偏压隧道洞口段衬砌多裂缝扩展有限元分析

胡 涛，杨 洪

(1.贵州高速公路集团有限公司，贵州 贵阳 550004；2.贵州省交通规划勘察设计研究院股份有限公司，贵州 贵阳 550081)

近年来，我国公路交通网络建设得到了快速发展，年新增里程超过1 100 km，而且我国已建及规划的10 km以上超长公路隧道有约34座，处于国际领先水平[1-2]。然而，随着公路隧道运营时间的增加，一些隧道病害也逐渐显现出来，如裂缝、渗漏水、衬砌腐蚀等，严重时将危及隧道运营安全，同时由此引起的隧道维修整治费用也非常巨大。

裂缝作为隧道衬砌结构的主要病害之一[3]，国内外学者对其开展了较多的研究工作。如：Amorim等[4]提出了一种描述隧道衬砌混凝土开裂的数学模型，该模型可以表征隧道衬砌结构的损伤状态，量化裂缝的张开位移；Fu等[5]采用扩展有限元方法研究了局部空洞缺陷对隧道衬砌裂缝开裂方向和裂缝分布规律的影响；董飞等[6]对7条北京地铁线的衬砌裂缝开裂情况进行了统计分析，结果发现衬砌开裂是地铁隧道中常见的病害，且矿山法隧道的衬砌开裂比盾构隧道的衬砌开裂总量大；黄宏伟等[7]采用扩展有限元方法分析了不同影响因素下公路隧道衬砌的裂缝分布规律、裂缝扩展过程、裂缝外观表现形式及发生机制，有限元模拟中假定了一条单裂缝；周资湘等[8]对某高速公路洞口段的偏压连拱隧道衬砌裂损原因进行了分析，发现在地形偏压的作用下，左、右进洞口段拱顶处出现较多贯通的纵向张拉裂缝；张芳等[9]通过有限元-离散元法，建立了荷载结构模型，分析了洞口偏压、背后空洞和拱顶松弛等对隧道衬砌裂缝分布和扩展的影响，得到的结果与日本等比例尺浅埋隧道衬砌试验结果基本一致；黄欣[10]以黄毛岭隧道工程为依托，通过对隧道洞口段地表及衬砌开裂的原因进行综合分析，提出了一系列有针对性的浅埋偏压小净距隧道洞口段施工异常处治对策。

较多土木工程工作者对隧道衬砌裂缝病害进行了理论和试验研究，对工程建设起到了极大的促进作用。然而，目前这些研究成果一般都基于某具体工程对隧道衬砌裂缝的分布、深度和形状等进行统计分析，且部分学者在模拟隧道衬砌裂缝的扩展过程时多人为假定裂缝起裂位置为最大应力集中处，且仅假设有一条主裂缝。而根据王飞阳等[11]在多尺度模型下管片破坏模拟中发现的多条Ⅰ型裂缝同时扩展、刘德军等[12]在隧道衬砌破坏试验中发现的6条裂缝同时扩展和刘庭金等[13]在现场调查中发现的拱顶多裂缝扩展且大面积开裂的现象可知，隧道衬砌的裂缝扩展并不是单纯仅一条主裂缝扩展，而是存在多裂缝扩展的可能。

在实际隧道工程中，受温度、施工工艺的影响，隧道衬砌结构极有可能出现多条初始裂缝，这些裂缝受到偏压及其他不利条件的影响，使得对于多大范围内的裂缝会发展、哪些裂缝又是稳定的，均难以判断。而对于现场施工人员来说，能够快速地判断出隧道衬砌结构内危险裂缝分布在哪些位置，裂缝是否会继续扩展以及裂缝最终的扩展深度是多少，是非常有意义的。另外，对偏压隧道衬砌的多裂缝扩展规律进行分析，可有效指导施工，然而目前较少有学者针对洞口偏压条件下隧道衬砌的多裂缝扩展规律进行分析。基于此，本文依托巴蕉箐公路隧道工程，对洞口偏压隧道衬砌不同位置处裂缝扩展状态进行分析，提出偏压隧道多裂缝扩展的可能，再基于扩展有限元方法进一步对不同偏压条件下隧道洞口段衬砌多裂缝的裂缝扩展形态及裂缝扩展速度等规律进行分析，以为相关工程提供指导。

