分离区都明显大于实验值，这与采用All组合计算时规律是相同的。由此便可以知道，采用一个不完整的RANS方程进行数值计算时，可以出现与湍流模型本身的缺点不足相互影响，甚至抵消缺陷的结果(当然也可能放大这种缺陷)。这也再一次说明了采用相同的平均流动方程进行RANS模拟计算的重要性与实际意义。

3.2 湍动能项作用机理

3.2.1 湍动能项A作用机理

(4)

图7 包含全部湍动能项时比值分布云图Fig.7 Contours of ratio of with all TKE terms included

图8 采用不同湍动能项组合计算得到的平均压力分布与DNS数据对比Fig.8 Comparison of mean pressure predicted by different TKE combinations with DNS data

图9 no-A组合真实平均压力场等值线分布Fig.9 Iso-lines of real mean pressure predicted by no-A combination

3.2.2 湍动能项B作用机理

(5)

(6)

(7)

(8)

以此为基础，也就可以更好地解释了在同时忽略湍动能项A和B之后(no-A_B组合)分离区依旧缩小的机制,此时的有效压力可以近似由式(9) 计算得到：

图10 All、no-A和no-B湍动能项组合在分离点附近有效压力场流向压力梯度分布Fig.10 Pressure gradients in streamwise direction predicted by All, no-A, and no-B TKE combinations near separation point

(9)

3.2.3 湍动能项C作用机理

对于湍动能项B和C同时被忽略的情况(no-B_C组合)，两种相同作用的因素叠加，会使得分离区增大的程度超过单个因素起作用时的效果，这也与数值计算结果相符：no-B_C组合是所有不同组合中促使分离区增大最为显著的一个。而湍动能组合no-A_C、no_A_B_C，则主要由于A项的影响大于其他两个湍动能项带来的影响，因而计算结果都呈现出了与单独忽略湍动能项A时相同的变化趋势。

从现有采用SST模型计算得到的物面压力和热流分布与实验值的对比情况来看，数值计算的结果与实验值相比还有较大的差距(流动分离区范围预测偏差较大且热流峰值被严重高估了)。在激波/边界层干扰区，湍流呈现出显著的各项异性特征，而提升对这种各向异性的模拟精度是改善流动预测结果的重要途径之一。为此，在RANS模拟中可以采用更高级的湍流模型(非线性湍流模型)来实现对湍流各向异性特征的更为准确地模拟。当采用如非线性涡黏性模型时，在雷诺应力的计算中包含湍动能项A对于准确的反应流场中湍流的各向异性程度和各个正应力分量的影响都至关重要(CFL3D软件也是采用这种方式处理非线性涡黏性模型的)。这也就意味着，采用包含全部湍动能项的RANS方程，是通过引入高级湍流模型，以期改善流动分离和物面参数预测结果的重要基础。

4 结 论

本文通过对典型高超声速激波/边界层干扰流动的数值模拟计算，获得了3个不同湍动能项在8种组合条件下，对流场预测结果的影响规律，并通过对平均变量输运方程的定性和定量分析，研究了不同湍动能项在流动预测中的作用机理，得到了以下结论：

1) 在RANS方程的中忽略雷诺应力定义式(涡黏性模型)中湍动能项A会导致干扰区物面热流峰值增大12%～20%；同时显著推迟流动分离的发生，其分离区范围会缩小至包含全部湍动能项时的40%左右。

2) 忽略RANS方程中平均总能量定义式中的湍动能项B和分子扩散与湍流输运项C,对干扰区物面压力和热流影响较小，但是会加速流动分离的发生；其中B项带来的影响要比C项严重得多，分离区会因B项被忽略而增大超过26%，而C项带来的相似影响为8%左右。

4) 湍动能项C主要起着增强流体中湍动能扩散的作用，因而忽略这一项会引起近壁面区域湍流黏性系数的下降，进而产生加速分离的效果。3个湍动能项中，A项对流动分离的影响最强，B项次之，而C项最弱。

综合上述结论可知，湍动能项在高超声速激波/边界层干扰流动的RANS模拟中影响十分显著，其影响特性主要表现对流场中有效平均压力场的显著改变。因此，在涉及到受平均压力场影响较大的流动中，例如对强逆压梯度带来的流动分离的模拟或激波诱导分离的临界分离条件的模拟分析中(不限于高超声速)，都应该考虑采用包含全部湍动能项的RANS方程进行模拟分析。而对于非平均压力场主导流动的模拟中，如传统的零压力梯度的平板/圆柱湍流边界层等，不同形式的RANS方程对预测结果的影响将会非常有效，这也与笔者前期的研究结论一致。

与此同时，尽管采用包含全部湍动能形式的RANS不一定总会带来计算结果的改善(预测结果的精度还受到所采用湍流模型的影响)，但是由于忽略不同的湍动能项在不同类型流动的模拟中会产生不同的影响，因而采用包含全部湍动能项的RANS方程对于在相同的前提下，研究如何改进湍流模型提升流动预测精度,具有十分重要的实际意义。