部件具有随机相关性的串并联系统选择性维修优化

孙 亮，成国庆，苏拥政，王 东

（上海海洋大学 工程学院，上海 201306）

0 引言

在工业生产和军事领域，通常要求装备系统相继地执行多个任务，任务之间的间隔是有限的，在有限的任务间隔期无法对所有劣化和故障部件进行维修，只能选择一部分部件进行维护，这种在维护时间和费用等资源的约束下制定维护决策的问题叫做选择性维护。

Rice等[1]人首先讨论了两状态的串并联系统的选择性维护问题，在每次任务间隔期，考虑两种维修行为——不采取任何行动或更换故障部件，建立了一个非线性选择维修优化模型，以在有限的维修时间下最大限度地提高系统在下一任务中的可靠性。Cassady等[2，3]扩展这项工作，系统可以由不同类型的部件构成，并增加了维护成本作为问题的另一个约束。文中提出了三种不同的选择性维修模型，即在时间和成本约束下的系统可靠性最大化模型、在时间和可靠性要求约束下的系统维修成本最小化模型和在成本和可靠性要求约束下的总维修时间最小化模型。之后Cassady等人[4]进一步研究了串并联系统中组件寿命服从威布尔分布的选择性维护问题。Pandey等人[5]将不完美维修作为一种维护行为，并表明通过执行不完美维护行为可以提高系统的可靠性。Liu和Huang[6]通过生成函数建立了两状态部件组成的多状态系统的选择性维护模型。

在较早的选择性维修研究中，假设系统部件在经济上是独立的，即每个部件的维修独立于其他部件。然而，在许多工业系统中，如飞机、医疗设备、汽车机械和核电站等，由于需要分担安装、工具、材料和劳动力，维修多个部件，特别是相同的部件往往更加经济。在这种情况下，这些系统中的组件被认为是具有经济相关性的。文献[7～14]提出了通过执行一组维护活动来节约成本的措施。Nourelfath和Chatelet[15]在生产和预防性维修计划问题中研究了并联系统各组成部分之间的经济相关性和结构相关性，使生产和维修总成本最小化。Dao和Zuo[16]同时考虑了部件之间结构和经济上的相关性，以最大限度地提高系统的可靠性为目标建立了多状态系统的选择性维护模型。Amene[17]建立了部件之间具有随机相关性的串联系统的选择性维护模型，讨论了串联部件之间的劣化相关性。

而实际的工业系统和生产装备中组件之间关系并不仅仅是串联关系，更多的是串并混联的关系，且系统中组件之间的随机相关性不仅存在于串联组件之间，并联组件之间也存在随机相关性，如卸船机的主起升系统中两个同型号的电动机为并联关系，而减速器独自构成一个子系统与两个电动机构成的子系统串联。为了使模型更加符合实际的工业系统，本文针对港口机械卸船机的主起升系统，在Amene等人研究的基础上，进一步研究了部件之间具有随机相关性的串并混联系统的选择性维护，并分别讨论了串联子系统之间的随机相关性，以及子系统内部相同的并联部件之间的劣化关系，利用各种影响部件之间随机相关性的因素进行建模，并通过蒙特卡洛法对串并混联系统的劣化过程进行了仿真，计算出系统在下个任务期的可靠性，得到了部件具有随即相关性的串并联系统的选择性维护模型。

1 模型建立

1.1 劣化模型

本文研究的串并联系统由M个相互独立的子系统串联而成，其中，第i个子系统由Ni个相同的部件并联而成。且每个部件具有k+1个不同的状态（0，1，2…K-1，K），其中0为部件的故障状态，K为部件的正常运行状态，其余为中间状态。系统结构图1所示。

图1 串-并混联系统示意图

假设部件的劣化服从马尔可夫过程，部件状态的转移时间服从指数分布。且部件的劣化过程是连续的，即部件从状态K劣化到K-2之前必定会先劣化到K-1状态。系统中的任意部件bij从K劣化至K-1的固有劣化率为λij,k。