1 工程概况

巴蕉箐隧道位于云南省中部，该隧道为分离式特长隧道，全长为3 697 m，设计时速为100 km/h，开挖断面宽约13.3 m、高约10.6 m，开挖面积约为126 m2，为特大断面隧道。隧道进口附近及出口有乡村道路通过，交通条件一般。隧道横穿山脊，坡体植被发育，场区海拔为1 728.3～2 252.7 m，相对高差为524.4 m，地势起伏大。隧道玉溪段洞口处边、仰坡由碎石土、强风化板岩夹炭质板岩、白云岩及砂岩组成，强风化岩体厚度大，节理裂隙发育，呈碎裂状及散体状结构，洞口处围岩岩质软，岩石单轴饱和抗压强度Rc为8 MPa，边、仰坡开挖临空后易发生垮塌，岩体质量等级综合评定为Ⅴ级，施工时应及时对坡体采取加固支挡措施，同时采取防排水措施。

巴蕉箐隧道玉溪段左、右幅隧道洞口横断面图，见图1。该段隧道左、右幅隧道洞口段均存在一定的偏压，且右幅隧道洞口段偏压程度较大，地面偏压角度最大约为45°。根据黄宏伟等[7]对境内外109条隧道衬砌裂缝病害的现场统计分析，发现偏压是引起隧道二衬开裂最主要的因素之一。对于本工程而言，如不采取针对性的措施，后期隧道运营过程中也将会面临衬砌裂损问题。对于山岭隧道而言，隧道洞口段基本是浅埋偏压隧道受力较危险的地方，因此本文将主要针对偏压隧道洞口段衬砌的裂损规律进行分析。

图1 巴蕉箐隧道玉溪段左、右幅隧道洞口横断面图 (单位：cm)Fig.1 Cross section of tunnel left and right entrance of Yuxi section of Bajiaoqing Tunnel(unit:cm)

2 扩展有限元法

2. 1 扩展有限元理论

扩展有限元方法(XFEM)是单位分解法的一个特例，其主要原理是利用有限元形函数作为单位分解函数，而单元的不连续性(断裂)则通过与额外自由度相关联的扩充函数来描述。在断裂分析中，扩充形函数主要包括裂缝面间断函数和裂缝尖端附近渐进函数，其中间断函数用于模拟裂缝面处位移场跳跃，渐进函数用于描述裂缝尖端附近的应力奇异性[14]。

如图2所示的二维平面模型为某一条裂缝在有限元网格中的扩展示意图，其中S表示平面模型中所有节点的集合,Sh为裂缝贯穿单元节点的集合(方形节点),Sf为裂缝尖端附近单元节点的集合(圆形节点)，下面对Sh和Sf采用不同的扩充形函数进行描述[15]。

图2 裂缝扩展描述示意图Fig.2 Sketch map of fracture propagation description

裂缝贯穿单元的裂缝面位移产生跳跃，其节点集Sh的扩充形函数ψJ(x)可表示为

(1)

式中：J为裂缝贯穿单元节点；NJ(x)为裂缝贯穿节点位移形函数；aJ为裂缝贯穿节点扩展自由度；H(x)为沿裂缝面的间断阶跃函数。

裂缝尖端附近单元节点集合Sf的扩充形函数ψK(x)可表示为

(2)

式中：K为裂隙尖端节点；NK(x)为裂缝尖端节点位移形函数；bK为裂缝尖端节点扩展自由度；Φ(x)为裂缝尖端应力渐进函数。

各向同性材料中，Φ(x)可表示为

(3)

式中：r和θ为裂缝尖端极坐标系位置参数；裂缝尖端切线方向对应θ=0。

图2描述了沿裂缝面的间断阶跃函数H(x),表征裂缝导致的不连续位移场，描述裂缝两边非连续的变形模态，其表达式为

(4)

式中:x为所考察的点；x*为裂缝面上距x点最近的点；n为x*处裂缝面的单位外法向向量。

综上可知，二维平面有限元模型位移场向量函数uh(x)可表示为有限元形函数、贯穿节点集扩充形函数与裂缝尖端集扩充形函数之和，即

(5)

式中:NI(x)为一般节点位移形函数；uI为有限元解法连续体的一般节点位移向量；aJ和bK为节点扩展自由度。

与连续性的有限元模拟相比，扩展有限元内部网格划分与结构内部的几何或物理界面无关，在模拟裂缝扩展的过程中无需对网格进行重新剖分，对于裂缝区域的描述通过在标准场近似的基础上添加扩充形函数实现，可解决常规有限元模拟不能解决的裂缝发育问题。

2. 2 洞口偏压隧道衬砌多裂缝扩展有限元分析思路

与非偏压隧道相比，洞口偏压段隧道衬砌裂缝的出现位置相对较难判断，且受温度、施工工艺和偏压状态等多种因素的影响，单纯通过人为假定初始裂缝存在较大的主观性，因此需先对偏压隧道衬砌裂缝可能扩展的范围进行分析，进而进一步开展裂缝扩展的有限元分析。

