如何在函数教学中融入建模思想

蔡 燕 （江苏省张家港市沙洲中学，江苏 张家港 215600）

数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题，用数学知识与方法构建数学模型解决问题的过程.建模思想是一种运用数学建模解决问题的思想，在高中函数教学中融入建模思想，有助于加深学生对不同函数类型的认识，提高其运用函数解决实际问题的意识与能力，对提高其数学建模核心素养以及数学成绩具有重要的现实意义.

一、做好函数基础知识讲解

函数是高中数学的重要构成部分，贯穿整个高中阶段，是各类测试和高考的必考内容.在函数教学中融入建模思想，不仅要求学生能够对实际问题情境进行合理抽象，准确判断与问题情境符合的函数模型，通过对相关参数逻辑关系的分析构建对应的函数模型，更要能够灵活运用函数的相关性质求解出最终的答案.为达到这一目标，需要学生牢固掌握函数基础知识以及相关的运算技巧.因此，函数教学时应做好基础知识讲解.

高中阶段涉及的函数主要有：二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数.不同函数基础知识存在一定差异，其中函数的性质包括单调性、奇偶性、周期性以及对应函数的图像，是学生学习的重点与难点.教学实践中为使学生更好地掌握函数基础知识，为函数模型的建立做好铺垫，应注重采取以下措施，保证教学效率，使学生把握不同函数模型的特点，扎实掌握不同函数模型的性质、图像等知识.一，不同的函数均包括较多的基础知识，如函数的定义域、值域、恒过的点等.这些知识相对容易，在进行该部分知识的教学时应鼓励学生开展自主学习活动，并引导其围绕相关知识点进行课堂讨论，进一步澄清认识，加深理解，使其能够当堂掌握.二，函数的性质以及图像难度较大，在进行该部分知识的教学时应注重结合自身教学经验以及不同函数特点设计探究性问题，在课堂上指引学生进行探究，尤其注重运用信息技术展示不同函数的图像，给学生带来直观的认识，使其能够找到正确的探究思路，顺利得出探究结论，真正把握函数知识的本质.三，引导学生做好不同类型函数知识的对比与记忆，采用对比记忆法，记忆不同函数的定义域、值域、图像等.通过画出相关思维导图，将抽象知识直观呈现出来，构建系统的知识网络，将各知识点串联成串.

例如，构建函数模型解决实际问题时往往会运用到函数的单调性.在教学中为使学生掌握函数单调性的判断方法，真正理解函数单调性的含义，可运用多媒体技术为学生展示，如图1.

课堂上要求学生用语言描述两个函数图像的特征.通过观察不难发现图1（a），从左向右来看函数的图像是上升的，图1（b）从左向右来看函数的图像是下降的.为使学生掌握判断函数单调性的相关思路，在课堂上提出如下探究性问题：“如何运用数学符号刻画函数图像的上升和下降趋势呢？”要求学生思考探究.

图1 （a）

图1 （b）

二、传授函数模型建模理论

函数模型的构建对学生的综合能力要求较高，需要学生扎实掌握建模的相关步骤，把握不同函数模型的构建细节.因此，在函数教学中为使学生在建模的过程中少走弯路，保证建模的正确性，应注重函数建模理论的灌输，帮助学生储备更多函数建模理论知识，给其建模活动的开展提供指导.

函数教学中为使学生更好地掌握函数建模的具体步骤，可借助多媒体技术为学生展示图2 内容，在学生头脑中留下深刻的印象.同时为学生做好各个环节的解释，使其认识到建模中不同环节的作用，养成良好的建模习惯，在建模的过程中能够自觉遵循建模步骤.

图2

构建函数模型时需要认真了解实际问题，从数学的角度提出问题.同时，提炼出实际问题情境中的有效信息，对其进行合理的抽象、加工.联系不同函数模型的特点，确定所构建的函数模型类型.分析实际问题情境中不同参数之间的逻辑关系，建立相关的函数模型.需要注意的是建立函数模型时应保证函数的定义域符合实际要求，否则即便求解出最终的结果也是无意义的.构建函数模型后便将实际问题完全转化成了数学问题，此时需要运用函数的相关性质计算结果.当然得出结果并不意味着万事大吉，需要检验结果是否符合实际情况，并对相关函数模型进行适当的调整，直到得出的结果符合实际.为使学习者更好地认识到上述内容的重要性，应注重结合具体案例为其做出说明，使其真正地理解.

例如，某养殖场随着技术的进步与规模的扩大，产量不断增加.对2020 年10 个月的产量进行统计，如表1 所示：

表1

在教学中通过为学生列举具体的实例，使学生认识到构建函数模型解决实际问题时应做好相关模型的分析与优化，当发现构建的函数模型和实际情况存在较大偏差时应及时修正，如此才能为解决实际问题带来更为切实可行的参考.

三、展示函数模型构建过程

函数教学中融入模型思想时，为使学生更好地把握函数建模的过程，体会函数模型构建细节，应注重结合学生所学的函数模型做好实际问题情境的筛选，在课堂上为学生展示函数模型的构建过程，给学生带来良好的启发.不仅如此，为更好地提升学生的学习体验，授课的过程中应注重与学生积极地互动，促使其主动地思考，激活高中数学课堂，使其积累相关的函数建模经验.在教学实践中可围绕以下习题展开教学.