图2 部件性能退化示意图

此外，部件的的劣化存在随机相关性，在子系统中一个部件状态一旦劣化至0，即故障状态，便会对子系统中的其他并联部件的劣化产生影响，例如在卸船机的主起升机构中由两个相同的并联电机提供动力，一旦其中一个电机状态降为0，即故障状态，负荷便全部集中在另一个电机上，便会对此电机状态产生影响，加速其劣化过程。定义函数f(.)来表示子系统中部件故障对其他部件劣化的影响，且f(.)的表达式为：

其中GS(t)为t时刻系统的运行状态，GK为系统的最高状态，同时子系统的部件劣化还受到故障部件nI(t)个数的影响，N表示部件所在子系统中部件个数。另一方面，部件还会受到一些随机因素的影响，如系统运行环境，运行条件，用一个参数δ来表示这些随机因素所造成的影响，设δ服从正态分布。

另一方面，在串联的子系统之间也存在着部件劣化相关性，当子系统si(t)从k劣化至k-1时，将对相关的子系统的劣化产生影响，我们用e丨β丨来表示在串联系统中部件之间的劣化影响，β为服从正态分布。

当部件处于完美运行状态时，f(.)=1，Gs(t)=Gk，δ=1，此时当部件劣化，子系统的状态下降，

1.2 系统部件的可靠性

在对多状态组件的劣化过程建模完成后，本节将讨论系统在下一个任务周期的可靠性。系统可靠性可以定义为系统可以成功执行下一个相邻任务的概率，且任务的时间为τ。换句话说，系统的可靠度可以定义为系统在运行τ时间后系统的状态仍然大于等于状态a的概率，即：

其中Rs(τ，a)代表系统的可靠度，Gs(τ)为系统运行τ时间后的状态，φi(τ)描述了子系统i运行τ时间后的状态，而pij,k(t)则代表部件bij运行τ时间后处于状态k的概率。在部件不存在相关性的系统中，pij,k(t)的值可以通过求解Chapman-Kolmogorov微分方程组获得，而在本模型中由于部件之间的劣化存在随机相关性，所以原有的求解方式不能适用于此。

为了描述部件具有劣化相关性的串并联系统中部件状态的转移概率，本文利用蒙特卡洛方法仿真了系统在一个任务周期的劣化过程。该方法首先模拟各部件bij状态转移过程。产生一个（0，1）的随机数U，部件bij在t时刻状态不发生转移的概率为qij，且qij表达式为：

如果U大于等于qij则部件的状态由k劣化为k-1，同时利用和β对同一子系统中的部件和相邻子系统中的部件状态转移概率进行更新；反之若U小于qij则部件的状态不发生改变。当时间到达任务的终点，或者系统的性能状态低于需求水平a时，一次仿真停止。将整个仿真过程进行NMCS次，最终得到系统的可靠性为：

其中count为仿真失败的次数。

2 考虑随机不完全维修的选择性维修优化问题

通常来说，对于一个多态部件有多种维修或维护方案可供选择，包括更换，非完美维护，和不维修等。部件在维修之后可能处于维护前的状态和完美状态之间的某个状态，可以归纳如下：

事实上，非完美维护的效果主要由两个因素决定：一为部件的非完美维护次数zij，非完美维护次数越多的部件，再次接受非完美维护后达到预期状态的概率就越低；另一个因素为非完美维护期望提升的状态级别lij，期望提升的状态级别li越大，达到期望效果的概率也就越低。例如，一个期望状态提升30%的非完美维护成功的概率一般大于期望提升80%的非完美维护。鉴于此，非完美维护达到预期状态的概率设为：