本文的基本思路和假设如下：

(1) 材料本构定义。模型中岩土体采用摩尔-库伦本构模型，初支和二衬采用线弹性本构模型；考虑到应力强度因子基于线弹性理论推出，因此初支和二衬不考虑塑性是可行的。

(2) 定义初始裂缝。根据文献[6]对马蹄形隧道的统计结果，定义衬砌裂缝初始深度为2 cm，以三心圆隧道拱顶圆圆心为中心，以水平面为x轴，建立-10°～190°间衬砌内表面初始裂缝，裂缝间距为5°，共41个初始裂缝。

(3) 定义裂缝扩展判据。Ⅰ型裂缝(张开型)为工程中最常见的裂缝，也是最危险的裂缝，故本文仅对Ⅰ型裂缝进行分析。文献[7]选取断裂能GⅠ=80 N/m为Ⅰ型裂缝扩展判据，一般而言，断裂能与Ⅰ型裂缝应力强度因子KⅠ的关系式如下:

(6)

(7)

optimalΩ～F

(8)

式中:Ω为设定的工况集；F为计算得到的各加固工况下裂缝扩展的安全系数。

(5) 基于裂缝应力强度因子分布规律，对可能存在多裂缝的扩展区域进行多裂缝扩展有限元分析。裂缝开裂准则为最大周向应力准则，最大周向应力σmax=2.01 MPa,断裂能GⅠ=GⅡ=GⅢ=80 N/m。

3 偏压隧道衬砌初始裂缝扩展状态分析

3. 1 有限元分析模型的建立

基于某大型通用有限元分析软件，建立了如图所示的偏压隧道衬砌初始裂缝扩展状态有限元分析模型。模型中隧道开挖断面高约为10.6 m，宽约为13 m，埋深约为32 m，其中隧道边缘距两侧及下边界的距离分别为53.5 m、40.0 m。模型中，岩体和衬砌均采用PLANE183单元模拟，各材料计算参数见表1。模拟过程在前面已说明，此处不再赘述。

图3 偏压隧道衬砌初始裂缝扩展状态有限元分析模型Fig.3 Finite element analytical model of initial crack propogation state of tunnel portal lining

表1 材料计算参数

3. 2 计算工况的设置

本文分别建立了不同偏压角度、初始裂缝深度以及衬砌厚度的计算工况，见表2。其中,隧道衬砌厚度随衬砌支护型式发生变化，衬砌支护型式参考了巴蕉箐隧道设计图中的实际设计方案。

结合《公安机关适用继续盘问规定》第八条及《人民警察法》第九条可以看出，公安机关的人民警察对于继续盘问制度的适用标准是相对人有违法犯罪嫌疑，且当场不能确定其身份或排除嫌疑的。这样的标准究竟是主观的还是客观的，需要进一步进行探讨。如果采用主观标准，即存在赋予公安机关的人民警察自由裁量权过大，有可能侵犯相对人的合法权益，出现违反比例原则的情形；如果采用客观标准，由于法律本身的局限性，不可能就所有的客观情形作出周延全面的规定，有可能会导致执法的机械化以及放纵违法犯罪嫌疑人的后果。

表2 计算工况设置

3.3 偏压隧道衬砌初始裂缝应力强度因子分布规律分析

标准工况(偏压角度为30°，初始裂缝深度为2 cm，衬砌支护型式为c型)下隧道衬砌Ⅰ型裂缝应力强度因子分布图，见图4。图中应力强度因子出现负值，表明此处衬砌主要承受压力，裂缝闭合，由于该应力强度因子判据仅对张拉型裂缝有效，因此对于负值，仅对其受力状态进行探讨。

图4 标准工况下隧道衬砌Ⅰ型裂缝应力强度因子 分布图Fig.4 Stress intensity factor distribution of type Ⅰ crack of tunnel lining under standard working conditions

3. 4 不同工况下偏压隧道衬砌裂缝扩展状态分析

不同偏压角度下隧道衬砌各初始裂缝应力强度因子的变化曲线，见图5。

图5 不同偏压角度下隧道衬砌各初始裂缝应力强度 因子的变化曲线Fig.5 Stress intensity factor curves of each initial crack of tunnel lining under different bias angles