如今汽车智能辅助驾驶已开始得到应用，该系统能够通过雷达判断车辆与前方障碍物间的距离，并做出相应的动作.当距离等于报警距离时就会报警提醒，等于危险距离时就会自动刹车.若将报警时间划分为四段，准备时间为，人的反应时间为，系统反应时间为，制动时间为，相应的距离分别为，，，，如图3 所示.并且当车速（米秒）∈（0，33.3］时，通过大数据统计得到表2 给出的数据（其中受地面湿滑程度而变化，∈［1，2］）.

图3

表2

根据上述情境提出问题：为保证安全，要求无论汽车行驶在何种路面，报警距离均小于50 米，则汽车的速度应不超过多少千米小时？

上述问题情境来源于生活，能很好地吸引学生的注意力.为使学习者积极参与到听课活动中，激活其思维，课堂上可设计如下问题与学生进行互动：（1）怎样计算人的反应和系统的反应时间内汽车移动的距离？（2）怎样将提出的问题转化为数学问题？（3）求解参数时应该注意哪些细节？如此能驱使学生主动思考，又能指引学生关注函数建模过程中的相关细节.在与学生互动的过程中，为学生展示数学建模的整个过程.

求解出相关参数后，将参数带入创设的问题情境以及实际情况中，发现得出的参数符合实际情况，表明函数模型是正确的，因此不需要对模型进行调整.

四、组织学生开展建模训练

函数教学中融入模型思想时应注重明确教学的目标，即使学生能够灵活运用所学，构建正确的函数模型解决实际问题.为实现这一目标，在为学生做好函数模型构建示范后应注重组织学生开展建模训练活动，使学生亲身体会整个建模过程，及时发现与弥补自身学习中的不足，实现函数建模能力的进一步提升.

众所周知，高中数学习题较多，质量参差不齐，而课堂时间有限且宝贵，因此组织学生开展建模训练时应严把训练习题关，保证建模训练质量.一方面，要认真查阅相关资料，结合学生学习内容选择代表性较强的训练习题.同时，在训练习题难度上应注重遵循由易到难的原则，更好地提高学生的心理预期，激发其参与训练的积极性.另一方面，在训练的过程中要求学生独立思考，积极联系所学的函数知识以及函数建模理论，规定训练的时间，使学生全身心投入到训练活动中.在课堂上可以给出以下习题，要求学生思考、作答：

某企业为进一步扩大经营，准备从、两种产品中选择其中一种投资生产.其中投资两种产品的相关数据如表3（单位：万元）：

表3

其中年固定成本不受年生产件数的影响，为参数，其值由产品的原材料价格决定，预计∈［6，8］，另外年销售件产品需要上交0.05万元的特别税费.已知生产出来的产品均能在当年销售出去.

训练时要求学生认真阅读问题情境，根据经验提出合理的问题，构建相关的函数模型解决问题.最终在教师的引导下学生提出问题：选择哪一种产品进行投资，能够获得最大年利润？围绕该问题，需要认真分析表格中的数据，构建模型，分析投资产品和产品分别获得的最大年利润，然后进行比较做出判断.

设生产，产品获得的年利润分别为，，根据成本、产量、利润以及题干可构建如下函数模型：

＝10-（20+）＝（10-）-20，0≤≤200 且∈N，

＝18-（40+8）-0.05＝-0.05+10-40，0≤≤120 且∈N，

设（）＝（）-（），

∵∈［6，8］，10-＞0，则为增函数，

∵0≤≤200 且∈N，则当＝200 时取得最大值为1 980-200

∵＝-0.05+10-40 ＝-0.05（-100）+460，0≤≤120 且∈N，∴当＝100 时，取得最大值460.

∴（）＝（）-（）＝1 980-200-460 ＝1 520-200∵∈［6，8］，接下来需要进行分类讨论：当∈［6，7.6）时，（）＞0，此时投资产品，年生产200 件，可获得最大利润；当＝7.6 时，（）＝0，此时投资，产品，获得的年利润一样多；当∈（7.6，8］时，（）＜0，此时投资产品，年生产100 件，可获得最大利润.

该训练习题质量较高，不仅考查学习者的函数建模能力，而且需要学习者在求解模型的过程中运用分类讨论思想，是一道不可多得的好题.训练的过程中应注重观察学生在课堂上的表现，走下讲台了解学生的建模进度，尤其当学生建立正确的模型，得出正确的结果时应注重提出表扬，使其尝到构建函数模型的成就感，树立构建函数模型解决实际问题的自信心.

五、总 结

建模思想是一种重要的思想，被纳入高中数学学科核心素养内容中.因此在高中函数教学中应认识到融入建模思想的重要价值，将建模思想融入教学工作中，认真学习函数建模的相关理论知识，尤其是要结合高中阶段整个函数部分的教学做好建模思想融入的规划，结合教学的具体环节，积极采取有针对性的融入策略，使学生在扎实掌握函数知识的同时，掌握相关的函数建模知识，使学生函数建模能力得到有效锻炼与提升.