由于维护效果的不确定性，部件在接受维护之后，系统可能处于多个不同的状态。例如，对于一个由两并联部件组成的子系统和一个单部件构成的子系统串联后组成的一个串并混联系统在经过维护后系统的状态有2M个。假设系统维护前的状态为Y=[12，1]，对每个部件所进行的维护等级为l11=1，l12=2，l21=1，且部件共有四种状态，{0，1，2，3}，维修之后部件1的状态可能为2也可能为1，部件2所接受的维护为完美维护，所以维护后的状态一定为3，部件3在经过维护级别1的维护后，状态可能为1也可能为0。即系统的维护后状态有22种可能，S1=[13，0]，S2=[13，1]，S3=[23，0]，S4=[23，1]，且系统处于这四种状态的概率是确定的。部件经过li等级的维护后，状态xij=yij+lij概率为而状态不发生改变的概率xij=yij的概率为。维护后的系统状态概率表达式为：

于是，下一个任务阶段系统的可靠度期望可以计算为：

维修期间所有部件的维护费用之和为：

维修期间所有部件花费的时间之和为：

最后，建立选择性维护优化模型，以找到下一个任务期内使得系统可靠度最大的维护行为水平。决策变量是上文定义的对单个组件所采取的维护行为水平，维护时间和费用则被视为约束条件。选择性维护优化问题模型如下：

式(14)为模型的目标函数，其中W为部件进行维护后系统状态的集合；式(15)、式(16)表示维修费用和时间的约束；式(17)表示部件bij只能接受一种维护行为；式(18)表示决策变量的值只能为0或1；lij为部件维修行为的级别。通过建模最终得到了一个混合整数非线性规划模型，在对此模型求解时，如果问题规模较大，通常采用各种智能算法进行求解，如粒子群算法，遗传算法，模拟退火算法等。而当部件状态和维护行为的选择组合数较少时，可采用枚举法进行求解。

3 算例分析

本节以港口机械系统卸船机的主起升机构为维修对象进行建模优化，以验证文中方法的有效性。卸船机的主起升机构由两个并联电机和一个减速器串联而成，其系统的可靠性示意图如图3所示。该系统由两个子系统串联而成，子系统1由相同的部件（电机）并联而成，子系统2由一个单部件（减速器）构成。不同部件维修所花费的时间（天）和费用（万元）如下：

图3 系统结构示意图

系统中的部件均有四种不同的状态（0，1，2，3），其中0代表部件的故障状态，而3则代表部件的完美运行状态，其余为中间状态。维修开始前部件的初始状态为Y=[1 1，1]，且维修之前的部件接受非完美维护的次数Z11=1，Z12=1，Z21=1，部件1和部件2的初始维护成功概率维修预算中T=3，C=20，此外假设δ服从（5.24，0.001）的正态分布，β服从（4.91，0.001）的正态分布，且相邻任务间的维修时间τ=0.5（年）。

表1 部件状态转移率

利用上述数据进行建模，使用Matlab R2018b进行求解。为了分析仿真组件依赖的影响和维护操作的随机性质，我们考虑四个不同的维护情况；1）独立的组件和维护效果确定；2）独立的组件和随机非完美的维护行为；3）具有随机相关性组件和非完美维护效果确定；4）具有随机相关性的组件和非完美维护效果不确定。根据系统可靠性目标，维护成本和时间，对从这些场景中获得的结果进行比较。

蒙特卡罗仿真（MCS）需要找到合适的仿真次数。为此，使用不同的仿真次数运行MCS，以第三种情形中部件维护后的状态为X=[2 2，2]为例，得到的仿真结果如图4所示。

图4 不同仿真次数的系统可靠度

从图4可以看出当仿真次数N=10000次时仿真的结果与N=100000次时相同，而N=100000的计算量是N=10000次时的10倍，故选择N=10000。

在第一和第二种情况下，假设组件是相互独立的。然而在第二种情况下，维修行动的结果被视为随机的，以分析其不确定性对系统可靠性的影响。实验中部件的状态均为1，且选择维修行为等级均为1即L（1 1，1）。当不完全维护行为为确定性时即场景一中的情况，维修后的部件的状态为X=[2 2，2]，系统可达到的最大可靠性为0.999。在第二种场景中，所选维护水平动作的最大可实现系统可靠性为0.981。这近2%的系统可靠性下降正是因为维修结果的随机性导致，这也证实了将维修结果当成确定的考虑导致对系统可靠性不切实际的过高估计。

