功能原理的例证教学法和课程思政启示

刘伟民，梁果，尹乃强，曾庆国

(商丘师范学院 电子电气工程学院，河南 商丘 476000)

功能原理是高等学校力学或大学物理课程的核心内容，理解起来具有一定的难度.其原理的推导涉及质点系的动能定理.对一个质点系，假设其外力和内力做功分别为We和Wi，系统的动能、势能和机械能分别用Ek、Ep和E表示，则有

We+Wi=ΔEk

(1)

而系统内力的功又分为保守内力功Wic和非保守内力功Wnc，而保守内力的功Wic总可以表示为系统势能增量的负值，即

Wic=-ΔEp

(2)

联立以上公式和关系式，得到

We+Wnc=ΔEk+ΔEp=ΔE

(3)

这就是系统的功能原理，可以描述为，系统所受的外力和非保守内力做功之和等于系统机械能的增量.不难发现，功能原理将系统外力和非保守内力做功情况和系统机械能变化联系到一起，这也是功能原理名字的由来.

在以往的教学研究中，关于功能原理的描述有很多.这些描述中，有开展功能原理和机械能守恒定律关联问题和使用条件的研究[1-2]，也有针对功能原理的其他表述形式，讨论包含外保守力形式的适用条件及可能存在问题展开论述的研究[3-5].有针对外势能概念的引入对功能原理和机械能守恒定律描述的影响等方面的研究[6-7].也有利用功能原理讨论受迫振动等方面的研究[8-9].还有讨论非惯性参考系下功能原理的描述和应用的研究[10-11].但关于功能原理的具体教学过程的研究目前还不多，如何通过教学设计传授知识、训练思维以及进行思政提升，值得我们所有教师深入思考.下面，我们通过三个实例，来详细阐述功能原理的例证教学法以及可能的思政启示.

1 举例描述

例1：如图1所示，物体2放置在光滑地面上，两物体间滑动摩擦系数为0.1，物体1以初速度10 m·s-1从物体2右侧往左侧滑行.此过程中摩擦力做的功？

分析：通过分析发现，两物体最终会以相同速度往左侧滑行，由于水平方向不受外力，动量守恒，因此最终的合速度为2.5 m·s-1.此时如果单独去求解每一物体所受摩擦力做功情况，由于牵涉两个物体，并且方向不一致，显得十分复杂，但由于水平方向不受外力，且只有非保守内力做功，机械能只有动能，利用功能原理，发现，摩擦力做的功就是系统动能的增量.即ΔE=12.5 J-50 J=-37.5 J，负号表示系统的机械能在减小.

例2：如图2所示，物体2斜面放置在光滑地面上，物体1可以看做质点，与物体2之间无摩擦力，物体1从斜面顶端静止释放，并沿斜面下滑，假设斜面和地面之间角度较小，可看成平顺连接.问当物体1刚滑出斜面时，物体1和2的速度？

分析：如果只把M1和M2作为系统进行分析，由于物体1下滑过程中牵涉到重力做功，此时重力属于外力，增加了问题复杂性.因此，换种思路，把物体1、物体2和地面三者作为研究系统，则在运动过程中，重力为内力，不存在其它系统外力，也不存在非保守能力做功.由于系统的重力势能变化易于求解，而待解问题正好和动能建立关联，因此直接利用功能原理，发现外力和非保守内力做功均为零，系统的机械能守恒.另外，由于系统水平方向不受外力，动量守恒，有

M1v1=M2v2

(4)

以地面为重力势能的零参考面，设物体1释放时的初始高度为h.则有

(5)

例3：仍以图2所示，假设其它条件不变，但是物体1和2之间存在摩擦力(物体1释放后仍然可以下滑)，若物体1滑出斜面时的水平速度为v1′，求摩擦力做的功为多少？

图1 有摩擦力的两物体放置在光滑水平面上

图2 相互无摩擦力的两物体放在光滑水平面上

分析：和例2相比，物体1在下滑过程中，存在摩擦力，仍以物体1、2和地球作为研究系统，在整个过程中，不存在外力，摩擦力为非保守内力，利用功能原理，以及水平方向动量守恒，有

M1v1′=M2v2′

(6)

(7)

2 讨论和结论

通过以上几个例子，能够感受到采用功能原理处理问题的便捷性.本质上为什么有这些便捷呢？那是因为在解决实际问题时，单独去求解外力的功，特别是非保守内力的功，有时会特别复杂，如果遇到变力问题，或者摩擦表面不均匀情况，几乎无法直接求解，而在一个系统中，机械能的变化相对容易得到，甚至有时机械能本身就是守恒的.而利用功能原理，不但能够建立做功和系统机械能变化之间的关联，更能将求解过程大为简略，为解决复杂问题提供了一种处理思路.因此，理解好功能原理，就能深入理解质点系的动能定理和机械能守恒定律.

3 思政启示

立德树人是高校的根本任务，思政环节在教学中的重要地位，近年来一直为教育部和高校教师所重视，如何将思政内容在潜移默化中，做到润物细无声，是思政教学环节的要求和追求.以下，我们来探讨功能原理的教学过程中，可能包含的课程思政元素.

3.1 发现事物之间关联

对于功能原理的教学，一个基本的思政启示是，事物之间往往具有某种关联，系统的动能定理，实际上在推导过程中只包含了系统中的每一个质点的外力做功和该质点动能变化之间关联，并没有涉及势能，但由于保守内力的功等于系统势能的变化，最终将系统外力和非保守内力的功与系统机械能的增量建立关联.并显著增加了求解问题的便捷性.而利用功能原理的表述，不难发现，如果系统不受外力，也不存在非保守力做功的情况，则系统的机械能增量为零，也即此过程中机械能守恒.可以顺势教育学生，事物之间的发展往往具有一定关联，我们的学习过程也是这样，对于一门课程来说，前边的内容往往是后边内容的基础或者应用，如果前边基础打不好，会严重影响后续学习.所以，任何一门课程的学习，从一开始，我们就要抱着积极主动的态度认真对待.甚至不同的课程之间也是如此，这也是很多课程存在先修课程的原因.

3.2 全局视角解决问题

在例1中，我们需要求解运动过程中的摩擦力做功，如果不进行全局分析，只是按照字面意义直接去求解摩擦力，就需要获得界面之间的摩擦系数，以及在摩擦力作用下发生的位移，但由于系统中摩擦力对两个物体做功的方向是相反的，特别是摩擦力系数如果不是常数或者正压力并非定值，直接求解会相当复杂.我们在日常工作学习中，遇到问题时，要学会通过表面看清事物的本质，找到解决问题最合适的方法.例如，道路上有一个小坑经常会造成过往车辆爆胎，那处理问题的最佳方式不可能只是提醒大家注意危险存在，而是想办法联络有关部门把道路处理平整.在学习过程中，要提醒学生思考处理同样一个问题时，哪种方法和思路最简洁有效.