由图5可知：随着偏压角度的增大，隧道衬砌各初始裂缝应力强度因子不断增大，衬砌支护型式逐渐由扁平状转变为窄尖状；扁平状时衬砌应力分布较均匀，衬砌结构处于安全状态，即使衬砌结构表面存在一些浅层裂缝，也不会发生扩展，而窄尖状时，最不利位置处裂缝最大应力强度因子将会产生应力集中，从而产生裂缝扩展。由此可以看出，非偏压状态下整个隧道衬砌结构的受力型式较好，承载能力也更大；在埋深大一侧隧道衬砌拱脚位置(B区)，随着偏压角度的增大，初始裂缝应力强度因子呈线性增加，极易发生压溃；随着偏压角度增加，初始裂缝最大应力强度因子位置逐渐由隧道拱顶向拱肩一侧转移，衬砌内部发生了应力重分布，且在偏压角度大于37.5°时，初始裂缝应力强度因子已经超过临界值，衬砌将在隧道拱顶处发生裂缝扩展；在偏压作用下，裂缝主要扩展区域在靠近埋深大一侧隧道衬砌拱顶与拱肩之间，裂缝扩展范围约在60°～90°之间，在该区域内多条裂缝的应力强度因子均大于临界值，将出现多条裂缝同时扩展。

不同偏压角度、初始裂缝深度和衬砌支护型式下隧道衬砌初始裂缝扩展安全系数的变化曲线,见图6、图7和图8。

图6 隧道衬砌初始裂缝扩展安全系数随偏压角度的 变化曲线Fig.6 Variation curve of safety factor of initial crack propagation of tunnel lining with bias angle

图7 隧道衬砌初始裂缝扩展安全系数随初始裂缝 深度的变化曲线Fig.7 Variation curve of safety factor of initial crack propagation of tunnel lining with initial crack depth

图8 隧道衬砌初始裂缝扩展安全系数随衬砌支护 型式的变化曲线Fig.8 Variation curve of safety factor of initial crack propagation of tunnel lining with lining type

由图6至图8可以看出：随着偏压角度的增加，隧道衬砌初始裂缝扩展安全系数呈线性减小，说明偏压作用对隧道衬砌初始裂缝扩展的影响是显著的，故在隧道洞口浅偏压段施工时应加强量测和辅助支护措施；在偏压角度较小的情况下，随着初始裂缝深度的增加，隧道衬砌初始裂缝扩展安全系数少量增加，表明裂缝处于稳定状态，不会继续向内扩展，该结论主要基于初始裂缝深度较浅时得到，此时初始裂缝深度对衬砌结构刚度的影响非常小；衬砌支护型式由a型变化到f型，隧道衬砌初始裂缝扩展安全系数少量减少，说明过度提高衬砌支护型式并不经济，当衬砌支护型式由c型(初支25 cm，二衬50 cm)转变为d型(初支22 cm，二衬45 cm)之后，隧道衬砌初始裂缝扩展安全系数开始呈线性减小，这主要是因为在浅埋偏压的情况下，当隧道衬砌结构刚度过小时，衬砌结构的承载力不够，裂缝易发生较大扩展。

4 偏压隧道衬砌多裂缝扩展有限元分析

由前文可知，在不采取任何措施下，当偏压角度为45°时，若隧道存在多条初始裂缝，极有可能在隧道拱顶60°～90°范围内发生多裂缝扩展，本节将基于扩展有限元方法，对偏压条件下隧道衬砌多裂缝扩展进行有限元分析。

图9 扩展有限元模型中初始裂缝的位置Fig.9 Initial crack location of extended finite element model

图10 不同子步下偏压隧道衬砌多裂缝扩展趋势及 沉降位移云图Fig.10 Nephogram of crack propagation trend and settlement displacement of tunnel lining of unsymmetrical pressure lining under different substeps

图11 不同子步下偏压隧道衬砌裂缝扩展深度的 变化曲线Fig.11 Variation curves of crack propagation depth of tunnel lining of unsymmetrical pressure lining under different substeps

由图10和图11可知：随着子步数的增加，在隧道衬砌内部75°位置处的初始裂缝最先开始单独快速扩展，并形成一条较深的主裂缝，且在子步4时裂缝扩展到深度约为8.5 cm；当在子步6时，75°位置处的主裂缝在进一步的扩展过程中，两侧30°范围(60°～90°)内的多条裂缝也开始快速扩展，这主要是由于随着主裂缝的扩展，衬砌结构局部刚度减少，衬砌结构发生较大的变形，主裂缝周边的裂缝在衬砌大变形的张拉作用下也会随之快速扩展；在子步8、10时，裂缝将进一步快速扩展，并在75°位置处形成一条43.0 cm深的主裂缝，且周边的裂缝也在快速扩展，裂缝最深可达37.5 cm；小于75°位置处的初始裂缝比大于75°位置处的初始裂缝的扩展深度更大，表明隧道埋深大一侧的偏压作用更明显；从裂缝扩展的趋势来看，75°主裂缝基本沿衬砌径向扩展，但周边裂缝在扩展的过程中存在部分角度偏转，且随着距离主裂缝越远，偏转角度越大。

