锁定已知 构建联系 设定未知 发展思维——以“用一元二次方程解决问题”课堂教学为例

⦿江苏省无锡市江南中学 王 蕾

1 引言

“用一元二次方程解决问题”是苏教版九年级(上)第一章第四节的内容.在本章的前三节学生已经学习了一元二次方程的概念、解法，以及方程的解与系数的关系，对一元二次方程相关知识有了系统的认知.接下来通过探究实际生活中数量关系的过程，体会、体验一元二次方程解决实际问题的数学模型；同时，在运用一元二次方程解决现实生活中实际问题时，不仅要注意解方程的过程，还要检验所得的解是否符合问题的实际[1].

2 创设实际问题情境，引导学生进入课题

从字面上看“用一元二次方程解决问题”这一课题有两个方面的含义：一是运用的知识是一元二次方程，另一是解决的问题是现实生活问题.因此，把实际问题转化为数学问题，对现实生活问题进行数学建模，不仅仅是列出一元二次方程去求出问题的解，而且还要进行推理判断所得出的结果与生活实际是否相符，这是本课题的重点，也是本课题的难点.

图1

导入情境(电子白板展示)如图1，Rt△ACB是一养鱼池的一角，∠C=90°，为了捕鱼，一渔网同时由A，B两点出发分别沿鱼池边缘AC，BC方向向点C匀速移动至点Q，P，它们的速度都是1 m/s，问多长时间后△QCP的面积为Rt△ACB面积的一半？

创设目的：为了让学生将实际问题具体化，在引入课题之时创设的问题情境用图象形式呈现，让生活问题具有“数学模型”化的特征，学生用数学方法建模就可以简单化.

3 引导探究解题过程，帮助学生对实际问题进行数学建模

“引导探究解题过程”“帮助学生进行数学建模”是帮助学生掌握应用一元二次方程解决实际问题的方法步骤，并且是提高分析问题、解决问题能力的关键.

教学案例1

师：如何计算CQ，CP的值呢？

生：根据点A到点Q与点B到点P距离相等.(进行讨论、各抒己见.)

师：若点A到点Q的距离是xm，又怎样计算CQ，CP的值？

生：CQ=(15-x)m，CP=(10-x)m.

师：请同学们解决情境中的问题.

师：这两个数据都符合实际情况吗？

师：通过以上问题说明，利用一元二次方程解决问题不仅要求出具体数值，而且还要分析判断是否存在某种数量关系；同时，用一元二次方程解决实际问题时，不仅要注意方程求得的解是否正确，还要检验方程的解是否与问题的实际情境相符合.请大家思考上述解决问题的主要步骤.

学生：通过小组讨论，归纳总结出：

①从情境中找出存在的量的关系，列出等式；

②在列出的等式中发现未知量，设定未知数；

③将设定未知数代入列出的等式中进行求解；

④检验所得出的未知量与情境是否相符.

教学反思：通过案例分析不难发现，这是一种探究、讨论、启发式的教学过程.在此过程中，教师一直引导鼓励学生自主探究、合作交流，培养自觉思考的良好习惯，实现对实际情境问题的数学建模.

4 驱动内化解题的潜能，强化学生对数学建模的解题应用

对实际问题的数学建模，其作用之一是规范学生的解题步骤，形成一种抽象思维的定式.因此，在课题的导入情境中作出相应的变式，让学生在已经熟悉的情境中拓展思维是很有必要的.也就是说，对一节课的知识要巩固，通过变式练习达成“堂堂清”[2].

变式情境(电子白板展示)如图1，Rt△ACB是一养鱼池的一角，∠C=90°，为了捕鱼，一渔网同时由A，B两点出发分别沿鱼池边缘AC，BC方向向点C匀速移动至点Q，P，渔网的速度分别是1.5 m/s，1 m/s，若△QCP的面积为Rt△ACB面积的一半，则需经过多长的时间？

教学案例2

生：不能直接设点A到点Q的距离或点B到点P的距离了，应该设需要的时间为xs，这样AQ=1.5xm，BP=xm，于是有CQ=(15-1.5x)m,CP=(10-x)m.

师：这两个数据都符合实际情况吗？

生：当点Q，P在Rt△ACB的边上时，15-1.5x>0且10-x>0，即0

教学反思：这个案例是最初导入情境的变式，尽管情境涵盖的数学关系式的原理是相同的，但比原来的问题情境有了进一步拓展，即不能直接设定点Q，P走过的路程了，除非学生发现了AB∥QP，这需要独到的眼光才能察觉.所以，在用一元二次方程解决实际问题时，假设的未知量也至关重要.

5 结束语

总之，用一元二次方程解决实际问题时，问题情境的表达方式是实际情境的真实反映.当其中有些数量关系比较隐蔽时，在探究过程中假设未知量以及正确建立一元二次方程是学生的难点，需要教师恰当地引导.在课堂教学过程中教师要做到：创设现实生活中的实际问题情境，引导学生进入课题；引导探究解题过程，帮助学生对实际问题进行数学建模；驱动内化解题的潜能，强化学生对数学建模的解题应用.这样，就一定能够让学生弄清问题情境，锁定已知，构建联系，设定未知，发展思维.