为了分析部件之间的随机相关性对系统可靠性的影响，以及组件随机相关性和不完全维修的随机性对系统可靠性的综合影响，现在考虑最后两种情况。在第三个情景中，组件被认为是随机相关的，而不完全维护动作的结果被视为确定性的。结果表明，当维护行为等级均为1时，系统的可靠性为0.97。这一结果和场景一的相比，由于部件之间的劣化存在随机相关性，系统的可靠性有所下降，它从本质上表明了系统建模时考虑部件之间的相关性对准确描述系统可靠性重要性。在第四个场景中，我们考虑组件之间的随机相关性和不完全维护的随机性，使模型更加符合现实中的情景，在此情景下综合考虑了多个方面所引起不确定性。在非完美维护后系统的可靠性为0.941，与其他场景的比较分析清楚地表明了了组件间的随机相关性和不完全维修结果的不确定性对系统可靠性的估计产生了明显的联合效应。伴随着由这些不确定性的增加，系统可靠性大幅下降。这个结果更直接地表明了综合考虑部件间的随机相关性和非完美维护的随机性，对准确估算系统可靠性的重要性。

实验中发现不仅部件之间的劣化随即相关性对系统可靠性产生影响，维护结果的随机性也会对系统的可靠性产生较大的影响。维护结果的随机性会对系统可靠度产生影响的主要因素为部件非完美维护成功概率的变化，而在本实验中的值主要由部件在维修前所接受非完美维护的次数Zij决定。部件的维护前状态均为1，且维护行为均为1，在情景四中的不同非完美维护次数的部件的可靠度结果如图5所示，维护前接受非完美维护次数为（0 0，0）和（2 2，2）的系统可靠度分别为0.95和0.9，可靠度的差值为0.05，所以在考虑系统可靠度的估算时，需要考虑部件接受非完美维护的次数Zij。

图5 不同非完美维护次数下的系统可靠度

假设系统的运行状态最低要求为1，且系统的各个部件的初始状态均为1，一共有27种不同的维护方式使系统在任务开始前满足最低状态要求。因为子系统1中的两个部件为相同的并联部件，所以维护效果相同，除去重复的维护策略，和时间费用约束之外的维护策略，一共还有13种可行的维修策略。从表2中我们可知对系统采取L（0 2，1）的维修策略，即对部件b11不维修，对部件b12进行更换，对部件b21进行非完美维护，可使系统的靠性最优，可靠度最大为0.965。

表2 不同维护行为下的系统相关指标

4 结语

本文研究了具有多状态部件的串并联系统的选择维修问题。该系统需要执行序贯任务，在任务中断期间，对其组件进行维护。一些实际的工程系统，如港口机械、飞机发动机、重型设备机械和发电系统就是执行序贯任务和定期维修的典型例子。组件可以接受不同的维护行为，这些维护行为的级别和成功率各不相同。本文考虑了系统各部件之间的随机相关性，并分别讨论了串联部件之间以及并联部件之间的随机相关性。此外，本文还考虑了部件维护前接受非完美维护的次数对非完美维护成功概率的影响并对其进行了建模。由于这种随机不完美维护行为，系统维修后可能以一定的概率处于不同状态，从而导致下一次任务中可靠性的不确定性。采用蒙特卡洛仿真计算了系统在下一次任务中的期望可靠性，以最大化可靠性为目标、以维修时间和费用为约束，建立了部件具有随机相关性的串并混联系统的选择性维护模型。最后以港口机械系统卸船机的主起升机构为研究对象，演示了本模型并验证了其有效性。