隧道衬砌最大竖向沉降随子步的变化曲线，见图12。

图12 隧道衬砌最大竖向沉降随子步的变化曲线Fig.12 Variation curve of maximum vertical settlement of tunnel lining with substep

由图12可知：在子步4之前，裂缝扩展较平稳、缓慢；而在子步4之后，裂缝扩展速度骤增，近似呈指数增长，对应前文分析可知，子步4之前为主裂缝快速扩展状态，而在子步4之后，隧道衬砌裂缝扩展转变为多裂缝扩展，衬砌结构刚度锐减，致使初砌结构发生快速沉降变形，直至最终破坏。

图13 裂缝扩展偏转率参数取值示意图Fig.13 Parameter value diagram of crack propagation deflection rate

如图13所示，建立了初始裂缝径向扩展方向辅助线1，最终裂缝扩展点与初始裂缝扩展点互连的辅助线2，则可得到夹角β。假定裂缝最终的扩展深度为L，则裂缝扩展偏转率P可根据P=β/L计算得到。不同偏压角度下隧道衬砌初始裂缝扩展偏转率的变化曲线，见图14。

由图14可知：在偏压角度为45°时，周边裂缝有向主裂缝靠拢的发展趋势，且离主裂缝越远，裂缝扩展偏转率越大，背离初始裂缝径向扩展的趋势越大；裂缝扩展偏转率在主裂缝两侧60°～90°范围内近似呈线性发展，而在60°～90°这个范围外，裂缝扩展偏转率将急剧减少，这是由于超过这个范围外的周边裂缝并未发生扩展；在偏压角度为37.5°时，裂缝扩展偏转率的变化规律与偏压角度为45°时近似，但整体裂缝扩展偏转率均较低。

不同偏压角度下隧道衬砌初始裂缝扩展深度的变化曲线，见图15。

图15 不同偏压角度下隧道衬砌初始裂缝扩展深度的 变化曲线Fig.15 Variation curves of initial crack propagation depth of tunnel lining under different bias angles

由图15可知：当偏压角度较小时，裂缝基本保持稳定；当偏压角度为37.5°时，裂缝会出现扩展，裂缝最大扩展深度约为20 cm；当偏压角度为45°时，裂缝最大扩展深度约为43 cm，扩展深度增长约为115%；当偏压角度为45°时，多裂缝呈“窄尖”式扩展，当偏压角度为37.5°时，多裂缝呈“矮胖”式扩展，表明偏压角度较大时，衬砌受力状态更差；当偏压角度小于或等于30°时，均未出现裂缝扩展，表明在偏压角度较小时，即使衬砌结构表面存在初始裂缝也并不会发生裂缝扩展。可见，偏压对隧道衬砌开裂的影响显著，偏压角度越大，越容易形成一条较深的主裂缝，从而造成衬砌结构破坏，因此当隧道处于较大的偏压状态时，应及时采取有效的加固措施。

5 结论与建议

(1) 随着偏压角度的增大，初始裂缝应力强度因子分布型式逐渐由扁平状转变为窄尖状，隧道衬砌整体受力状态变差，最终易在隧道拱顶60°～90°范围内出现多个初始裂缝应力强度因子超限，极易产生多裂缝扩展。

(2) 偏压隧道衬砌多裂缝扩展主要分为3个阶段：应力最不利位置裂缝单独快速扩展阶段，形成一条较深的主裂缝；主裂缝带动周边初始裂缝形成多裂缝同时扩展阶段；多裂缝同时快速扩展，直至主裂缝逼近贯通衬砌破坏阶段。

(3) 在偏压条件下，主裂缝两侧60°～90°范围内裂缝扩展偏转率呈线性发展，表明在该范围内，离主裂缝越远，周边裂缝向主裂缝靠拢发展的趋势越大。

(4) 偏压对隧道衬砌裂缝扩展的影响显著，偏压角度越大，多裂缝呈“窄尖”式扩展，越容易形成一条较深的主裂缝，造成衬砌结构破坏，但当偏压角度较小时，即使衬砌表面存在初始裂缝也并不会发生裂缝扩展。